2022~2023学年湖南郴州高二上学期期中数学试卷（明星高级中学）（PDF版含解析）

2022~2023学年湖南郴州高二上学期期中数学试卷（明星高级中学）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、直线n的倾斜角为150°，则它的斜率k＝（ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知空间向量 ， ，且 则实数λ＝（ ）
A.
B.
C.4
D.-4
3、若直线 和直线 垂直，则m的值为（ ）
A.2
B.
C.1
D.
4、若平面 ，且平面 的一个法向量为 ，则平面 的法向量可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（ ）
A.
B.3
C.
D.
6、椭圆 上一点 到一个焦点的距离为 ，则点 到另一个焦点的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、圆 与直线 的相交弦的长度等于（ ）
A.2
B.4
C.2
D.2
8、已知点 和焦点在 轴上的椭圆： ，且过 作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距 的取值
范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、在下列四个命题中，错误的有（ ）
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为
D.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为
10、已知空间向量 则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 与 夹角的余弦值为
C.
D.
11、圆 （ ）
A.关于点 对称
B.半径为
C.关于直线 对称
D.关于直线 对称
12、给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A.椭圆 的长轴长是
B.已知向量 ，则存在向量可以与 构成空间的一个基底
C.A，B，M，N是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知空间向量 ，若 ，则实数x的值为 ．
14、无论 为何值，直线 必过定点坐标为
15、已知椭圆 的一个焦点为 ，则 的离心率为 .
16、已知椭圆C： =1(a>b>0)的上顶点为A，离心率为0.5，过F1作AF2的垂线交椭圆于D、E两点，
且|DE|=12，则 的周长为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知向量 ， ， ，且 ．
(1)求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值．
18、（本小题12分）
求符合下列条件的直线l的方程：
(1)过点 ，且斜率为 ；
(2) ， 求直线AB的方程 ；
(3)经过点 且在两坐标轴上的截距 相等．
19、（本小题12分）
已知圆C经过点 ， 两点，且圆心C在直线 上．
(1)求圆C的方程；
(2)求经过圆上一点 的切线方程．
20、（本小题12分）
如图，在直三棱柱 中， ，点 是 的中点．
求证：
(1)
(2) 平面 ．
(3)若 ，求点 与平面 的距离．
21、（本小题12分）
已知椭圆 经过点 ， 是椭圆 的两个焦点， ， 是椭
圆 上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方 程；
(2)若点P在第一象限，且 ，求点P的纵坐标的取值范围.
22、（本小题12分）
设椭圆 ： 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 ．
(1)当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
(2)设 为坐标原点，证明：
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
它的斜率k＝ .
因此正确答案为：B
2、
【答 案】
C
【分析】
因为
所以
所以 ，
所以 ，
因此正确答案 为：C.
3、
【答 案】
B
【分析】
因为直线 和直线 垂直，所以 ， .
因此正确答案为：B
4、
【答 案】
A
【分析】
若平面 ，
则两个平面的法 向量互相平行，
所以平面 的法向量为 ，
所以当 时，向量为 ，
因此正确答案为：A.
5、
【答 案】
D
【分析】
将方程 化为 .
则这两条平行线之间的距离是 .
因此正确答案为：D.
6、
【答 案】
C
【分析】
在椭圆 中， ， ， ，
由椭圆的定义可知，点 到另一个焦点的距离为 ，且 ，合乎题意.
因此正确答案为：C.
7、
【答 案】
C
【分析】
圆 可化为 ，即圆心为 ，半径
圆心 到直线 的距离 ，即所求相交弦的长度为 .
因此正确答案为：C
8、
【答 案】
C
【分析】
通过题意可得，点 在椭圆的外部.
所以， ，所以 .
又椭圆焦点在 轴上，所以 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 .
因此正确答案为：C.
二、多选题
9、
【答 案】
A;C;D
【分析】
对于A，倾斜角为 的直线斜率不存在,所以A有误;
对于B,直线的倾斜角的取值范围为 ,所以B无误;
对于C,因为 且 ，所以 ,所以C有误;
对于D,倾斜角为 的直线斜率不存在,所以D有误.
因此正确答案为：ACD
10、
【答 案】
A;D
【分析】
对于A： ，则 ，
即 ，故A无误；
对于B： 与 夹角的余弦值为 ，故B有误；
对于C： ，因为 ，所以 与 不平行，故C有误；
对于D： ，故D无误；
因此正确答案为：AD
11、
【答 案】
A;B;D
【分析】
可化为 ，即该圆圆心为 ，半径为 .
由圆的性质可知该圆关于点 对称，故AB无误；
因为圆心 不在直线 上，所以该圆 不关于直线 对称，故C有误；
因为圆心 在直线 上，所以该圆关于直线 对称，故D无误；
因此正确答案为：ABD
12、
【答案 】
A;C
【分析】
对于A项，根据椭圆的定义与几何性质，可知A无误；
对于B项，因为 ，则对于 ，都有 一定共面，所以，不存在向量可以与 构成空间的一个基
底，故B有误；
对于C项，由已知可得， ，使得 成立，显然 共面，所以A，B，M，
N共面，故C无误；
对于D项，若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的方程为 ；
若椭圆的焦点在 轴上，则椭圆的方程为 ，故D有误.
因此正确答案为：AC.
三、填空题
13、
【答案 】
2
【分析】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因此正确答案 为：2
14、
【答 案】
【分析】
直线 可化为 ，
由 可得， .
所以，直线必过定点坐标为 .
因此正确答案为： .
15、
【答 案】
【分析】
根据椭圆的标准方程及几何性质，求得 ，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆 的一个焦点为 ，可得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率为 .
故答案为： .
16、
【答 案】
【分析】
即椭圆方程可化为
不妨设 ， ，又
则直线 的方程为 ，
联立 ，得
设 ，则
解得 ，如下图所示，易得
为线段 的垂直平分线，
的周长是
.
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1) ， ；
(2) .
【分析】
（1）因为 ，所以 ，使得 ，
所以有 ，解得 ，所以 ， .
（2）由（1）知， ，所以 ， .
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
18、
【答案 】
(1)
(2)
(3) 或
【分析】
（1） 所求直线过点 ，且斜率为 ， ，即 .
（2） 所求直线过 ， ，
，
，即 .
（3）当直线过原点时，设直线方程为 ，
直线过 点 ，
，直线方程为 ，即 ；
当直线不过原点时，设直线方程为 ，
将点 代入上式得， ，解得 ，
故直线的方程为 ，
综上所述直线方程为 或 .
19、
【答 案】
(1) .
(2) .
【分析】
（1）通过题意, 设圆心的坐标为 , 半径为r ,标准方程为 ，
因为圆心 在直线 上,
则有 ,
圆 经过点 两点,
则有
所以 ，
所以圆C的方程为： .
（2）圆心 ，
所以 ，
所以切线方程的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
所以切线方程为： .
20、
【答案 】
(1)证明见详解；
(2)证明见详解；
(3) .
【分析】
（1）在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，则 .
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ， 所以 .
（2）
设 ，连结 ，如下图1所示，.
矩形 中， 是 中点，而点 是 的 中点，
则 .
又 平面 ， \n 平面 ，
所以 平面 .
（3）设点 与平面 的距离为 .
解法一：
以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，如图建立空间直角坐标系.
由已知可得， ， ， ， ，
所以 ， ， .
设 是平面 的一个法向量，
则有 ，取 ，则 是平面 的一个法向量.
所以，点 与平面 的距离 .
解法二：如下图3所示，，连结 .
由已知 ，则根据直三棱柱的性质可得 .
又点 是 的中点，所以 .
又 ，所以 ，所以 ，
所以， .
又 ，
所以， ，
所以， .
又 ，所以 .
所以，点 与平面 的距离为 .
21、
【答案 】
(1) ；
(2) .
【分析】
（1）由已知可设 ， .
则
，
则由椭圆的定义可得， ，所以 .
又 ，所以 .
所以，椭圆C的标准方程为 .
（2）设 ，
则 ， .
结合题意可得， .
又 ，所以 .
所以有 ，
所以， ，又 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 .
所以，点P的纵坐标的取值范围为 .
22、
【答 案】
(1) 或 ；
(2)证明见详解.
【分析】
（1）通过题意得： ， ， ，所以 ，则 .
由已知可得，直线 方程为 .
联立直线与椭圆的方程 ，解得 或 ，
所以 或 .
当 时，可得 ，所以直线 的方程为 ，
整理可得 ；
当 时，可得 ，所以直线 的方程为 ，
整理可得 .
所以，直线 的方程为 或 .
（2）
当直线 与 轴重合时，此时有 ，结论成立；
当直线 与 轴不重合时，可设直线 的方程为 .
设 ， .
联立直线与椭圆的方程 可得， .
显然 ，由韦达定理可知 ，且 ， .
因为 ，
所以 .
所以
，
所以有 ，
所以直线 的倾斜 角互补，
所以 .
综上所述， .