2022~2023学年黑龙江鸡西虎林市虎林市实验高级中学高三上学期期末数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年黑龙江鸡西虎林市虎林市实验高级中学高三上学期期末数
学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知 ， ，则 （ ）
A.
B. ，
C.
D. ， ，
2、若复数 满足 i i，其中 为虚数单位，则在复平面上复数 对应的点的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、设函数 则 的值为（ ）
A.0
B.
C.1
D.2
4、甲、乙、丙、丁四位同学组成两队进行乒乓球比赛，先从四人中选出两个人组成一队，剩下的两位同学组成
另一队，则甲、乙两位同学不在同一队的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、如图所示的流程图，若输入x的值为 ，则c的输出的结果为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
6、将函数 的图像向左平移 单位后得到函数 的图象，则
函数 （ ）
A.关于点 对称
B.关于点 对称
C.关于直线 对称
D.关于直线 对称
7、某几何体的三视图如图所示，网格的数量单位为1cm，则这个几何体的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、设数列 满足 ，数列 满足 ，数列 是由数列 、 公共项按从小到大的
顺序组成一个新的数列 ，设数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A.844
B.850
C.856
D.862
9、已知 ，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知双曲线 的渐近线方程为 ， 分别是双曲线的左、右焦点，点
， ，点 为线段 上的动点，当 取得最小值时， 的面积为（ ）
A.
B.
C.2
D.
11、正方体 的棱长为2, 为棱 的中点，用过点 的平面截该正方体，则所得截面
的面积为（ ）
A.
B.
C.5
D.
12、设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ．若当 ，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设 ， ，则 在 方向上的投影为 .
14、若变量 满足 ，则 的最小值是
15、有一个人进行徒步旅行，他6天共走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一
天的一半. 则此人第4天和第7天共走了 里.
16、已知抛物线 ， 为原点， 为抛物线 的焦点，点 为抛物线两点，满足 ，
过原点 作 交 于点 ，当点 的坐标为 ，则 的值为 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
在 中，角 所对的边分别是 ，且 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ， ，求 的面积.
18、（本小题8分）
已知如图几何体，正方形 和矩形 所在平面互相垂直， ，M为AF的中点，
，垂足为N．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的大 小．
19、（本小题8分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一
个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为
了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年1000位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0，
0.5，0.5，1…，4，4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)有人不小心将频率分布直方图的一个数据弄模糊看不清，请根据你所学知识求出模糊的数据；
(2)若该市政府希望使50%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并 说明理由；
(3)现从第7，8，9组被调查人中用分层抽样的方法抽取6人，然后再随机抽取2个人进行问卷调查，求恰好抽取
到同一组的概率为多少？
20、（本小题10分）
已知椭圆E： ，已知椭圆过点M ， .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知直线l： 交E于点A，B两点、交x轴于P点，点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于Q点. 试
探究 是否为定值？若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由．
21、（本小题12分）
设函数 ， .
(1)当 时，求函数 在 的最 值；
(2)试讨论 零点的个数.
22、（本小题12分）
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，（ 为参数），以原点 为极点， 轴的非负半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
(2) 设直线 与曲线 交于 两点，若点 的直角坐标为 ，试求当 时 的值.
23、（本小题12分）
已知函数
(1)若 ，使得 成立 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，都有 成立，求实数 的取 值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
求出集合 即得解.
【详解】
解：由题得 ，所以 ， .
故选：B
2、
【答 案】
A
【分析】
i i=1+2i，
对应的点的坐标是 ．
因此正确答案为：A
3、
【答 案】
B
【分析】
根据函数的解析式，先求出 ，继而可求得 .
【详解】
因为 ，
所以 ，
则 ，
故选：B.
4、
【答 案】
C
【分析】
根据题意计算基本事件总数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
甲乙丙丁四 名同学任选2名组成同一组，余下的2名为另一组，共3种基本事件，甲乙在同一组有1种基本事件
数，甲乙不在同一小组有2种基本事件数.
因此甲、乙两位同学不在同一队的概率为 .
故选：C.
5、
【答 案】
B
【分析】
利用循环结构即可求得c的输出的结果.
【详解】
第一次， ，第二次， ，
第三次， ，第四次， ，
跳出循环， ，输出2.
故选：B
6、
【答 案】
C
【分析】
结合平移后的函数解析式得 的值，再利用 的解析式讨论对称中心和对称轴.
【详解】
函数 图像向左平移 后得 ，
即 ，又 ，易得 .
所以 .
当 时， ，则函数 关于直线 对称，故A错误，C正确；
当 时， ，则直线 不是函数 的对称轴，又点 不是函数 的对称中心，
故BD错误.
故选:C.
7、
【答 案】
C
【分析】
根据三视图还原成空间几何体，由锥体体积公式求体积可得结果.
【详解】
如图：根 据三视图可以看出该几何体是四棱锥 ， 面 ,
底面四边形 中， ,所以
根据锥体的体积公式 ，
故选：C.
8、
【答 案】
B
【分析】
判定出数列 是等差数列，利用等差数列前 项和公式求解即可.
【详解】
由题意知数 列 、 分别是以2,3为公差，2为首项的等差数列，
所以数列 是以2为首项，6为公差的等差数列，
所以 .
故选:B.
9、
【答 案】
C
【分析】
根据题中条件及平方关系式，联立解方程可得 ， ，继而利用二倍角公式及两角差的正弦
公式计算即可.
【详解】
由 及 以及 ,
可得 ， ，
所以 ,
π
所以 ，
故选:C.
10、
【答案 】
A
【分析】
根据条件求得直线 的方程，设 ，则 用参数表达成函数后，可求得最小值时的
点 的位置，用三角形的面积计算公式计算即可.
【详解】
根据题意知， ，则 ，
则 ，又 ，
故线段 所在直线的方程为 ，
又点 在线段 上，
可设 ，其中 ，
由于 ，得
，
所以 ．
由于 ，可知当 时，
取得最小值，此时 ，
所以 的面积为 .
故选：A.
11、
【答 案】
A
【分析】
先作出过点 的平面截正方体所得截面，进而求得该截面的面积.
【详解】
取 中 点P，连接 ，
由正方体的性质可知 ，可得四边形 为平行四边形，
又 ，则四边形 为为菱形.
所以截面为边长为 的菱形，两对角线长分别为 ，
所以该截面的面积为 .
故选：A.
12、
【答 案】
D
【分析】
由已知当 时， ，
，
在 上单调递增，所以 ，
即 ，
所以有 ，
所以 在 上恒成立，
所以 ，
解得 ，
故选：D.
二、填空题
13、
【答 案】
/
【分析】
先列方程求得 的值，再利用公式即可求得 在 方向上的投影.
【详解】
，
， ，
在 方向上的投影为 .
故答案为：
14、
【答案 】
0
【分析】
利用线性规划和几何意义即可求得 的最小值.
【详解】
作出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
表示平面区域内的点到原点距离，
原点到直线 的距离为 ；
原点到直线 的距离为 ；
原点到原点的距离为0，
则 .
故答案为：0
15、
【答 案】
27
【分析】
根据题意知，此人每天走的里数构成公比为 的等比数列，按照等比数列前 项和公式及通项公式求解即可.
【详解】
由题意知，此人每天走的里数构成公比为 的等比数列，
设等比数列的首项为 ，
则有 ，
所以有 .
所以此人第4、7天共走 了27里.
故答案为：27.
16、
【答 案】
【分析】
由题意可知直线 的斜率为 ，
所以直线 的斜率为 ，可得直线 的方程为 ，
联立 ，
消去 得 ，
设点 ，则 ，
由 ，有 ，即 ，即
解得 .则
，
故答案为：
三、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）由 及正弦定理，得 .
∵ ，∴ .
由余弦定理，得 .
（2）由已知 ， ，得 .
∵在 中， 为锐角，且 ，
∴ .
∴ .
由 ， 及公式 ，
∴ 的面积 .
18、
【答 案】
(1)证明见解析
(2) ．
【分析】
（1）证明：连结 交 于 ，连结 ．
因为 为 中点， 为 中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为正方形 和矩形 所在平面互相垂直，
所以 平面 ．
以 为原点，以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系．
， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ．
设平面 的法向量为 ， ， ．设 与 的夹角为 ，
，
所以二面角 的大小为 ．
19、
【答案 】
(1)0.4
(2)2.06 ，理由见解析
(3)
【分析】
（1）根据各组的累积频率为1，建立方程，解出即可；（2）根据题意所求的为用水量的中位数，根据中位数平
分矩形面积，建立方程，解出即可；（3）由古典概型概率计算公式进行计算即可.
【详解】
（1）根据 各组的累积频率为1，设模糊的数据为a，则有
,
解得 .
（2）由题意可 以知道所求的为用水量的中位数设为 ，
又四个矩形面积为 ，
所以有：
解得 吨
所以可设置标准2.06吨，可使得50％的居民用水不超过标准，即所求的为用水量的中位数.
（3）根据分层抽样可以得到在7,8,9组抽样的人数为3:2:1，
所以在7,8,9组分别抽取的人数为3,2,1，
分别设为 ，所以所 有的抽样可能为：
共15种，
满足要求为 共4种，
所以抽取的两个人来自相同的组别的概率为 .
20、
【答 案】
(1) ；
(2) 为定值4
【分析】
（1）列出关于 的方程组，解之求得 的值，进而得到椭圆E的标准方程；
（2）联立直线l与椭圆E的方程，利用设而不求的方法分别得到P点Q点的横坐标，进而求得 的值为
定值.
【详解】
（1）由题意可知 ，即
解得 ，所以E的标准方程为： ．
（2）因为直线l的方程为 ，显然 ，则点P的坐标为
设 ，则
联立直线与椭圆方程有
，整理得
所以有 ，即 ，且 ①
直线BD的方程为 ，
令 ，得Q的横坐标为
，
将①代入得
所以有 ，
所以 为定值4 .
21、
【答 案】
(1)函数 在 的最大值是 ，最小值为
(2)答案见解析
【分析】
（1）利用导数考查函数 在区间 的单调性，进而可确定最值点，求出最值即可；
（2）由题 ， ，对 分类讨论，考查函数的单调性， 利用单调性即可得到结
论.
【详 解】
（1）当 时，有 ，所以 ，
所以 时， ，当 时， ，当 ， ，
所以 在 单调递增，在区间 单调递减，
所以在 取得极大值，也为最大值，
所以 在 的最大值为 ；
又因为 ，所以 在 的最小值为 .
综上，函数 在 的最大值是 ，最小值为 .
（2）因为 ，则 ，
当 时有 成立， 在 单调递减 ，又 ， 有唯一零点0；
当 时， ，有 ，
所以当 时有 ， ， ，
所以在 ， 单调递增，在 ， 单调递减，
所以 在 取得极大值，即为最大值.
设 ，所以
当 时，有 ，所以 在 单调减 ，
又 ，所以有 在 成立；
当 时，有 ，所以 在 单调增，
又 ，所以 在 成立；
当 时， ，所以 ，则 有唯一零点0；
当 时， ，又 ，
所以在 有一个零点，又 ，所以 有两零点；
当 时， ，设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
当 ，则 ，则 ，
= ，
所以在 有一个零点 ，又 ，所以 有两零点.
综上所述，当 或 时， 有一个零点；
当 或 时， 有两个零点.
【点睛】
方法点睛： 求零点的个数一般有两个思路：一是利用导数研究含参函数的单调性，求得最值，利用零点存在性
定理进行求解；二是转化为求方程的根的个数，通常可以转化为求两个函数交点的个数，注意数形结合及分类
讨论的思想.
22、
【答 案】
(1) ，表示以 为圆心、 为半径的圆
(2)
【分析】
（1）利用极坐标方程和普通方程互化公式将曲线C的方程化为一般方程，进而得到圆心半径；
（2）联立直线和圆的方程，得到关于 的二次方程，由韦达定理得到结果.
【详解】
（1）曲线 可以化为 ， ，
，
因此，曲线 的直角坐标方程为 ，即 ，
它表示以 为圆心、 为半径的圆.
（2）当 时，直线的参数方程为 ，（ 为参数），
代入 中得 ， ，
设两个实数根为 ，则 两点所对应的参数为 ，
则 ，
所以 ，
. 即
23、
【答案 】
(1)
(2) 或 .
【分析】
（1）先取消绝对值得到分段函数，再求 的最小值.若 ，使得 成立， 不小于 的最
小值，进而得实数 的取值范围.
（2）若 ，都有 成立，等价转化为 的最大值不大于0，进而得
，最后解不等式可得实数 的取值范围.
【详解】
（1）由 知，
所以有 的最小值为 ，
所以 ，使得 成立，
所以有 ，即 .
故实数 的取值范围是 .
2 （ ）若 ，都有 成立，等价于 ， 的最大值不大于0.
令 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，得 .
由 ， ，得 或 或 ，解得 或 .
故实数 的取值范围 或 .