2022~2023学年江苏镇江扬中市扬中市第二高级中学高一下学期期中数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年江苏镇江扬中市扬中市第二高级中学高一下学期期中数学
试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、在复平面内，复数 i对应的点所在的象限是（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2、已知 则 （ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知 且 都是第二象限角，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
4、设 是平面内的一组基底， ，则（ ）
A. 三点共线
B. 三点共线
C. 三点共线
D. 三点共线
5、函数 的最小正周期是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、在 中，已知 ，则 的形状是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰或直角三角形
7、京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面
100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最
佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（ ）
A.10分钟
B.12分钟
C.14分钟
D.16分钟
8、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD：DC：AD＝2：3：6，则∠BAC的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列命题中，正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ，则
10、下列化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11、已知i为虚数单位，复数 i， i，且 ，则实数 的值可为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴， ， 分别是与x轴 y轴正方向同向的单位向量.若向量
，则把有序数对 叫做向量 在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 与 的夹角为
3
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知i为虚数单位，复数z满足 ，那么 的最小值是 .
14、已知 ，则 .
15、如图，点 ， 是线段 的三等分点，以 ， 为基底表示 ．
16、已知向量 满足 ，且 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ， 则 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
在复平面内，复数 i（其中i为虚数单位， R）．
(1)若复数z为纯虚数，求a的值；
(2)若复数z>0，求a的值．
18、（本小题12分）
已知角θ满足 ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
19、（本小题12分）
已知单位向量 ， ，的夹角为 ，向量 ，向量 .
（1）若 // ，求 的值；
（2）若 ，求 .
20、（本小题12分）
已知向量 设函数
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 其中 当函数 大于等于 恒成立时，求 的取值范围.
21、（本小题12分）
北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保 舒适 温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形
休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道
，且 .
(1)求氢能源环保电动步道 的长；
(2)若___________；求花卉种植区域总 面积.
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
22、（本小题12分）
如图，在 中，已知 为 边上的中点，点 在线段 上，且
(1)求 ；
(2)设 与 相交于点 ，求下列 与 的夹角 的余弦值
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
因为 i，
所以复数 i对应的点为 ，且在第二象限，
因此正确答案为：B
2、
【答 案】
A
【分析】
，
， ，
.
因此正确答案为：A.
3、
【答 案】
C
【分析】
因为 且 都是第二象限角，
所以 ， ，
所以 .
因此正确答案为：C.
4、
【答 案】
C
【分析】
A选项，设 ，则 ，无解，故 三点不共线，A有误；
B选项，设 ，则 ，无解，故 三点不共线，B有误；
C选项， ，
，
故 ，故 三点共线，C无误；
D选项， ，
设 ，则 ，无解，故 三点不共线，D有误.
因此正确答案为：C
5、
【答 案】
C
【分析】
因为 ，
所以所求最小正周期为 .
因此正确答案为：C.
6、
【答 案】
D
【分析】
由余弦定理的： ， ，
代入 中，
得 ，
等式两边同乘 得：
，
移项合并得： ，
整理得： ，
即 ，
可得 或 ，
则三角形为等腰三角形或直 角三角形，
因此正确答案为：D.
7、
【答 案】
B
【分析】
通过题意，可得如下图：
由图象可以知 ，所以 ，
所以在运行的一圈里最佳观赏时长为 .
因此正确答案为：B
8、
【答 案】
B
【分析】
解：∵BD：DC：AD＝2：3：6，AD⊥BC，
∴tan∠BAD＝ ＝ ，tan∠CAD＝ ＝ ，
则tan∠BAC＝tan（∠BAD+∠CAD）＝ ＝1，
又∠BAC∈（0，π），
则∠BAC＝ ；
因此正确答案为：B．
二、多选题
9、
【答 案】
B;D
【分析】
A．若 ，则 方向不一定相同，即两向量不一定相等，故不正确；
B． ，则 ，正确；
C． ，则 与 不能比较大小；
D． ，则 ，因此正确．
因此正确答案为：BD．
10、
【答 案】
A;C;D
【分析】
对于A， ，
故A无误；
对于B，
，
，故B有误；
对于C， ，
故C无误；
对于D， ，故D无误；
因此正确答案为：ACD.
11、
【答 案】
B;C
【分析】
， ，解得： .
因此正确答案为：BC.
12、
【答 案】
B;C;D
【分析】
= = = ,故A错，C对，
= = = 7，故B对，
+10 +6 2
7 -24 +36 2
= = ，由于 ， ，故 = ，故D对.
3
因此正确答案为：BCD
三、填空题
13、
【答案 】
1
【分析】
设 i R，代入 ，得 ，
设 ， ，则 ，
当 时，即 取等号. 即 的最小值是1.
因此正确答案为：1.
14、
【答 案】
/
【分析】
因为 ，
所以
，
因此正确答案为：
15、
【答案 】
【分析】
因为点 ， 是线段 的三等分点，则 ，
所以 ．
因此正确答案为： ．
16、
【答案 】
【分析】
因为 ，
所以三个向量 首 尾相接后，构成一个三角形，如下图所示，
设 ，
因为 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，
所以 ，
所以由正弦定理得 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）由于 为纯虚数，
所以 ，可得 ．
（2）由于 与 可以比较大小，所以 为实数，且 ，
所以 ，可得 ．
18、
【答案 】
（1） ；（2） .
【分析】
，解得 .
（1） .
（2） .
19、
【答案 】
（1） ；（2） ．
【分析】
（1）因为 // ，所以存在唯一实数ｔ，使得 ，即 ，
所以 ，解得 ；
（2）由已知得 ，由 得 ，即
+ ，解得 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
20、
【答案 】
(1)单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ， ；
(2)
【分析】
（1）∵ ，
令 ， ，解得 ， ；
令 ， ，解得 ， ；
∴ 的单调递增区间为 ， ；
∴ 的单调递减区间为 ， ；
（2）由 ，可得 ，则 ，
所以函数 在 的值域为 .
，即 在 上恒成立，
∴ .
的取值 范围是 .
21、
【答案 】
(1)
(2)答案 见解析
【分析】
（1）利用二倍角公式求出 ，利用余弦定可求 的长；
（2）选①：由正弦定理可求得 ，利用两角和的正弦公式可求得 ，可分别求得 ，
，从而可求花卉种植区域总面积．
选②：利用余弦定理求出 ，利用 面积公式可求得 ， ，从而可求花卉种植区域总面积．
（1）
解： ． ， ，
， ， 由余弦定理得 ，
， ．
（2）
解：若选①： ，在 中，由正弦定理得 ， ．
，由（1）知 ．代入上式可得 ，解得 ，
，
，
， ，
故 ，
花卉种植区域总面积为 ．
若选②： ，在 中，由余弦定理得 ，解得 或
（舍去），
． ， ，
， ，
故 ，
花卉种植区域总面积为 ．
22、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）设 ， ，则 ， ， ， ，
，
，则 ，即 ；
（2） ，同理可知 ， ，
∴ ，
∵ ，∴ .