2022~2023学年江苏徐州泉山区徐州高级中学高二下学期期中数学试卷（图片版，含解析）
文档属性
| 名称 | 2022~2023学年江苏徐州泉山区徐州高级中学高二下学期期中数学试卷（图片版，含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-01 17:45:35 | ||
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文档简介
2022~2023学年江苏徐州泉山区徐州高级中学高二下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知 ， ，则与向量 平行的一个向量的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、若 ，则 的值为（ ）
A.10
B.11
C.12
D.13
3、已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则实数 的值为
（ ）
A.
B.
C.
D.
4、一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1
个．设事件 =“第一次抽到红球”， =“第二次抽到红球”，则概率 是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、在棱长为1的正方体 中， 为 上任意一点，则 （ ）
A.
B.
C.1
D.
6、6名同学排成一排，其中甲 乙两人必须在一起的不同排法共有（ ）
A.720
B.360
C.240
D.120
7、在 的展开式中含 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（ ）
A.4项
B.5项
C.6项
D.3项
8、在平行六面体 中， 是线段 上一点，且 ，若
，则 （ ）
A.
B.1
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若 ，则m的取值可能是（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
10、7张卡片上分别写有 ， ， ， ， ， ， ，其中i为虚数单位.从这7张卡片中随机抽取一张，
记“抽到的卡片上的数是正实数”为事件 ，“抽到的卡片上的数是无理数”为事件 ，则下列计算结果中正确的有
（ ）
A.
B.
C.
D.
11、若 ， R，则（ ）
A.
B.
C.
D.
12、如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是
，下列说法中不正确的是（ ）
A.
B. 平面
C.向量 与 的夹角是
D.直线 与 所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 的展开式中 的系数为 ．
14、组合数 被9除的余数是 ．
15、甲 乙 丙 丁4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同
学，且甲 乙两名同学不能安排到同1个小区，则不同的安排方法共有 种.
16、三棱锥 中， ， ，记二面角 的大小为 ，当
时，直线 与 所成角的余弦值的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
第八届“徐高好声音”高二年级复赛共有5个独唱节目和3个合唱节目，请按各小题要求排出一张节目单，求不同
的排法种数（用数字作答）.
(1)3个合唱节目两两互不相邻 ；
(2)前4个节目中要有合唱节目.
18、（本小题12分）
已知在 的展开式中第5项为常数项.
(1)求 的值；
(2)求展开式中 所有的有理项.
19、（本小题12分）
在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何 题的概率.
20、（本小题12分）
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．
（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；
（2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B
1C的距离．
21、（本小题12分）
已知等式（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，其中ai（i＝0，1，2，…，10）为实常
数．求：
（1） 的值；
（2） 的值．
22、（本小题12分）
如图1，在等边 中，点 ， 分别为边 ， 上的动点，且满足 ，记 .将 沿
翻折到 位置，使得平面 平面 ，连接 ， 得到图2，点 为 的中点.
(1)当 平面 时，求 的值；
(2)试探究：随着 值的变化，二面角 的大小是否为定值？如果是，请求出二面角 的
正弦值；如果不是，请求出二面角 的余弦值的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
根据空间向量共线定理判定即可.
【详解】
,
则与向量 平行的一个向量的坐标为 .
故选:C.
2、
【答 案】
C
【分析】
根据 即可求解.
【详解】
若 ，则 ，
所以 ,解得 .
故选:C.
3、
【答 案】
D
【分析】
根据给定条件，可得 ，再利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.
【详解】
因为 ，则 ，而 ， ，
因此 ，解得 .
故选：D
4、
【答 案】
B
【分析】
通过题意， ， ，
所以 .
因此正确答案为：B
5、
【答 案】
B
【分析】
根据空间向量的线性运算法则可得 ，再根据数量积的运算律和运算公式结合图形求
【详解】
由图形可得 ，
所以 ，
由正方体性质可得 ，所以 ，
所以 ，
又 ， 与 方向相反，
所以 .
故选：B.
6、
【答 案】
C
【分析】
先将甲 乙两人排成一排共 种排法，将甲 乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有
种，所以甲 乙两人在一起的不同排法共有 种排法.
因此正确答案为：C
7、
【答 案】
A
【分析】
分 与 讨论，都可求得 ，再根据二项式定理即可求解.
【详解】
由 可得 ，
当 ， ,则 ，
其展开式的通项为 ，
令 ,得 ,解得 ；
当 , ,则 ，
其展开式的通项为 ，
令 ，得 ，解得 .
综上所述： ，
所以展开式共有7项， 所以展开式中二项式系数最大项是第4项.
故选:A.
8、
【答 案】
B
【分析】
取利用向量 ，分别表示出 ， ，再由空间向量基本定理列出等式即可求出答案.
【详解】
因为 是线 段 上一点，且 ,
所以 ，
所以 ,
又 ，所以 ，
又因为 ,
所以
，
所以 ，化简得： .
故选：B
二、多选题
9、
【答 案】
B;C
【分析】
通过题意,对于 ,有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8,则有1≤m≤8,
！ ！
若 ,则有 ,
变形可得：m＞27﹣3m,
解可得：m＞ ,
综合可得： ＜m≤8,则m＝7或8；
因此正确答案为：BC.
10、
【答案 】
B;D
【分析】
ABC选项，利用列举法求出 ，D选项，利用条件概率求出答案.
【详解】
A选项，7个数中，正实数为 ， ， ， ， ，共5个，故 ，A错误；
B选项，7个数中，无理数为 ， ， ， ，故 ，B正确；
C选项，7个数中，既是无理数，又是正实数的是 ， ， ， ，共4个，故 ，C错误；
D选项，由条件概率得 ，D正确.
故选：BD
11、
【答 案】
A;B;D
【分析】
根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.
【详解】
因 ，则 C ，A正确；
展开式的通项 ， N ，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
则 ，B正确；
，而 ，则 ，C不正确；
，而 ，则 ，D
正确.
故选： ABD
12、
【答 案】
A;C
【分析】
对于A， ，
，
所以 ，选项A有误；
对于B，
，所以 ，即 ，
，所以 ，即
，因为 ， 平面 ，所以 平面 ，选项B无误；
对于C：向量 与 的夹角是 ，所以向量 与 的夹角也是 ，选项C有误；
对于D， ， ,
所以 ，
，
同理，可得 ;
，
所以 ，所以选项D无误．
因此正确答案为：AC．
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
，
故它的展开式中 的系数为 ，
因此正确答案为： ．
14、
【答案 】
8
【分析】
∵ ，
∴
，其中 ；
∴该组合数被 除的余数是8．
因此正确答案为：8．
15、
【答 案】
30
【分析】
通过题意：若每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，共有 种安排方法，
若甲 乙两名同学安排到同1个小区，共有 种安排方法，
所以共有 种安排方法.
因此正确答案为：30.
16、
【答 案】
【分析】
取 中点 ，连接 ， ， ． ，
， ，且 ， ，
是二面角 的平面角，以 为原点， 为 轴， 为 轴，过点 作平面 的垂线为
轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，0， ， ，1， ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，连 、 ，
则 ， ，
， ，
设 、 的夹角为 ，
则 ，
，
，
,
,
则 ．
故答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1)14400；
(2)37440.
【分析】
（1）先排5个独唱节目，再将合唱节目插空即可；
（2）先求出三个合唱节目不出现在前四个位置的方 法种数，根据“正难则反”原则求解.
【详解】
（1）先排 5个独唱节目，有 种方法种数，
再把3个合唱节目用插空法排在独唱节目的首尾或之间，有 种方法种数，
所以一共有 种.
（2）8 个节目（无限制条件）的排法有 种方法，若三个合唱节目不出现在前四个位置，则应在后4个位置安
排合唱节目，有 种方法，
所以符合题意的方法有 种.
18、
【答 案】
(1)
(2) ， ，
【分析】
（1）根据二项式展开式的通项特征，由常数项即可求解 ，
（2）由通项以及有理项的定义即可求解.
【详解】
（1）展开式的通项公式为
因为第5项为常数项，所以 时，有 ，解得 ；
Z
（2）由题意得， ，解得 ，4，7，
Z
将其代入通项中可得 ， ，
所以有理项分别为 ， ，
19、
【答案 】
（1） ；（2） .
【分析】
（1）设事件 表示“第1次抽到代数题”，事件 表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出
与 ；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.
【详解】
解：（1） 设事件 表示“第1次抽到代数题”，事件 表示“第2次抽到几何题”，
则 ，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为 .
（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为 .
20、
【答 案】
（1） ；（2） .
【分析】
（1） （或其补角）即为异面直线 与 所成角，连接 ，在 中，即可求解．
（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，结合 ，利用空间距离公
式求解即可．
解法二：过点 作 交 于 ，证明 平面 ，然后求解三角形即可．
【详解】
解：（1） 由于A1C1 AC，所以∠CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角，
连接CB1，在 AB1C中，由于 ，所以 AB
1C是等边三角形，
所以 ，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为 ．
（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、
A1（2，2，0）、M（0，0，1）．
设平面A1B1C的法向量为 ，则 ．
∵ ， ，
且 ，
∴ ，取v＝1，
得平面A1B1C的一个法向量为 ， 且 ，
又∵ ，
于是点M到平面A1B1C的距离
所以，点M到平面A1B1C的距离等于 ．
解法二：过点M作MN⊥CB1交CB1于N，由 MN⊥平面A1B1C．
在Rt CMN中，由 ，CM＝1，得 ，
所以，点M到平面A1B1C的距离等于 ．
21、
【答 案】
（1）31；（2）160．
【分析】
（1）利用（x2+2x+2）5＝a0+a （x+1）+a （x+1）2+…+a （x+1）101 2 10 ，采用赋值法可求得 的值；
（2）对已知关系式两边求导后，令x＝0即可求 的值．
【详解】
（1）∵（ x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a （x+1）22 +…+a10（x+1）10，
∴令x＝﹣1得：15＝a0，即a0＝1，
再令x＝0，有a0+a1+a2+…+a 510＝2 ，
∴ ＝a1+a2+…+a10＝25﹣a0＝31；
（2）∵（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a （x+1）1010 ，
∴两边求导得：5（x2
+2x+2）4 （2x+2）＝a1+2a2（x+1）+3a3（x+1）2+…+10a10（x+1）9，令x＝0得：5×24×2
＝a1+2a2+3a3+…+10a10，
即 ＝a1+2a2+3a3+…+10a10
＝160；
综上， ， .
22、
【答案 】
(1)
(2)是，
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解，
（2）由法向量的夹角即可求解二面角.
【详解】
（1）取 的中点 ，连接 并延长与 相交，因为 ， ，所以 ，即
，
又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，建立如图空间直角坐标系，不妨设 ，则 ， ，
， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以即 是平面 的一个法向量，
因为 平面 ，所以 ， ，解得 ；
（2）
由（1）知， 是平面 的一个法向量，
同理可求平面 的一个法向量为 ，
，即随着 值的变化，二面角 的大小为定值.
且 ，所以二面角 的正弦值为 .
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知 ， ，则与向量 平行的一个向量的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、若 ，则 的值为（ ）
A.10
B.11
C.12
D.13
3、已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则实数 的值为
（ ）
A.
B.
C.
D.
4、一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1
个．设事件 =“第一次抽到红球”， =“第二次抽到红球”，则概率 是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、在棱长为1的正方体 中， 为 上任意一点，则 （ ）
A.
B.
C.1
D.
6、6名同学排成一排，其中甲 乙两人必须在一起的不同排法共有（ ）
A.720
B.360
C.240
D.120
7、在 的展开式中含 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（ ）
A.4项
B.5项
C.6项
D.3项
8、在平行六面体 中， 是线段 上一点，且 ，若
，则 （ ）
A.
B.1
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若 ，则m的取值可能是（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
10、7张卡片上分别写有 ， ， ， ， ， ， ，其中i为虚数单位.从这7张卡片中随机抽取一张，
记“抽到的卡片上的数是正实数”为事件 ，“抽到的卡片上的数是无理数”为事件 ，则下列计算结果中正确的有
（ ）
A.
B.
C.
D.
11、若 ， R，则（ ）
A.
B.
C.
D.
12、如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是
，下列说法中不正确的是（ ）
A.
B. 平面
C.向量 与 的夹角是
D.直线 与 所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 的展开式中 的系数为 ．
14、组合数 被9除的余数是 ．
15、甲 乙 丙 丁4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同
学，且甲 乙两名同学不能安排到同1个小区，则不同的安排方法共有 种.
16、三棱锥 中， ， ，记二面角 的大小为 ，当
时，直线 与 所成角的余弦值的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
第八届“徐高好声音”高二年级复赛共有5个独唱节目和3个合唱节目，请按各小题要求排出一张节目单，求不同
的排法种数（用数字作答）.
(1)3个合唱节目两两互不相邻 ；
(2)前4个节目中要有合唱节目.
18、（本小题12分）
已知在 的展开式中第5项为常数项.
(1)求 的值；
(2)求展开式中 所有的有理项.
19、（本小题12分）
在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何 题的概率.
20、（本小题12分）
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．
（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；
（2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B
1C的距离．
21、（本小题12分）
已知等式（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，其中ai（i＝0，1，2，…，10）为实常
数．求：
（1） 的值；
（2） 的值．
22、（本小题12分）
如图1，在等边 中，点 ， 分别为边 ， 上的动点，且满足 ，记 .将 沿
翻折到 位置，使得平面 平面 ，连接 ， 得到图2，点 为 的中点.
(1)当 平面 时，求 的值；
(2)试探究：随着 值的变化，二面角 的大小是否为定值？如果是，请求出二面角 的
正弦值；如果不是，请求出二面角 的余弦值的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
根据空间向量共线定理判定即可.
【详解】
,
则与向量 平行的一个向量的坐标为 .
故选:C.
2、
【答 案】
C
【分析】
根据 即可求解.
【详解】
若 ，则 ，
所以 ,解得 .
故选:C.
3、
【答 案】
D
【分析】
根据给定条件，可得 ，再利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.
【详解】
因为 ，则 ，而 ， ，
因此 ，解得 .
故选：D
4、
【答 案】
B
【分析】
通过题意， ， ，
所以 .
因此正确答案为：B
5、
【答 案】
B
【分析】
根据空间向量的线性运算法则可得 ，再根据数量积的运算律和运算公式结合图形求
【详解】
由图形可得 ，
所以 ，
由正方体性质可得 ，所以 ，
所以 ，
又 ， 与 方向相反，
所以 .
故选：B.
6、
【答 案】
C
【分析】
先将甲 乙两人排成一排共 种排法，将甲 乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有
种，所以甲 乙两人在一起的不同排法共有 种排法.
因此正确答案为：C
7、
【答 案】
A
【分析】
分 与 讨论，都可求得 ，再根据二项式定理即可求解.
【详解】
由 可得 ，
当 ， ,则 ，
其展开式的通项为 ，
令 ,得 ,解得 ；
当 , ,则 ，
其展开式的通项为 ，
令 ，得 ，解得 .
综上所述： ，
所以展开式共有7项， 所以展开式中二项式系数最大项是第4项.
故选:A.
8、
【答 案】
B
【分析】
取利用向量 ，分别表示出 ， ，再由空间向量基本定理列出等式即可求出答案.
【详解】
因为 是线 段 上一点，且 ,
所以 ，
所以 ,
又 ，所以 ，
又因为 ,
所以
，
所以 ，化简得： .
故选：B
二、多选题
9、
【答 案】
B;C
【分析】
通过题意,对于 ,有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8,则有1≤m≤8,
！ ！
若 ,则有 ,
变形可得：m＞27﹣3m,
解可得：m＞ ,
综合可得： ＜m≤8,则m＝7或8；
因此正确答案为：BC.
10、
【答案 】
B;D
【分析】
ABC选项，利用列举法求出 ，D选项，利用条件概率求出答案.
【详解】
A选项，7个数中，正实数为 ， ， ， ， ，共5个，故 ，A错误；
B选项，7个数中，无理数为 ， ， ， ，故 ，B正确；
C选项，7个数中，既是无理数，又是正实数的是 ， ， ， ，共4个，故 ，C错误；
D选项，由条件概率得 ，D正确.
故选：BD
11、
【答 案】
A;B;D
【分析】
根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.
【详解】
因 ，则 C ，A正确；
展开式的通项 ， N ，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
则 ，B正确；
，而 ，则 ，C不正确；
，而 ，则 ，D
正确.
故选： ABD
12、
【答 案】
A;C
【分析】
对于A， ，
，
所以 ，选项A有误；
对于B，
，所以 ，即 ，
，所以 ，即
，因为 ， 平面 ，所以 平面 ，选项B无误；
对于C：向量 与 的夹角是 ，所以向量 与 的夹角也是 ，选项C有误；
对于D， ， ,
所以 ，
，
同理，可得 ;
，
所以 ，所以选项D无误．
因此正确答案为：AC．
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
，
故它的展开式中 的系数为 ，
因此正确答案为： ．
14、
【答案 】
8
【分析】
∵ ，
∴
，其中 ；
∴该组合数被 除的余数是8．
因此正确答案为：8．
15、
【答 案】
30
【分析】
通过题意：若每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，共有 种安排方法，
若甲 乙两名同学安排到同1个小区，共有 种安排方法，
所以共有 种安排方法.
因此正确答案为：30.
16、
【答 案】
【分析】
取 中点 ，连接 ， ， ． ，
， ，且 ， ，
是二面角 的平面角，以 为原点， 为 轴， 为 轴，过点 作平面 的垂线为
轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，0， ， ，1， ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，连 、 ，
则 ， ，
， ，
设 、 的夹角为 ，
则 ，
，
，
,
,
则 ．
故答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1)14400；
(2)37440.
【分析】
（1）先排5个独唱节目，再将合唱节目插空即可；
（2）先求出三个合唱节目不出现在前四个位置的方 法种数，根据“正难则反”原则求解.
【详解】
（1）先排 5个独唱节目，有 种方法种数，
再把3个合唱节目用插空法排在独唱节目的首尾或之间，有 种方法种数，
所以一共有 种.
（2）8 个节目（无限制条件）的排法有 种方法，若三个合唱节目不出现在前四个位置，则应在后4个位置安
排合唱节目，有 种方法，
所以符合题意的方法有 种.
18、
【答 案】
(1)
(2) ， ，
【分析】
（1）根据二项式展开式的通项特征，由常数项即可求解 ，
（2）由通项以及有理项的定义即可求解.
【详解】
（1）展开式的通项公式为
因为第5项为常数项，所以 时，有 ，解得 ；
Z
（2）由题意得， ，解得 ，4，7，
Z
将其代入通项中可得 ， ，
所以有理项分别为 ， ，
19、
【答案 】
（1） ；（2） .
【分析】
（1）设事件 表示“第1次抽到代数题”，事件 表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出
与 ；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.
【详解】
解：（1） 设事件 表示“第1次抽到代数题”，事件 表示“第2次抽到几何题”，
则 ，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为 .
（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为 .
20、
【答 案】
（1） ；（2） .
【分析】
（1） （或其补角）即为异面直线 与 所成角，连接 ，在 中，即可求解．
（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，结合 ，利用空间距离公
式求解即可．
解法二：过点 作 交 于 ，证明 平面 ，然后求解三角形即可．
【详解】
解：（1） 由于A1C1 AC，所以∠CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角，
连接CB1，在 AB1C中，由于 ，所以 AB
1C是等边三角形，
所以 ，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为 ．
（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、
A1（2，2，0）、M（0，0，1）．
设平面A1B1C的法向量为 ，则 ．
∵ ， ，
且 ，
∴ ，取v＝1，
得平面A1B1C的一个法向量为 ， 且 ，
又∵ ，
于是点M到平面A1B1C的距离
所以，点M到平面A1B1C的距离等于 ．
解法二：过点M作MN⊥CB1交CB1于N，由 MN⊥平面A1B1C．
在Rt CMN中，由 ，CM＝1，得 ，
所以，点M到平面A1B1C的距离等于 ．
21、
【答 案】
（1）31；（2）160．
【分析】
（1）利用（x2+2x+2）5＝a0+a （x+1）+a （x+1）2+…+a （x+1）101 2 10 ，采用赋值法可求得 的值；
（2）对已知关系式两边求导后，令x＝0即可求 的值．
【详解】
（1）∵（ x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a （x+1）22 +…+a10（x+1）10，
∴令x＝﹣1得：15＝a0，即a0＝1，
再令x＝0，有a0+a1+a2+…+a 510＝2 ，
∴ ＝a1+a2+…+a10＝25﹣a0＝31；
（2）∵（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a （x+1）1010 ，
∴两边求导得：5（x2
+2x+2）4 （2x+2）＝a1+2a2（x+1）+3a3（x+1）2+…+10a10（x+1）9，令x＝0得：5×24×2
＝a1+2a2+3a3+…+10a10，
即 ＝a1+2a2+3a3+…+10a10
＝160；
综上， ， .
22、
【答案 】
(1)
(2)是，
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解，
（2）由法向量的夹角即可求解二面角.
【详解】
（1）取 的中点 ，连接 并延长与 相交，因为 ， ，所以 ，即
，
又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，建立如图空间直角坐标系，不妨设 ，则 ， ，
， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以即 是平面 的一个法向量，
因为 平面 ，所以 ， ，解得 ；
（2）
由（1）知， 是平面 的一个法向量，
同理可求平面 的一个法向量为 ，
，即随着 值的变化，二面角 的大小为定值.
且 ，所以二面角 的正弦值为 .