2022~2023学年江苏南通海安市海安县立发中学高三上学期期中数学试卷（学情检测（二））（PDF版含解析）

2022~2023学年江苏南通海安市海安县立发中学高三上学期期中数学试卷
（学情检测（二））
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 a 的值为（ ）
A.
B.1
C.2
D.
3、 的展开式中的常数项为（ ）
A.40
B.60
C.80
D.120
4、对于一个古典概型的样本空间 和事件 ， ， ， ，其中 ， ， ，
， ， ， ， ，则（ ）．
A. 与 不互斥
B. 与 互斥但不对立
C. 与 互斥
D. 与 相互独立
5、一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新
的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
6、函数 sin （ ， ， ）的部分图象如图所示，将 的图象上所有点的横
坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿 轴向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
则函数 的一个单调递增区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知 ， ， 则（ ）
A.
B.
C.
D.
8、中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条
侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个
鳖臑的组合体，已知 平面 ，四边形 为正方形， ， ，若鳖臑 的体积
为 ，则阳马 的外接球的表面积等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若复数z满足： i i，则（ ）
A.z的实部为3
B.z的虚部为1
C.
D.z在复平面上对应的点位于第一象限
10、如图，正方体 的棱长为1， 分别为 的中点，则（ ）
A.直线 与直线 垂直
B.直线 与平面 平行
C.点 与点 到平面 的距离相等
D.平面 截正方体所得的截面面积为
11、已知函数 ， e ，则（ ）
A.曲线 是中心对称图形
B.曲线 是轴对称图形
C.函数 既有最大值又有最小值
D.函数 只有最大值没有最小值
12、数列 中， N ，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 是等比数列
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在 中，若 ，则 .
14、已知 ， ，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则 .
15、已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 ，
点 在椭圆 上，线段 与 交于 ， ，则直线 的斜率为 .
16、已知 ， ，其中 ，则
.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 .
(1)求 的最小正周期和单调减区间；
(2)在△ 中， ，D为BC中点， ，求△ 面积的最大值.
18、（本小题12分）
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等比数列 的公比 ，前n项和为 ，若_________，数列 满足 ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ，并证明 .
19、（本小题12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面 平面ABCD， 为等边三角形， ，
，M是棱上一点，且 .
(1)求证： 平面MBD；
(2)求二面角M－BD－C的余 弦值.
20、（本小题12分）
核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙
肝、丙肝和艾滋病的病毒检测．通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感
染．某研究机构为了提高检测效率、降低检测成本，设计了如下试验，预备 份试验用血液标本，其中 份阳
性， 份阴性，从标本中随机取出 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检
测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测．以此
类推，直到确定所有样本的结果．若每次检测费用为 元，记检测的总费用为 元．
(1)、当 时，求 的分布列和数学期望．
(2)、比较 与 两种方案哪一个更好，说明理由．
21、（本小题12分）
已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为H，O为坐标原点， ，点
在椭圆E上．
(1)求椭圆E的 方程；
(2)设经过点 且斜率 不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点 ， ．若M，N分别为直线AP，
BQ与y轴的交点，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的值．
22、（本小题12分）
设函数
（1）求函数 的极值；
（2）若方程 在 有两个实数解，求 的取值范围；
（3）证明：当 时， .
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
D
【分析】
解：由 ，即 ，解得 或 ，
所以 或 ，
所以 ，又 ，
所以 ；
因此正确答案为：D
2、
【答 案】
B
【分析】
∵随机变量 服从正态分布 ，
根据正态分布的对称性，可得 ，
解得 .
因此正确答 案为：B.
3、
【答 案】
A
【分析】
先确定 的展开式的通项公式，再由 求解.
【详解】
解： 的展开式的通项公式为 ，
而 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 的展开式中的常数项为 ．
故选：A．
4、
【答 案】
D
【分析】
略
5、
【答 案】
B
【分析】
一个数由4改为1，另一个数由6改为9，故该组数据的平均数 不变，
设没有改变的八个数分别为 ，
原先一组数的方差
，
新数据的方差
所以
，
因此正确答案为：B.
6、
【答 案】
A
【分析】
根据函数 sin （ ， ， ）的部分图象，可得 ， ，∴
．结合五点法作图可得 ，∴ ， ．
将 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得 的图象．再把所得
的图象沿 轴向左平移 个单位长度，得到函数 的图象．令
，求得 ，可得函数 的单调递增区间为
， ，令 ，可得一个增区间为 .
因此正确答案为：A.
7、
【答 案】
D
【分析】
，
，
，
∵3
∴ .
因此正确答案 为：D.
8、
【答 案】
A
【分析】
由题意， 平面 ，四边形 为正方形， ， ，
又由 的体积为 ，
所以 ，
解得 ，
而阳马 的外接球的直径 是以 ， ， 分别为宽、长、高的长方体的体对角线的长度，
所以 ，
即 ，球的表面积为 ．
故选A．
二、多选题
9、
【答 案】
A;B;D
【分析】
设 i ，因为 i i，所以 i 6i，所以 i i
，所以 ， ，所以 ， ，所以 i，所以z的实部为3，虚部为1，故A，B无
误； ，故C有误；z在复平面上对应的点 位于第一象限，故D无误．
因此正确答案为:ABD．
10、
【答案 】
B;D
【分析】
对于A中，因为 ，若 ，则 ，
从图中可以得出 与 相交，但不垂直，所以A有误；
对于B中，如下图所示，取 的中点 ，连接 ，则有 ，
因为 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，所以B无误；
对于C中，假设 与 到平面 的距离相等，即平面 将 平分，
则平面 必过 的中点，
连接 交 于点 ，而 不 是 中点，则假设不成立，所以C有误；
对于D中，如下图所示，连接 ，延长 交于点 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，
所以 四点共面，所以截面即为梯形 ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以等腰 的高 ，梯形 的高 ，
所以梯形 的面积 ，所以D无误.
因此正确答案为：BD.
11、
【答 案】
B;C
【分析】
令 e ，该函数的定义域为R，
e e e ，
故函数 的图象关于直线 对称，故B无误；
对于任意的 R， e ，
当 时， e ，则 e e ，
因为 e ，当 时， ，则 ，此时 ，
当 时， e e ，即当 时， ，
作出函数 与函数 在 上的图象如下图所示：
由图象可以知，函数 与函数 在 上的图象有两个交点，
且交点的横坐标分别为 、 ，且 ，
当 时， e ，此时函数 单调递增，
当 时， e ，此时函数 单调递减，
当 时， e ，此时函数 单调递增，
所以，当 时， ，记 ，
故函数 在 上的值域为 ，
由对称性可知，函数 在 上的值域为 ，故函数 在 上的值域为 ，
若函数 的图象为中心对称图象，设对称点的坐标为 ，
则函数 的值域为 ，与题意不符，
故函数 的图象不是中心对称图形，A错；
令 ，则 且 ，即 ，
e
故函数 有最小值，
因为 ，
e e e
故函数 的图象关于直线 对称，
因为 ，当 时，比较 与 的大小关系，
e e
构造函数 e ，其中 ，则 ，
e ，当 时， ，则 ，此时 ，
当 时， e e e ，
由上可知，对任意的 ， ，故函数 在 上单调递 增，
故当 时， e ，可得 ，
e
由对称性可知，当 时， ，
综上所述， ，因此，函数 既有最大值也有最小值，C对D错.
因此正确答案为：BC.
12、
【答案 】
A;B;D
【分析】
因为数列 中， ，
所以 ，即 ，
则 是以1为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，故B无误；
由累加法得 ，
所以 ，
当n为奇数时， 是递增数列，所以 ，
当n为偶数时， 是递减数列，所以 ，
所以 ，故A无误；
又 ，所以 ，故C有误，D无
误，
因此 正确答案为：ABD
三、填空题
13、
【答案 】
【分析】
因为 ，
所以， ，
通过题意可得 ，
若 ，则 ，不妨设 为锐角，则 ，
则 ，不合乎题意，
所以， ，故 ，因此， .
因此正确答案为： .
14、
【答案 】
【分析】
由 ， 可得 ， ，
所以 ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，
因此正确答案为：
15、
【答案 】
【分析】
通过题意，作图像如下：
通过题意，则 ， ， ，设 ，
在Rt 中， ，
则 ， ，
由 ，则 ，解得 ，则 ，
直线 的斜率 .
因此正确答案为： .
16、
【答 案】
【分析】
设 ，
则 ， 易知 是偶函数.
当 时， ， ，∴ ；
当 时， ， ， .
∴ 恒成立，即 在定义域内单调递增 .
因为 ，
∴ 为奇函数，∴ 的图象关于点 对称，
因为 ，
∴ ，
同理可知 .
则 ，
∴ ，即 ，
故 .
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1)最小正周期为 ，单调减区间为 ， Z；
(2) .
【分析】
（1）由 ，则 ，
令 且 Z，可得 且 Z，
所以 单调减区间为 ， Z.
综上所述 最小正周期为 ，单调减区间为 ， Z.
（2）由题设， ，即 ，
又 ，则 ，故 ，可得 ，
而 ，故 ，
令 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，则△ 面积 ，
综上所述△ 面积的最大值为 .
18、
【答 案】
选择见解析；（1） ， ；（2） ；证明见解析.
【分析】
解析：选择①，
（1）由已知得 ，
解得 或 （舍去，∵ ），
又∵ ， ，
则 ，解得 ，
∴ ，
则 ；
（2）
∴ .
选择②，
当 时 ， ，得 ，
当 时， ，又 ，得 ，
则 ， ，
又∵ ，
则 ；
（2）
∴ .
选择③，
，
当 时， ，则 ，舍去；
当 时， ，解得 （负值舍去），
又∵ ， ，
则 ，解得 ，
∴ ，
则 ；
（2）
∴ .
19、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）连接AC，记AC与BD的交点为H，连接MH.
由 ，得 ， ，又 ，则 ，
∴ ，又 平面MBD， 平面MBD，
∴ 平面MBD.
（2）记O为CD的 中点，连接PO，BO.
∵ 为等边三角形，∴ ，
∵平面 平面ABCD ，平面 平面ABCD＝CD，
∴ 平面ABCD.
以O为原点，OB为 x轴，OC为y轴，OP为x轴，建立空间直角坐标系，如下图，
则 ， ， ， ， ，
， .
设平面BDM的法向量 ，则 ，
取x＝1得 ，
平面BCD的一个法向量 .
设二面角M－BD－C的平面角为θ，则 .
∴二面角M－BD－C的余弦值为 .
20、
【答 案】
(1)、
分布列见解析， ．
(2)、
的方案更好，理由见解析．
【分析】
(1)、当 时，共分 组，当 份阳性在一组，第一轮检测 次，
第二轮检测 次，共检测 次，
若 份阳性各在一组，第一轮检测 次，第二轮检测 次，共检测 次，
所以检测的总费用 的所有可能值为 ， ，
任意检测有C C C C 种等可能的结果，
份阳性在一组有A C C C C 种等可能的结果，
A C C C C
则 ， ，
C C C C
所以检测的总费用 的分布列为：
的数学期望 ．
(2)、当 时，共分 组，当 份阳性在一组时，共检测 次，
若 份阳性各在一组，共检测 次，检测的总费用 的所有可能值为 ， ，
任意检测有C C C 种等可能的结果，
份阳性在一组有A C C C 种等可能的结果，
A C C C
所以 ， ，
C C C
所以检测的总费用 的分布列为：
的数学期望 ，
所以 时的方案更好一些．
21、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）由 ，得 ，再将点 代入椭圆方程中，结合 可求出 ，从而可求
出椭圆方程，
（2）设直线 ， ， ，将直线方程代入椭圆方程消去 ，整理后利用根与系数的
关系，可得 ，表示出直线AP的斜率 ，直线 的斜率 ，而
，代入化简即可
（1）
由 ，得 （c为半焦距），
∵点 在椭圆E上，则 ．
又 ，解得 ， ， ．
∴椭圆E的方程为 ．
（2）
由（1） 知 ．设直线 ， ， ．
由 消去x，得 ．
显然 ．
则 ， ．
∴ ．
由 ， ，得直线AP的斜率 ，直线 的斜率 ．
又 ， ， ，
∴ ．∴ ．
∵ ．
∴ ．
22、
【答 案】
（1） ；（2） ；（3）证明见详解.
【分析】
（1）由 ，定义域为 ，
，
，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 为函数的极大值点，
则函数 的极值为 .
（2）由（1）知， 在 上单调递增，
在 上单调递减，
又 ，
∴ ．
∴ 当 时，方程 有两解．
（3）∵ .
∴ 要证： 只需证 ，
只需证： ．
设 ，
则 ．
由（1）知 在 单调递减，
又 ，
∴ ，
即 是减函数，而 ．
∴ ，故原不等式成 立．