济宁市第一中学 2024 届高三 3月份定时检测
数学试题
一、单选题（每题 5分，共 40 分）
1 1
4
．二项式 x
2 的展开式中含 x2项的系数为（ ）
2x
3 3 1
A． B． C． D 1．
2 2 2 2
2．平面向量 a，b 满足 | a | 2， b 3， a b 4
，则b 在a方向上的投影向量为（ ）
A 15
1 3
． a B． a C． a D 15．8 a
12 4 8
1
3．若函数 f x cos πx (0 π)的图象关于直线 x 对称，则 （ ）
3
π π 2π 5π
A． B． C． D．
3 6 3 6
4．从1,2, ,9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
1 4 7 13
A． B． C． D．
3 9 18 36
5．已知正四棱锥P ABCD各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为 4，体积为
64
，则该球表面积为（ ）
3
4π
A．9π B．36π C． 4π D．
3
6．设抛物线 y2 2x的焦点为 F ，过抛物线上点 P作其准线的垂线，设垂足为Q，若
PQF 30 ，则 PQ （ ）
3
A 2 3 3． 3 B． C． D．3 4 2
10
b ln 11 ln 2.27．设 a e33， ， c ，则（ ）10 10
A． a b c B． c b a C．b
8．已知 an 是等差数列，bn sin an ，存在正整数 t t 8 ，使得bn t bn， n N* .若
集合 S x x b *n ,n N 中只含有 4个元素，则 t的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题（每题 6分，共 18 分）
9．已知圆C1 : (x 3)
2 y2 1,C : x22 (y a)
2 16，则下列结论正确的有（ ）
A．若圆C1和圆C2外离，则 a 4
试卷第 1页，共 4页
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B．若圆C1和圆C2外切，则 a 4
C．当 a 0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D．当 a 2时，圆C1和圆C2相交
10．已知 z1、 z2都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 z1 z2 ，则 z1 z2
B． z1z2 z1 z2
C．若 z1 z2 z1 z2 ，则 z1z2 0
D． z1 z2 z1 z2
11．已知函数 f x sinx ，则（ ）
2 cos2x
A． f x 的最小正周期为 π B． f x 的图象关于点 π,0 对称
C．不等式 f x x无解 D． f x 2的最大值为
4
三、填空题(每题 5 分，共 15 分）
2 2
12 C : x y．已知双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的一条渐近线与直线 l : x 2y 5 0垂直，则a b
C的离心率为 .
13．甲袋中有 5个红球和 3个白球，乙袋中有 4个红球和 2个白球，如果所有小球只存
在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出
一球放入乙袋，分别用 A1、A2表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋
中随机取出两球，用 B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件
B的概率是 .
14．如图，已知点 P是棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD内（包含边界）
一个动点，若点 P 到点 A 的距离是点 P 到 BB1的距离的两倍，则点 P 的轨迹的长度
为 ．
试卷第 2页，共 4页
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四、解答题（共 77 分）
15．（ 13 分）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，
3 acosC ccos A 2bsin B ．
(1)求角 B的值；
(2)若b 2 3，求 a2 c2的取值范围．
16．（15分）如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心， AB，CD是长度为 2的底
面圆的两条直径， AB CD O ，且 SO 3， P为母线 SB上一点．
(1)求证：当 P为 SB中点时， SA∥平面 PCD；
(2) AOC 60 P CD B 3 21若 ，二面角 的余弦值为 ，试确定 P点的位置．
21
17．（15分）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓
丽的新名片，并广泛用于森林消防 抢险救灾 环境监测等领域.某森林消防支队在一次消
防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了
4
三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 ，每次投弹是否击中目标
5
. 1相互独立 无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 2 ，击中目标两次起火点被扑灭
2
的概率为 3 ，击中目标三次起火点必定被扑灭.
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABJQAUogioAJAAARhCAQVQCkMQkBCAACoOhAAAsAAASRNABAA=}#}
x2 218 y．（17分）已知双曲线C： 2 2 1 a 0,b 0 的离心率为 2，点 3, 1 在双曲线a b
C上．过C的左焦点 F作直线 l交C的左支于 A、B两点．
(1)求双曲线 C的方程；
(2)若M 2,0 ，试问：是否存在直线 l，使得点 M在以 AB为直径的圆上 请说明理由．
(3)点P 4,2 ，直线 AP交直线 x 2于点Q．设直线QA、QB的斜率分别 k1、 k2，求
证： k1 k2为定值．
19．（17分）已知函数 f x a 2xlnx x 1 x ,g x sinx ．
(1)当 a 1时，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)当 a 0, x 0时，若在 g x 的图象上有一点列
A 1 ,g 1 i i i i 1,2,3, ,n,i N*,n N* ，若直线 AiAi 1的斜率为 ki i 1,2,3, ,n ，
2 2
1 3
（ⅰ）求证： g x f x x ；
6
n 1
（ⅱ）求证： ki n ．
i 1 9
试卷第 4页，共 4页
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数学试题及参考答案
一、单选题
1．二项式的展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二项式定理的通项公式即可求解.
【详解】
由二项式定理可知，的展开式的通项为
，
令，解得，
所以，
所以二项式的展开式中含项的系数为.
故选：B.
2．平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题设条件，利用向量的模长公式求得，再利用在方向上的投影向量的公式即可求得.
【详解】由可得，
而在方向上的投影向量为.
故选：C.
3．若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由余弦函数的对称性直接求解.
【详解】
因为的图象关于直线对称，
所以，得，
因为，所以.
故选：C.
4．从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求所有组合个数，列举和为质数的情况，古典概型求概率.
【详解】
这九个数字中任取两个，有种取法，
和为质数有，共14种情况，
因此所求概率为.
故选：C.
5．已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.
【详解】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
6．设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解.
【详解】如图所示：
为准线与轴的交点，
因为，且，所以，
因为，所以，
而，所以，
所以.
故选：A.
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可得，，，即可得，，再比较与的大小关系，借助对数运算转化为比较与的大小关系，结合放缩计算即可得.
【详解】，，，故，，
要比较与的大小，即比较与的大小，
等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，
又
，
故，即，即，
故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较与的大小关系，可借助对数运算转化为比较与的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.
8．已知是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】考虑不符合题意，时，列举出满足条件的集合，再考虑时不成立，得到答案.
【详解】当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，即，，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
故选：C
二、多选题
9．已知圆，则下列结论正确的有（ ）
A．若圆和圆外离，则
B．若圆和圆外切，则
C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线
D．当时，圆和圆相交
【答案】BCD
【分析】
根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】.
若和外离，则，解得或，故A错误；
若和外切，，解得，故B正确；
当时，和内切，故C正确；
当时，和相交，故D正确.
故选：BCD
10．已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
【答案】BD
【分析】
利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.
【详解】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；
对于C：令、，则，，
所以，但是，故C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故B正确；
，又，
所以，故D正确.
故选：BD
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．不等式无解 D．的最大值为
【答案】BD
【分析】
对于选项A:验证是否成立即可判断；对于选项B:验证是否成立即可判断；对于选项C:利用即可验证有解；对于选项D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断.
【详解】对于选项A:不是的周期，故A错误;
对于选项B:关于对称，故B正确；
对于选项C:有解，故C错误；
对于选项D:，若，则，
若则，
当且仅当，即时，原式取等，故D正确.
故选:BD.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
12．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为 .
【答案】
【分析】
借助斜率与垂直的关系可得，即可得离心率.
【详解】由直线的斜率为，故有，
即，则.
故答案为：.
13．甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是 .
【答案】
【分析】
根据全概率公式即可求解.
【详解】
因为，
所以,
故答案为：
14．如图，已知点是棱长为2的正方体的底面内（包含边界）一个动点，若点到点的距离是点到的距离的两倍，则点的轨迹的长度为 ．
【答案】
【分析】
根据题意，得到，以为原点，建立平面直角坐标系，设，结合，求得点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，再由扇形的弧长公式，即可求解.
【详解】
在正方体中，可得平面，
因为平面，所以，
则点到的距离等于点到点的距离，即，
在底面中，以为原点，以所在的直线分别为轴和轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，可得，
设，由，可得，
整理得，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，
又由，可得，
所以，即所对的圆心角为，
所以点的轨迹的长度为圆弧长为.
故答案为：.
四、解答题
15．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可；
（2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理边化角可得，
所以，又，
所以，又为锐角，
则；
（2）由正弦定理，
则，
所以，
，
因为在锐角三角形中，得，
所以，
则，
所以的取值范围为.
16．如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．
(1)求证：当为中点时，平面；
(2)若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置．
【答案】(1)证明见详解
(2)是线段靠近点的四等分点
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，，求解平面和平面的法向量，根据二面角的余弦值为求，即可得P点的位置.
【详解】（1）连接，因为，分别为，的中点，
所以为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）如图：过点作交圆与，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设，，则，所以，
设平面的法向量为，
则，所以，令，则，，
即，
易知平面的一个法向量为，
则，
解得（负值舍去），所以是线段靠近点的四等分点.
17．我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防 抢险救灾 环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】
（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；
（2）根据条件概率以及全概率公式求解可得
【详解】（1）起火点被无人机击中次数的所有可能取值为
，
.
的分布列如下：
0 1 2 3
.
（2）击中一次被扑灭的概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率.
18．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上 请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析
【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程；
(2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可；
(3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值．
【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，∴双曲线的方程为．
（2）双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去；
当直线的斜率不为0时，设，
联立方程组，消得，易得，
设，则，可得，
∵，
则
，
即，可得与不垂直，
∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上．
（3）由直线，得，
∴，又，
∴
，
∵，∴，且，
∴，即为定值．
19．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若在的图象上有一点列，若直线的斜率为，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】
（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）（ⅰ）令，即证在时恒成立，借助导数，多次求导后即可得；（ⅱ）计算可得，由（ⅰ）可得，即可得，借助放缩法可得，结合等比数列求和公式及放缩即可得证.
【详解】（1）
当时，，，所以，
曲线在点处切线的斜率为，
所以切线方程为，即；
（2）
（ⅰ）要证，即证时，，
令，即证在时恒成立，
因为，令，则，
令，则在内单调递增，
所以，即在内单调递增，
所以, 即在内单调递增，
所以，即得证；
（ⅱ）时，
，
由（ⅰ）知，，即，则，
所以
，
，即得证.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由（ⅰ）中得到，从而得到，从而借助放缩法，得到.