2022~2023学年河南信阳高三期末文科数学试卷（普通高中 第二次质量检测）（PDF版含解析）

2022~2023学年河南信阳高三期末文科数学试卷（普通高中 第二次质量检
测）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知集合 ， ，那么 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2、下列命题中，错误的命题有（ ）
A.函数 与 不是同一个函数
B.命题“ ， ”的否定为“ ， ”
C.设函数 ，则 在 上单调递增
D.设 ，则 “ ”是“ ”的必要不充分条件
3、已知角 的终边在直线 上，则 （ ）
A.
B.
C.1
D.
4、在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A.19
B.18
C.17
D.20
5、如图所示的程序框图，输入3个数， ， ， ，则输出的 为（ ）
A.0
B.
C.
D.
6、为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、
绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，且 ，则线段 的中点到 轴的距离为（
）．
A.
B.
C.
D.
8、已知函数 对任意实数x都有 且 ，则 等于
（ ）
A.
B.0
C.3
D.6
9、已知函数 sin cos sin 在区间 上是增函数，且在区间 上
恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工
作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列
连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）
（1）中位数为3，众数为2 （2）均值小于1，中位数为1
（3）均值为3，众数为4 （4）均值为2，标准差为
A.（1）（3）
B.（3）（4）
C.（2）（3）
D.（2）（4）
11、已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是圆
与 位于 轴上方的两个交点，且 ，则双曲线 的离心率为
A.
B.
C.
D.
12、已知m、n为实数， e ，若 对 \xin 恒成立，则 的最小值为（ ）
A.1
B.2
C.－1
D.3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 .
14、圆 关于直线l： 对称的圆的方程为 ．
15、在矩形ABCD中， ， ，点E为BC的中点，点F在CD，若 ，则
.
16、如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪 ，经测量得 m m m
，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路 （其中点 在边 上，点 在边 上），
若 恰好将该草坪的面积平分，则 两点间的最小距离为 m.
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求B的大小；
（2）若 ，求 的面积．
18、（本小题8分）
热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在2022年6月至10月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据：
月份x 6 7 8 9 10
旅游收
y 10 12 11 12 20入
(1)根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x之
间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；
(2)为调查游客对该景点的评价情况，网友们随 机抽查了200名游客，得到如图列联表，请填写2×2列联表，并判
断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”？
喜欢 不喜欢 总计
男 100
女 60
总计 110
参考数据： ，
注：r与 的计算结果精确到0.001．参考公式：相关系数 ，
线性回归方程： ，其中 ， ，
．
临界值表：
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
19、（本小题8分）
*
已知数列 的前n项和为 ， 1=3， =2+ +1 ∈N ．
(1)证明：数列 2 为等比数列；
(2) = +2
设 ，记数列 的前n项和为 ，证明： {\text\less}1．
+1+1 2 3
20、（本小题10分）
已知椭圆 长轴的两个端点分别为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2） 为椭圆 上异于 的动点，直线 分别交直线 于 两点，连接 并延长交椭圆 于
点 .
（ⅰ）求证：直线 的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断 三点是否共线，并说明理由 .
21、（本小题12分）
已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）若 存在唯一极值点，且极值为0，求 的值；
（Ⅱ）讨论 在区间 e 上的零点个数．
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数），在以 为极点， 轴的非
负半轴为极轴的极坐标系中，点 的极坐标为 .
(1)写出曲线 的普通方程，并判断点 与曲线 的位置关系；
(2)设直线 ： 与曲线 交于 、 两点，求 的值.
23、（本小题12分）
已知a，b，c为正数.
(1)求 的最小值；
(2)求证： .
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
通过题意， ，则 .
因此正确答案为：B.
2、
【答 案】
C
【分析】
对于A选项，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数是不同的函数，故A无误；
对于B选项，因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以B无误；
对于C选项，因为 ，但是 ，与增函 数定义矛盾，所以C有误；
对于D选项，若 ，当 时，推不出 ，当 时， 且 ，所以D无误.
因此正确答案为：C.
3、
【答 案】
A
【分析】
因为角 的终边在直线 上，
所以当 时，在直线上取一点 ，则 ，
当 时，在直线上取一点 ，则 ，
综上 ，
所以 ，
因此正确答案为：A.
4、
【答 案】
C
【分析】
设等差数列 的公差为 ，则通过题意可得
，解得 ，
所以 ，
因此正确答案为：C.
5、
【答 案】
D
【分析】
根据条件结构的程序框图，依次执行，即得解
【详解】
由题意，输入 ， ，
第一步，判定 是否成立，由于
因此赋值 ，
第二步，判定 是否成立，由于
因此赋值
输出
故选：D
6、
【答 案】
A
【分析】
先列举基本事件，再利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
从蓝、白、 红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下：
（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（ 白红黑），（白红绿），
（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本事件，
其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白 红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件，
所以蓝、白口罩同时被选中的概率为 ．
故选：A.
7、
【答 案】
C
【分析】
由题意得： ，
设 ， ，则 ，
解得： ，
则线段 的中点横坐标为 ，
故线段 的中点到 轴的距离为 ．
故选C．
8、
【答 案】
B
【分析】
根据题意可推出 即 ，可得函数 是奇函数，利用赋值法求得
以及 ，继而根据 推得函数的周期，由此利用周期求得 的值.
【详解】
因为对任 意实数x都有函数满足 ，即 ，即 ，
所以函数 是奇函数，
对于 ， 令 ，则可得 ；
由 ，令 得， ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 12为函数 的周期，
所以 ,
故选：B．
9、
【答 案】
B
【分析】
由 ，可得 Z
由 在区间 上恰好取得一次最大值，可得 ，解之得
2
又 在区间 上是增函数，则 ，解之得
综上所述 的取值范围是
因此正确答案为：B
10、
【答 案】
D
【分析】
将 7 个数由小到大依次记为 、 、 、 、 、 、 .
对于（1）选项，反例： 、 、 、 、 、 、 ，满足中位数 为3，众数为2，与题意矛盾，（1）选项不合乎要
求；
对于（ 2）选项， 假设 ，即该公司发生了群体性发热，因中位数为1，则 ，平均数为
，矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（2）选
项合乎要求；
对于（3）选项 ，反例： 、 、 、 、 、 、 ，满足众数为4，均值为3，与题意矛盾，（3）选项不合乎要
求；
对于（ 4）选项， 假设 ，即该公司发生群体性发热，若均值为2 ，则方差为
，即 ，与（4）选项矛盾，故假设不成立，即该公司没有
发生群体性发热，（4）选项合乎要求.
因此正确答案为：D
11、
【答 案】
C
【分析】
【详解】
连接 ,由双曲线的定义可得: , ,由 ,可得
,在 中,可得 ,
在 中,可得 ,由 ，可得
,即有 ,可得 ,化为
,得 ,解得 ,负值舍去,故选C.
点睛:本题考查双曲线的定义与离心率,属于中档题目.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题,其关键是确
立一个关于 的方程或者不等式,再根据 的等量关系消掉 得到 的关系式即可,建立方程或者不等式,要
充分利用椭圆或双曲线的几何性质,点的坐标的范围等.
12、
【答 案】
C
【分析】
求出函数的导数，判断可得 ，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得不等式，
即可得到目标式大于等于一个关于 的函数表达式，构造新函数求得其最小值，可得答案.
【详解】
因为 e ，所以 e ，
若 时，则 恒成立，所以 在R上单调递增，
时， ，显然不符合题意；
若 时，分式 无意义，不符合题意；
当 时，令 ，解得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，则 ，则 ，
令 \xin ，则 ，
易知当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
导函数中 常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意
分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
二、填空题
13、
【答 案】
【分析】
【详解】
试题分析 ：由复数的运算可知 ， 是纯虚数，则其实部必为零，即
，所以 .
考点：复数的运算.
14、
【答案 】
【分析】
求出圆心 关于直线 的对称点，从而可求出所求圆的方程.
【详解】
圆 的圆心为 ，半径为 ，
设圆心 关于直线 ： 的对称点为 ，则
，解得 ，
所以所求圆的圆心为 ，
所以圆 关于直线l： 对称的圆的方程为
，
故答案为：
15、
【答案 】
【分析】
建立如图所示的坐标系，得到点 坐标，结合向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】
建立如图所示的坐标系，可得 ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，解得 ，即 ，
∴ ， ，∴ .
故答案为： .
16、
【答 案】
【分析】
由余弦定理可得 角的值，再由面积的关系可得 的乘积，再由余弦定理及均值不等式可得 的最小
值．
【详 解】
解：由 ， ， ，由余弦定理可得
，
由图知 ，
由题意可得 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，当且仅
当 时取等号，
所以 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
利用基本 不等式求最值时要注意验证等号成立的条件.
三、解答题
17、
【答案 】
（1） ； （2） .
【分析】
（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ， ，
由余弦定理可得 ，整理得 ，
又 ，解得 ，
所以 .
18、
【答 案】
(1)可以，
(2)表格见解析，有99 .9%的把握
【分析】
（1）利用相关系数的公式计算出 ，得到y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟
合y与x的关系，从而求出 ，得到线性回归方程；
（2）完善列联表，计算卡方，与10.828比较后得到结 论.
【详解】
（1）由已知得 ， ，
， ， ，
所以 ，
因为 ，
说明y与x的线性相关关系很强 ，可用线性回归模型拟合y与x的关系，
设线性回归方程为 ，
∴ ， ．
则y关于x线性回归方程为 ；
（2）由题可得2×2列联表，
喜欢 不喜欢 总计
男 70 30 100
女 40 60 100
总计 110 90 200
，
∴有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”．
19、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用 +1= +1 ，代入等式，变形后即可得证；
, =1
（2）由（1）可得 =2 1+2 1，借助 = 即可求出数列 的通项公式，由此即可得出
1 , 2
2 1 1
= ，利用裂项相消，即可求出 =2 ，即可得证.
2 1+1 2 +1 2 2 +1
（1）
因为 =2+ +1
=1 当 时， 1 2=1，
又 +1= +1 ，
=2+ 2 2 = +1
2
所以 +1 ，即 +1 2，即 =2，2
所以数列 2 为以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）
由（1）知 2=2 1 =2 1+2，
当 2 1 2时， = 1= 2 +2 2 +2 =2
2
，
当 =1时， 1=3不满足上式，
3 , =1
所以 = ，
2 2 , 2
+2 2 1 1
所以 = = =2
+1+1 2 3 2 1+1 2 +1 2 1+1 2 +1
1 1 1 1 1 1 1 1
所以数列 的前n项和 =2 + + + =2 {\text\less}1.
1+1 2+1 2+1 22+1 2 1+1 2 +1 2 2 +1
20、
【答案 】
（1） ；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.
【分析】
（1）通过题意得 ，
所以 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）（ⅰ）证明：设 ，
因为 在椭圆 上，所以 .
因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 .
所以 点的坐标为 .
所以直线 的斜率为 .
所以直线 的斜率之积为：
.
（ⅱ） 三点共线.
设直线 斜率为 ，易得 .
由（ⅰ）可知直线 斜率为 ，所以直线 的方程为 .
联立 可得 .
解得 点的纵坐标为 ，
所以 点的坐标为 .
所以，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .
因为直线 的斜率等于直线 的斜率，
所以 三点共线.
21、
【答案 】
（Ⅰ） 或 e；（Ⅱ）答案见解析.
【分析】
（Ⅰ）求出 ，分 、 两种情况讨论 的单调性，然后可得答案；
（Ⅱ）分 、 e 、 e 三种情况讨论 在区间 e 上的单调性，每种情况下结合 的函数
值的符号判断其零点个数.
【详解】
（Ⅰ）由已知，可得 ．
①若 ，则当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递增，与 存在极值点矛盾 ；
②若 ，则由 得 ．
∴当 时， ；当 时， ．
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ 存在唯一极小值点 ．
∴ ．
∴ 或 e．
（Ⅱ）①当 时， 在 e 上恒成立，∴ 在 e 上单调递增．
∵ ， e e ，
e
（ⅰ）当 时， e e e ；
e e
（ⅱ）当 时， e e ．
e
∴ e ．
∴由零点存在性定理，知 在 e 上有1个零点；
②当 e 时，
∵当 时， ；当 e 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 e 上单调递增．
∴ ．
（ⅰ）当 e时， ，此时 在 e 上有1个零点；
（ⅱ）当 e时， ，此时 在 e 上无零点；
（ⅲ）当e e 时， ， ．
e
（a）当 e e ，即 e 时， 在 e 上有1个零点；
e e
e
（b）当 e e ，即e 时， 在 e 上有2个零点；
e e
③当 e 时， 在 e 上恒成立， 在 e 上单调递减．
∵ ， e e e e e ，
e e
∴ 在 e 上有1个零点，
综上，当 e时， 在 e 上无零点；
e
当 或 e或 时， 在 e 上有1个零点；
e
e
当e 时， 在 e 上有2个零点．
e
【点睛】
关键点睛： 解答本题的关键是要掌握分类讨论的思想，利用函数的单调性和函数值的符号讨论函数的零点个数.
22、
【答 案】
(1) ， 在曲线 内部
(2)
【分析】
（1）利用消参法可得曲线 的普通方程，求得点P的直角坐标，代入曲线 的普通方程中，可判断点 与曲线
的位置关系；
（2）求出直线 的参数方程，并代入曲线方程中，得根与系数的关系式，利用参数的几何意义，求得答案.
（1）
cos
由 sin ,消参得曲线 的普通方程为： ，
cos
由 sin ，可得点P的直角坐标为 ,
将 代入曲线 的普通方程的左边得： ，故 在曲线 内部.
（2）
因为直线 ： 的极坐标方程对应的普通方程为： ，
所以 在直线 上，所以可设直线 的参数方程为： （t为参数），
将其代入曲线 的普通方程 并化简整理得： ， ，
设它的两根为 ，则 ，
所以： .
23、
【答案 】
(1)
(2)证 明见解析
【分析】
（1） = ，然后利用均值不等式可得答案；
（2）由 ， ， 可证明.
【详解】
（1）因为 = ，当且仅当“ ”时等号成立，
所以当 时， 的最小值为 .
（2）因为 ，同理 ， ，
所以三式相加得 ，
所以 ，当且仅当“ ”时等号成立