2022~2023学年黑龙江齐齐哈尔龙沙区恒昌中学高一下学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年黑龙江齐齐哈尔龙沙区恒昌中学高一下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知向量 ， ，则 的坐标为
A. ）
B.
C.
D.
2、已知 是虚数单位，复数 ，则复数 在复平面内表示的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3、在 中，角 所对的边分别是 ，则sin （ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A.
B.
C.2
D.-2
5、已知角 终边上一点 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
6、若向量 ， ， ，且 ∥ ，则 在 上的投影向量为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形
玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
8、函数 的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C. 单调递增区间为
D. 对称中心为
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、在 中，下列命题错误的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则 一定为等腰三角形
C.若 ，则 一定为等腰三角形
D.若三角形的三边满足 ，则该三角形的最大角为钝角
10、在平面直角坐标系中，已知点 ，下列判断正确的是（ ）
A.
B. 是直角三角形
C. 与 的夹角的大小为
D.点 为 的重心
11、下列说法正确的是（ ）
A.若 ，且 ，则
B.若 ， 为复数，则
C.设 ， 是非零向量，若 ，则
D.设 ， 为复数，若 ，则
12、下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A.在区间 上单调递增
B.最小正周期是
C.图象关于点 成中心对称
D.图象关于直线 成轴对称
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知点 ， ，则 .
14、设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 ．
15、已知sin α＋cos α＝ ，α∈(－π，0)，则tan α＝ .
16、设 都是锐角，且 ，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 ，且 在第三象限，
(1)、 和
+
(2)、 .
+
18、（本小题12分）
i
已知：复数 i ，其中i为虚数单位．
i
(1)求 及 ；
(2)若 i，求实数 的值．
19、（本小题12分）
如图，某渔船在海上 处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北 方向上有一个小岛 可躲
避恶劣天气，在小岛 的正北方向有一航标灯 距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达 处，测得
， 海里.
（1）求 处距离航标灯 的距离 ；
（2）求 的值.
20、（本小题12分）
已知 ，且 的最小正周期为 .
（1）求 ；
（2）当 时，求函数 的最大值和最小值并求相应的 值.
21、（本小题12分）
如图所示，在平行四边形ABCD中，若 ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
22、（本小题12分）
已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，S为 的面积，sin ．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求S的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
D
【分析】
故选：
2、
【答 案】
C
【分析】
根据复数的几何意义判断即可.
【详解】
因为复数 ，
所以复数 在复平面内表 示的点为 ，位于第三象限.
故选：C
3、
【答 案】
A
【分析】
解：由正弦定理得，sin ，
因此正确答案为：A.
4、
【答 案】
B
【分析】
由已知得 ， ，
又因为 ，
所以有 ，解得 .
因此正确答案为：B
5、
【答 案】
A
【分析】
点 是角 终边上的点，则
因此正确答案为：A
6、
【答 案】
A
【分析】
∵ ∥ ，∴ ，即 ，
在 上的投影向量为： ，
因此正确答案为:A
7、
【答 案】
D
【分析】
利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解
【详解】
易知该扇形 玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为 ， ，相
同的圆心角为 ，则 ，得 ，又因为 ，所以 ， ，
该扇形玉雕壁画面积
（cm ）．
故选：D．
8、
【答 案】
D
【分析】
先依据题设中提供的图形信息，求出函数的解析表达式，再用整体代入法求解函数单调区间和对称中心即可.
【详解】
由题设中提供的函数图像可以看出：
又 ，将 代入可得 ，由于 ，所以 ，
将 代入可得 则
由于 ，所以 ，
所以 ；故AB正确；
解不等式 得：
即 单调递增区间为 ，故C正确；
令 可得 ，即
所以 的对称中心为 ；故D错误；
故选：D.
二、多选题
9、
【答 案】
B;C;D
【分析】
根据正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换即可逐项求解．
【详解】
解：对于 A 选项，由正弦定理结合大角对大边得： ，故A 选项正确；
对于B选项，由于 ，
又 ， 是三角形的内角，
所以 ，或 ，即 或 ，
因此 可能为等腰三角形或直角三角形，
故B选项错误；
对于C选项，若 中， ， ， ，可得 ， 不是等腰三角形，故C选项错
误；
对于 D选项，因为 ，
所以 ，可得 为锐角，无法判断三角形的最大角为钝角，故D选项错误．
故选：BCD．
10、
【答案 】
A;B;C
【分析】
根据题意，结合向量坐标运算依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：因为点
所以 ，故 ，A选项正确；
因为 ，
所以 ，即 是直角三角形，B选项正确；
因为 ， ，
所以， 与 的夹角的大小为 ，C选项正确；
因为 是直角三角形，三角形的重心为三边中线的交点，
所以，点 不可能为 的重心，故错误；
故选：ABC
11、
【答 案】
B;C
【分析】
根据向量垂直数量积为0判断A选项;根据复数的模长公式计算判断B选项;根据数量积公式运算律计算可得C选项;
特殊值法可判断D选项.
【详解】
因为 ，所以 ， 故A错误；
令 ， ，
所以 ，
所以 .
又 ，所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，故C正确；
若 ， ，满足 ，但 ，故D错误.
故选:BC.
12、
【答 案】
B;C
【分析】
由函数式可化为 ，结合正切函数的性质有函数在 上递减，最小正周期为
，关于点 成中心对称，无对称轴，即可判断选项的正误.
【详解】
，
令 ，得 ，
∴ 时， ，所以 在 上单调递减，A错误.
由上知：最小正周期为 ，B正确.
当 时有 ，所以 关于点 成中心对称，C正确.
由正切函数的性质知：正切函数无对称轴，D错误.
故选：BC
【点睛】
关键点点睛 ：应用正切函数的性质确定单调性及其区间，最小正周期，对称中心，进而判断选项的正误.
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
通过题意得 ，故 .
因此正确答案为： .
14、
【答案 】
【分析】
利用复数的除法化简复数 ，利用该复数为纯虚数可求得实数 的值.
【详解】
为纯虚数，
则 ，解得 .
故答案为： .
15、
【答 案】
.
【分析】
由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得 和 的值，可得
的值.
【详解 】
因为sin α＋cos α＝ ，① 所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝ ，
即2sin αcos α＝ . 因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，
所以sin α－cos α＝ ，
与sin α＋cos α＝ 联立解得sin α＝－ ，cos α＝ ，
所以tan α＝ .
故答案为： .
【点睛】
该题考查 的是有关三角函数恒等变换化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，在解题的过程
中，注意 这三个式子是知一求二，属于简单题目.
16、
【答案 】
【分析】
根据 都是锐角，可得 ，再利用两角差的余弦公式以及同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
都是锐角，且 ，
，
所以 ， ，
.
故答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1)、
，
(2)、
【分析】
(1)、已知 ，且 在第三象限，所以 ，
(2)、原式
+
18、
【答 案】
(1) i，
(2) ，
【分析】
（1）
i i i
i i i i i i，则 .
i i i
（2）
由（1）得： i i i i i i，
，解得： .
19、
【答 案】
（1） 海里；（2） .
【分析】
解析：（1）∵ ， ， ，
∴ 由余弦定理得 ，∴ 海里，
（2） ，由正弦定理得 ，
∴ .
20、
【答案 】
（1） ；（2） 时， , 时， .
【分析】
解:(1）函数
，
因为 ,
所以 ，
解得 ，
所以 .
(2)当 时， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
所以， 时， , 时， .
21、
【答 案】
（1） ；（2）22
【分析】
（1）易得 ， ，再由 即可得解；
（2）由 可得出 ，再由 ，可得：
，即 ，即可得到 的值.
【详解】
（1）由向量的加法法则得： ， ，
，
因为 ，所以 ；
（2） ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ .
【点睛】
本题平面 向量的应用，考查向量的加法法则，考查向量数量积的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常
考题.
22、
【答 案】
（1）见解析；（2）
【分析】
(1)证明：由sin ，即sin ，
sin
sin ，sin ， ，
cos ， cos ，
cos ， cos ，
sin sin cos sin ，
sin sin cos sin ， sin cos cos sin sin ，
sin sin ，
，B， ， ．
(2)解： ， ，
sin sin ．
且 ，
sin sin
sin
，
sin
sin sin sin sin tan tan tan
sin ，
sin sin cos cos sin tan tan tan tan tan
为锐角三角形， ，
， tan ，
为增函数，
tan
tan
．