2022~2023学年黑龙江佳木斯汤原县汤原高级中学高三上学期期末文科数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年黑龙江佳木斯汤原县汤原高级中学高三上学期期末文科数
学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则
A.
B.
C.
D.
2、函数 （其中 为自然对数的底）的图象大致是
A.
B.
C.
D.
3、在等差数列 中， ， ，则 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
4、如图,在 中, ， ，若 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
5、“ ”是“直线 与圆 相切”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6、已知x，y满足线性约束条件 ，若 ， ，则 的最大值是
（ ）
A.-1
B.
C.5
D.7
7、已知 ， ， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
8、在四面体ABCD中， ， ， ， ， ，则二面角
的平面角的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
9、圆 ： 与圆 ： 的公共弦的长为（ ）
A.
B.2
C.
D.
10、已知 ， ，从点 射出的光线经直线 反射后，再射到直线 上，最后经直线 反射
后又回到 点，则光线所经过的路程是（ ）
A.
B.6
C.
D.
11、已知圆 和圆 的公共弦所在的直线恒过定点 ，且点
在直线 上，则 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 ，过 作圆的切线
, ,切点为 , 使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、函数 在区间 上的零点个数为 .
14、已知数列 的前 项和 ，设数列 的前 项和为 ，则 的值为 .
15、如图，在直三棱柱 中，∠ACB＝90°， ，则异面直线 与AC所成角
的余弦值是 ．
16、已知圆 ，直线 ，直线 被圆截得的弦长
最短时， 的方程为 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
在 中， ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
18、（本小题8分）
数列 是首项为 ，公比 的等比数列，设 ，数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ;
19、（本小题8分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ∥ ， ，
．
（1）求证：平面 平面 ;
（2）若棱 上存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
20、（本小题10分）
已知P( ， )是椭圆C： (a>b>0)上一点，以点P及椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形面
积为2 ．
(1)求椭圆C的 标准方程；
(2)过F2作斜率存在且互相 垂直的直线l1，l2，M是l1与C两交点的中点，N是l2与C两交点的中点，求△MNF2面积
的最大值．
21、（本小题12分）
已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）已知函数 的两个极值 点 ，若 ，①证明： ；②证明：
．
22、（本小题12分）
在直角坐标系 中，直线 ，曲线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求 的极坐标方程和 的普通方程；
（2）把 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 得到直线 ， 与 交于A，B两点，求 ．
23、（本小题12分）
已知函数 ．
（1）若 ，试求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
由指数函数的值域化简集合 ，由二次函数的值域化简集合 ，对选项中的集合关系逐一判断即可.
【详解】
集合 ，
， ，故选A.
【点睛】
集合的基 本运算的关注点：
（1）看元素组成．集合是由 元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；
（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 图．
2、
【答 案】
A
【分析】
因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当 时 ，所以当 时
，去掉B;当 时 ，去掉C，因此选A.
3、
【答 案】
D
【分析】
由等差数列的通项公式求得公差 ，由等差数列的性质以及等差数列的通项公式即可求解.
【详解】
因为 ，所以公差 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：D.
4、
【答 案】
B
【分析】
由平面向量的基本定理求解即可
【详解】
，
所以 ， ，
故选：B
5、
【答 案】
A
【分析】
由圆的方程知，圆心坐标为 ，半径
当 时，直线为： ，即
圆心到直线距离
当 时，直线与圆相切，则充分条件成立
当直线与圆相切时，圆心到直线距离 ，解得： 或
则必要条件不成立
综上所述“ ”是“直线 与圆 相切”的充分不必要条件
本题正确选项：
6、
【答 案】
C
【分析】
画出可行域，通过平移基准直线 到可行域边界位置，由此求得 的最大值.
【详解】
， ，即 ，
，
画出可行域如下图所示，
由图可知，当 时， 的截距最小，即 取得最大值，为 .
故选：C.
7、
【答 案】
C
【分析】
， ， ，
，故 ，
.
因此正确答案 为：C.
8、
【答 案】
B
【分析】
在 中， ，则 ；
在 中， ， ，则 ；
又 ，在 中， ，则 ；
过点 作 ，使 ，连接 、 ，
则四边形 为矩形， ，
因为 ，
则 平面 ， ，
则 平面 ， 平面 ，则
，
在 中， ，
则 ， ，
由于 ， ，则 为二面角 的平面角，
. 且
因此正确答案为：B
9、
【答 案】
C
【分析】
圆 ： ，圆心为 ，半径为 ；
圆 ： ，圆心为 ，半径为 ；
圆心距 ， ，两圆相交.
公共弦为： ，即 ，故圆心 到 公共弦的距离为 ，
公共弦长为： .
因此正确答案为： .
10、
【答案 】
C
【分析】
通过题意直线 方程为 ，设 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ，即 ，又 关于 轴的对称点为 ，
．
因此正确答案为：C
11、
【答 案】
C
【分析】
先根据两圆方程得公共弦方程 ，再求得点 ，再根据 的几何意义即可
求解.
【详解 】
由圆 和圆 ，
可得圆 和 的公共弦所在的直线方程为 ，
联立 ，解得 ，即点
又因为点 在直线 上，即 ，
又由原点到直线 的距离为 ，
即 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查圆 的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中
档题.
12、
【答案 】
A
【分析】
【详解】
试题分析： 椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角 最小，若椭圆 上存在满足条件
的点P，则只需 ，即 ， ，解得 ， ，即
，又 ，即椭圆 的离心率的取值范围是 ；
考点：椭圆方程及性质
二、填空题
13、
【答案 】
2
【分析】
先作出函数 与函数 在 的图像，再观察两图像的交点个数即可.
【详解】
解：函数 在 上的零点个数为函数 的图象与函数 的图象在 上的交点个数.在同
一平面直角坐标系内，画出 及 的图象如图所示，由图象可观察出两个函数的图象在 上
的交点个数为2.
故答案为2
【点睛】
本题考查了 函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
14、
【答案 】
【分析】
利用 与 的关系求解 的通项公式，再用裂项相消法求 .
【详解】
时， ， ， 时， ，
，检验： 符合上式，所以 ，
，
.
故答案为：
15、
【答 案】
【分析】
解：连结 ，∵AC∥ ，
∴ 是异面直线 与A C所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱 中，∠ACB＝90°， ，
∴ ， ， ， ，
∴
∴异面直线 与AC所成角的余弦值为 ．
因此正确答案为： ．
16、
【答 案】
【分析】
由直线方程可知过定点 ，要使直线 被圆截得的弦长最短，只需圆心 与定点距离即为点线距离，结合点线
距离、两点距离公式列方程求 值，进而写出 的方程.
【详解】
由 可得 ，
由 解得 ，
所以直线 过定点 ，
由 可知，圆心为 ，半径为5，
所以要使直线 被圆截得的弦长最短，则圆心 与定点距离即为点 线距离，
所以 ，解得 ，
所以 的方程为 ，整理得 .
故答案为：
三、解答题
17、
【答案 】
(1) ，
(2)
【分析】
（1） ， ，
由余弦定理得： ，
解得： ， .
（2） ， ， ，
由正弦定理得： ，
.
18、
【答 案】
(1) ，
(2)
【分析】
（1）根据题意，由等比数列的通项公式即可得到数列 的通项公式，从而得到数列 的通项公式；
（2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果.
【详解】
（1）∵数列 是首项为 ，公比 的等比数列，∴ ，
.
（2） ，
于是 ，
两式相减得
.
∴ .
19、
【答案 】
（1）见解析（2）
【分析】
【详解】
试题分析： （1）由 ∥ ，推出 ，再根据 平面 ，推出 ，从而可证平
面 平面 ；（2）根据题设条件建立以 为坐标原点，以 ， ， 所在射线分别为 轴的空
间直角坐标系，设 ，由 得出 ，分别求出平面 与平面 的一个法向
量，再根据二面角 的余弦值为 ，即可求得 ，从而可得 与平面 所成角的正弦值．
试题解析：（1）证明： ∥
平面 , 平面
平面
平面
平面 平面
（2）解: 以 为坐标原点，以 ， ， 所在射线分别为 轴建立空间直角坐标系 如图所示，
则 ,由点C向AB作垂线CH, 则 ,
∴
∴
设 .
∵ 在棱 上 ，
∴ （ ）
∴
设平面 的法 向量 ,
∴ , ，取 ，则 ，则 .
设平面 的法向量 ,
∴ ， ，取 则
.
∴
∴ ， ，解得 .
∴ ，
易知平面 的法向量 ，所以 与平面 所成角的正弦值 .
点睛：本题主要考查面面垂直的判定定理利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般
步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；
（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化
为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20、
【答案 】
(1) ；
(2) ﹒
【分析】
(1)由椭圆过的点的坐标及三角形的面积可得 ， ， 之间的关系，求出 ， 的值，进而求出椭圆的标准方程；
(2)由题意设直线 的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出交点的中点 的纵坐标，同理求出 的纵坐
标，进而求出 面积的表达式，换元由函数的单调性求出其最大值．
【详解】
（1 ）由题意可得 ，解得： ， ，
∴椭圆的标准方程为： ；
（2）由(1)可得右焦点 ，
由题意设直线 的方程为： ，设直线与椭圆的交点 ， ， ， ，则中点 的纵坐标为
，
联立直线 与椭圆的方程 ，
整理可得： ， ，∴ ，
同理可得直线 与椭圆的交点的纵坐标 ，
∴
，
设 ，令 ，则 ，令 ， ，
， ， 恒成立，∴ 在 ， 单调递增，
∴ ．
∴ 面积的最大值为： ．
21、
【答 案】
（1）情况较多，见详解，（2）证明见详解
【分析】
（1）求出 ，然后分 ， ， 三种情况讨论
（2）①由 即可证明；②用分析法得到要证原命题即证
，然后设 ，利用导数得到 在 单调递减，结合 可
得当 时 ，当 时 ，然后即可证明.
【详解】
（1）由已知
①当 时， ，所以 ，所以函数 在 上单调递增
②当 时， 在 上有两不等正实数根
记
当 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
③当 时，
所以当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
（2 ）① 的定义域为 ，有两个极值点
则 在 上有两个不等正根
由（1）中可得
因为 ，所以 ，所以
②原命题即证明当 且 ， 时 成立
即证 ，即证
即证 ，即证
设
则
当 时 ， 在 单调递减
因为 ，所以当 时 ， 当 时
又因为 时 ，当 时
所以 ，原命题得证
【点睛】
1.解含参的 一元二次不等式常从以下几个方面讨论：开口方向、根的个数、根的大小、根在不在给的范围内.
2.本题考查了利用导数研究函数的单调性及证明不等式，属于较难题.
22、
【答 案】
（1） ； 安 ；（2） ．
【分析】
（1）由直线 的直角坐标方程能求出直线 的极坐标方程，曲线 的参数方程消去参数 ，能求出曲线 的
普通方程．
（2）把 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 得到直线 的极坐标方程为 化为直角坐标方程为
，求出圆 的圆心到直线 的距离，由此利用勾股定理能求出 ．
【详解】
解：（1） ∵直线 ，
∴直线 的极坐标方程为 ，即 ，
∵曲线 的参数方程是 （ 为参数），
∴消去参数 ，得曲线 的普通方程为 ．
（2）∵把 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 得到直线 ，
∴ 的极坐标方程为 ，化为直角坐标方程为 ，
圆 的圆心 到直线 ： 的距离： ，
∴ .
【点睛】
本题考查直 线的极坐标方程的求法，考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐
标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程
思想，是中档题．
23、
【答案 】
（1） ；（2） ．
【分析】
（1）将 表示为分段函数的形式，由此求得不等式 的解集.
（2）利用绝对值不等式得到 ，由 求得 的取值范 围.
【详解】
（1）当 时， ，即 ，
所以 可化为 或 ，或
解得 ，或 ，或 ，
所以不等式 的解集为 ．
（2）因为 ，
当且仅当 时取等号，
∴ . min
又∵ 恒成立，∴ ．
解得 或 ，所以m的取值范围是 ．
【点睛】
解含有绝 对值的不等式，可利用零点分度法去绝对值来求解.