2022~2023学年河南信阳高三期末理科数学试卷（普通高中 第二次教学质量检测）（PDF版含解析）

2022~2023学年河南信阳高三期末理科数学试卷（普通高中 第二次教学质
量检测）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知集合 ， ，那么 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2、下列命题中，错误的命题有（ ）
A.函数 与 不是同一个函数
B.命题“ ， ”的否定为“ ， ”
C.设函数 ，则 在 上单调递增
D.设 ，则 “ ”是“ ”的必要不充分条件
3、已知角 的终边在直线 上，则 （ ）
A.
B.
C.1
D.
4、在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A.19
B.18
C.17
D.20
5、如图所示的程序框图，输入3个数， ， ， ，则输出的 为（ ）
A.0
B.
C.
D.
6、源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条
件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其
中 , 两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A.18种
B.36种
C.72种
D.108种
7、过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，且 ，则线段 的中点到 轴的距离为（
）．
A.
B.
C.
D.
8、已知函数 对任意实数x都有 且 ，则 等于
（ ）
A.
B.0
C.3
D.6
9、已知函数 在区间 上是增函数，且在区间
上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、某车间加工同一型号零件，第一 二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别
为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工 ”为事件 ，“任取一个零件是次品”为事件B，则（ ）
① ② ③ ④
A.①②④
B.②③④
C.②③
D.①②③④
11、设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点A，B，若点
满足 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的最大值为（ ）
A.
B.1
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 .
14、 的展开式中 的系数为 ．
15、已知 是 内部（不含边界）一点，若 ， ，则
.
16、剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径 cm，需要剪去
菱形 ，可以经过两次对折、沿 裁剪、展开后得到.若 ，要使镂空的菱形 面积最大，
则菱形的边长 cm.
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求B的大小；
（2）若 ，求 的面积．
18、（本小题8分）
2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为
了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的
，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.
有兴趣没有兴趣合计
男
女 80
合计
(1)完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？
(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2 人作为冰壶运动的
宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
附： .
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19、（本小题8分）
在数列{an}中， （n∈N*）， .
(1) 求 ；
(2)设 为 的前n项和，求 的最小值．
20、（本小题10分）
已知椭圆 长轴的两个端点分别为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2） 为椭圆 上异于 的动点，直线 分别交直线 于 两点，连接 并延长交椭圆 于
点 .
（ⅰ）求 证：直线 的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断 三点是否共线，并说明理由 .
21、（本小题12分）
已知函数 e ．
(1)若函数 在 上单调递增，求实 数 的取值范围；
(2)设函数 ，若 ，求 的值．
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数），在以 为极点， 轴的非
负半轴为极轴的极坐标系中，点 的极坐标为 .
(1)写出曲线 的普通方程，并判断点 与曲线 的位置关系；
(2)设直线 ： 与曲线 交于 、 两点，求 的值.
23、（本小题12分）
已知a，b，c为正数.
(1)求 的最小值；
(2)求证： .
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
通过题意， ，则 .
因此正确答案为：B.
2、
【答 案】
C
【分析】
对于A选项，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数是不同的函数，故A无误；
对于B选项，因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以B无误；
对于C选项，因为 ，但是 ，与增函 数定义矛盾，所以C有误；
对于D选项，若 ，当 时，推不出 ，当 时， 且 ，所以D无误.
因此正确答案为：C.
3、
【答 案】
A
【分析】
因为角 的终边在直线 上，
所以当 时，在直线上取一点 ，则 ，
当 时，在直线上取一点 ，则 ，
综上 ，
所以 ，
因此正确答案为：A.
4、
【答 案】
C
【分析】
设等差数列 的公差为 ，则通过题意可得
，解得 ，
所以 ，
因此正确答案为：C.
5、
【答 案】
D
【分析】
根据条件结构的程序框图，依次执行，即得解
【详解】
由题意，输入 ， ，
第一步，判定 是否成立，由于
因此赋值 ，
第二步，判定 是否成立，由于
因此赋值
输出
故选：D
6、
【答 案】
B
【分析】
2 3
先排 , 两道程序有A3种放法，再排剩余的3道程序有A3种放法，再由分步计数原理即可得出答案.
【详解】
2
先排 , 两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放 , ，共有A3种放法；
3
再排剩余的3道程序，共有A3种放法；
2
则共有A3 A
3
3=36种放法.
B. 故选：
7、
【答 案】
C
【分析】
由题意得： ，
设 ， ，则 ，
解得： ，
则线段 的中点横坐标为 ，
故线段 的中点到 轴的距离为 ．
故选C．
8、
【答 案】
B
【分析】
根据题意可推出 即 ，可得函数 是奇函数，利用赋值法求得
以及 ，继而根据 推得函数的周期，由此利用周期求得 的值.
【详解】
因为对任 意实数x都有函数满足 ，即 ，即 ，
所以函数 是奇函数，
对于 ， 令 ，则可得 ；
由 ，令 得， ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 12为函数 的周期，
所以 ,
故选：B．
9、
【答 案】
D
【分析】
将函数 用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立 的不等量关
系，即可求解.
【详解】
，
在区间 上是增函数，
π π π
， ， π .
当 Z Z 时， 取得最大值，
而 在区间 上恰好取得一次最大值，
，解得 ，
综上， .
故选：D.
10、
【答案 】
B
【分析】
根据全概率概率公式及条件概率概率公式计算可得；
【详解】
依题意 ， ， ， ，故③正确；
所以 ，
所以 ，故①错误；
因为 ，所以 ，故②正确；
所以 ，故④正确；
故选：B
11、
【答 案】
A
【分析】
联立直线方程与双曲线的渐近线的方程可得 ， ，进而可得 中点
，由 ，可得 ，进而可得 ，代入得 ，
，即可得答案.
【详解】
解：因为双曲线的渐近线方程为 ，
由 ，解得 ，
不妨设 ，
同理可得 ，
则 中点 ，
又因为点 满足 ，
所以点 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
12、
【答 案】
C
【分析】
\lna \lna
讨论 的取值范围，利用函数图象，结合导数求出 ，构造函数 ，利用导数
求出函数的最值，进而得解.
【详解】
设 ， ，
若 ，对任意 恒 成立，则 ，对任意 恒成立，
当 时，在同一坐标系中作出函数 的图象，
显然，由图可知 ，对任意 不恒成立；
当 时，在同一坐标系中作出函数 的图象 ，
由图可知，临界条件是直线 与曲线 的图象相切时，
由 ，求导 ，
设 ，解得 ，且 ，
∴当 的切线斜率为1时，切点坐标为 ，
故 ，所以
即 \lna \lna
\lna \lna
两边同除以 ， ，令
\lna \lna \lna
求导
令 ，得\lna ，即
当 ， ，函数 单调递增，当 ， ，函数 单调递减，
\lne
所以当 ，函数 取到最大值，且
故 的最大值为
故选：C.
【点睛】
思路点睛 ：本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查
数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.
二、填空题
13、
【答案 】
【分析】
【详解】
试题分析 ：由复数的运算可知 ， 是纯虚数，则其实部必为零，即
，所以 .
考点：复数的运算.
14、
【答 案】
9
【分析】
，
展开式中 的系数为 C C C ．
因此正确答案为：9
15、
【答 案】
【分析】
利用向量共线表示 ，以及 ，转化求得 ，
根据图形可知 ，再逐步变形转化为面积比值，即可求解.
【详解】
如图，连 结 并延长交 于点 ，
设点 到 的距离为 ，点 到 的 距离为 ，
因为 ，所以设 ,
设 ， ，
所以
，
所以 ，即 ，
，
所以 .
故答案为：
16、
【答 案】
/
【分析】
设圆心为 ，由圆的性质可知， ， ， ， ， 共线， ， ， ， ， 共线，
由菱形性质可知， ，
不妨令 ， ，且 半径为10，
则 = ，即 ， ，
故 ，
不妨令 ， ，
则 ，
从而 ； ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 在 上取最大值，
从而要使镂空的菱形 面积最大，则 ，
由 可知， ，
则此时 .
因此正确答案为： .
三、解答题
17、
【答 案】
（1） ； （2） .
【分析】
（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ， ，
由余弦定理可得 ，整理得 ，
又 ，解得 ，
所以 .
18、
【答 案】
(1)列联表见解析，有 的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
(2)分布列见解析， .
【分析】
（1）根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出卡方，即可判断；
（2）首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意 的所有可能取值为 ， ， ，求出所对应的概率 ，即
可得到分布列与数学期望；
【详解】
（1）解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为 人，
则女生中对冰壶运动有兴趣的有 人，
男生中对冰壶运动有兴趣的有 人，
所以男生中对冰壶运动无兴趣的有 人 ，
所以 列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女
合计
，
有 的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取 人，抽到的男生人数、女生人数分别为： （人 ，
（人 ，
则 的所有可能取值为 ， ， ，
C
所以 ，
C
C C
，
C
C
，
C
故 的分布列是：
0 1 2
故 ．
19、
【答 案】
(1)
(2)当n为偶数时， 取得最小值为－242；当n为奇数时， 取最小值为－243
【分析】
（1）根据题干条件得到 ，与 相减后得到 ，
故得到a1，a3，a5，…是以 为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以 为首项，2为
公差的等差数列，进而求出通项公式；（2）分n为偶数和n为奇数两种情况表达出 ，并求出最小值.
【详解】
（1）∵ （n∈N*），①
②
②－①得， .
又∵a2＋a1＝2－44，a ＝－ 1 23，
∴a2＝－19
，
同理得，a3＝－21，a4＝－17.
故a1，a3，a5，…
是以 为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以 为首项，2为公差
的等差数列．
从而
（2）当n为偶数时，
故当n＝22时，Sn取得最小值为－242.
当n 为奇数时，
.
故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243.
综上所述：当n为偶数时，S n取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243.
20、
【答案 】
（1） ；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.
【分析】
（1）通过题意得 ，
所以 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）（ⅰ）证明：设 ，
因为 在椭圆 上，所以 .
因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 .
所以 点的坐标为 .
所以直线 的斜率为 .
所以直线 的斜率之积为：
.
（ⅱ） 三点共线.
设直线 斜率为 ，易得 .
由（ⅰ）可知直线 斜率为 ，所以直线 的方程为 .
联立 可得 .
解得 点的纵坐标为 ，
所以 点的坐标为 .
所以，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .
因为直线 的斜率等于直线 的斜率，
所以 三点共线.
21、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）通过题意 e ，利用分离参数法得到 e 对
恒成立.设 e ，利用导数判断出函数 在 上单调递增，求出 ；
（2）把题意转化为 ， 恒成立.由 为 的一个极小值点，解得 .代入原函
数验证成立.
(1)
通过 题意知 e
因为函数 在 上单调递增，所以 e ，
即 e 对 恒成立
设 e ，则 e
当 时， e
当 时， e e
所以函数 e 在 上单调递增
所以
(2)
通过 题意分析可以得 e
所以 e ，
因为 ，所以 ，
即 为 的最小值， 为 的一个极小值 点，
所以 e ，解得
当 时， e
所以 e e
①当 时， （当且仅当 时等号成立）
所以 在 上单调递增
②当 时，若 ， ；
若 ， g^'\left(x\right)< \text{e}^{-\frac\pi2}+\sqrt2-3+\frac2{\pi+2}< \frac12+\frac32-3+\frac2{\pi+2}< 0
所以 在 上单调递减
综上所述 在 上单调 递减，在 上单调递增
所以当 时，
【点睛】
导数是研 究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考
查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往 往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求 参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
22、
【答案 】
(1) ， 在曲线 内部
(2)
【分析】
（1）利用消参法可得曲线 的普通方程，求得点P的直角坐标，代入曲线 的普通方程中，可判断点 与曲线
的位置关系；
（2）求出直线 的参数方程，并代入曲线方程中，得根与系数的关系式，利用参数的几何意义，求得答案.
（1）
cos
由 sin ,消参得曲线 的普通方程为： ，
cos
由 sin ，可得点P的直角坐标为 ,
将 代入曲线 的普通方程的左边得： ，故 在曲线 内部.
（2）
因为直线 ： 的极坐标方程对应的普通方程为： ，
所以 在直线 上，所以可设直线 的参数方程为： （t为参数），
将其代入曲线 的普通方程 并化简整理得： ， ，
设它的两根为 ，则 ，
所以： .
23、
【答案 】
(1)
(2)证 明见解析
【分析】
（1） = ，然后利用均值不等式可得答案；
（2）由 ， ， 可证明.
【详解】
（1）因为 = ，当且仅当“ ”时等号成立，
所以当 时， 的最小值为 .
（2）因为 ，同理 ， ，
所以三式相加得 ，
所以 ，当且仅当“ ”时等号成立