2022~2023学年江西抚州临川区临川区第一中学高三上学期理科期末数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年江西抚州临川区临川区第一中学高三上学期理科期末数学
试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合 ， ，则
A.
B.
C.
D.
2、在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则复数 对应的点位于
（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3、对于实数 ，条件 ： ，条件 ： 且 ，那么 是 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4、设 ， ，且 ，则 （ ）
A.有最小值为4
B.有最小值为
C.有最小值为
D.无最小值
5、设a ,则 的大小顺序是
A.
B.
C.
D.
6、已知 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知 的内角 的对边分别是 ，且 ，则角
（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
8、已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
9、已知圆 ： 和两点 ， .若圆 上存在点 ，使得
，则 的最小值为（ ）
A.
B.
C.2
D.
10、已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 的坐标为 ，点 是双曲
线在第二象限的部分上一点，且 ， ，则双曲线的离心率为（ ）
A.3
B.2
C.
D.
11、在 中， ， ， ，点 在该三角形的内切圆上运动，若 （
， 为实数），则 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、若函数 的定义域为R，且 偶函数， 关于点 成中心对称，则下列说法正确的个
数为（ ）
① 的一个 周期为2；
② ；
③ 的一个对称中心为 ；
④ .
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 是椭圆 上一点， ， 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则 的
面积为 .
14、若 展开式中第6项的二项式系数与系数分别为 ，则 .
15、如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过
程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，
中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面
体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的表面积和为 ．
e
16、若函数 的极小值点只有一个，则 的取值范围是 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
已知数列 满足数列 为等比数列， ， ，且对任意的 ， .
(1)求 的通项公式；
(2) ，求数列 的前 项和S .
18、（本小题8分）
如图，在直三棱柱 1 1 1中，E，F，G分别为线段 1 1 , 1 及 的中点，P为线段 1 上的点，
1
= , =8, =6，三棱柱
2 1 1 1
的体积为240．
(1)求点F到平面 1 的距离；
(2) 试确定动点P的位置，使直线 与平面 1 1所成角的正弦值最大．
19、（本小题8分）
在一次购物抽奖活动中，假设某 张奖券中有一等奖券 张，可获价值 元的奖品；有二等奖券 张，每张可获
价值 元的奖品；其余 张没有奖.某顾客从这 张中任抽 张.
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价 值 （元）的分布列.
20、（本小题10分）
已知抛物线 ，抛物线上两动点 ， ， 且 ．
(1)、若线段 过抛物线焦点，且 ，求抛物线 的方程．
(2)、若线段 的中垂线与 轴交于点 ，求 面积的最大值．
21、（本小题12分）
已知 e ， ，
(1)若 与 在 处的切线重合，分别求 ， 的值.
(2)若 ， 恒成立，求 的取 值范围.
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，已知直线 ( 为参数)与圆 ( 为参数)相交于
两点.
(1)求直 线 及圆 的普通方程；
(2)已知 ，求 的值.
23、（本小题12分）
已知 ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的最小值.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
通过题意分析可以得 ，则 ．故本题选B．
2、
【答 案】
B
【分析】
利用复数的几何意义写出复数 ， ，再结合共轭复数、复数的乘法运算求解作答.
【详解】
因复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则 i i， i，
于是得 i i i，
所以复数 对应的点 位于第二象限.
故选：B
3、
【答 案】
A
【分析】
解分式不等式，得到解集，从而作出判断.
【详解】
，解得： 且 且 ，
故 ，但 \cancel ，所以 是 的充分不必要条件.
故选：A
4、
【答 案】
B
【分析】
， ，且 ，
，解得 ．
，当且仅当 ， 时取等号．
有最小值 ．
因此正确答案为：B．
5、
【答 案】
D
【分析】
，
因为 log ，所以 .
因此正确答案为D
6、
【答 案】
D
【分析】
首先由角 知 ，再利用同角三角函数平方关系求 ，二倍角余弦公式以及诱导公式求
即可.
【详解】
，
，
又 ，
.
.
故选：D.
7、
【答 案】
C
【分析】
根据余弦定理和正弦定理将条件转化为 ，由此可得 ．
【详解】
由条件及 余弦定理得：
∴ ，
由正弦定理得 ，
∴ ，即
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ．
故选：C．
8、
【答 案】
D
【分析】
根据给定的函数，结合对数函数、二次函数单调性，分类讨论求解作答.
【详解】
函数 在 上是减函数，
当 时， 恒成立，
而函数 在区间 上不单调，因此 ，不符合题意，
当 时，函数 在 上单调递增，于是得函数 在区间 上单调递减，
因此 ，并且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
9、
【答 案】
D
【分析】
根据点P在以原点为圆心，以 为半径的圆上和在圆C上，由两圆有交点求解.
【详解】
解：由题意 得：点P在以原点为圆心，以 为半径的圆上，
又因为点P在圆C上，
所以只要两圆有交点即 可，
所以 ，
解得 ，
所以m的最小值为 ，
故选：D
10、
【答案 】
B
【分析】
由角平分线的性质可得 及双曲线的定义，化简方程即可求双曲线的离心率.
【详解】
如图，
因为 ，所以 ，由 可得 ，
由双曲线定义可知 ，
由 知： 平分 ，
所以 ，即 ，整理得： ，
由 ， ，可化简为 ，
即 ，可得 ，解得 或 （舍去），
故选：B
11、
【答 案】
C
【分析】
设该三角形的内切圆的半径为 ，CA边上的高为 ，由 ，得到
，再利用平行线等比关系求解.
【详解】
解：在 中， ， ， ，
设该三角形的内切圆的半径为 ，
则 ，解得 ，
设CA边上的高为 ，
则 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，
因为点 在该三角形的内切圆上运动，
所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，
则 ，且 三点共线， 在 上，
由平行线等比关系得：要使 ，即 与 之间的比例最小，则点P内切圆的最高点，如图所示：
由 ，知 ，
所以 ，
由 所以
所以 的最小值为 ，
故选：C
12、
【答案 】
C
【分析】
由 得到 ，故②正确；由 关于点 成中心对称，得到
关于 中心对称，推理出 ，从而得到周期为4，①错误；由函数的周期及 关于
中心对称，得到一个对称中心为 ，③正确；利用函数的周期性及对称性求出函数值的和.
【详解】
由题意得： ，将 替换为 得： ，
即 ，②正确；
中将 替换为 得： ，
因为 向左平移 个单位得到 ，
而 关于点 成中心对称，所以 关于 中心对称，故 关于 中心对称，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的一个周期为4 ，①错误；
关于 中心对称，又 的一 个周期为4，故 的一个对称中心为 ，③正确；
中，令 得： ，
中，令 得： ，故 ，
中，令 得： ，
又因为 ，故 ，所以 ，
所以 ，
其中 ， ， ，
故
，④正确.
故选：C
【点睛】
若 ，则函数 关于 中心对称，
若 ，则函数 关于 对称.
二、填空题
13、
【答 案】
【分析】
借助韦达定理得 ，再套用面积公式即可.
【详解】
易得 ，
则
，
即 ，
故
,
故答案为： .
14、
【答案 】
【分析】
有题意可知 C ， C ，
C
所以 ．
C
因此正确答案为： .
15、
【答 案】
【分析】
如图所示正四面体 ，记棱长为 ，高为 ， 为正四面体 内切球的球心，延长 交底面
于 ， 是等边三角形 的中心，过 作 交 于 ，连接 ，
则 为正四面体 内切球的半径，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
由图可知最大球内切于高 大 的正四面体中，最大球半径 大 ，
中等球内切于高 中 大 大 的正四面体中，中等球半径 中 中 ，
最小求内切于高 小 中 中 的正四面体中，最小球半径 小 小 ，
所以九个球的表面积之和 ，
故答案为： ．
16、
【答案 】
e e
【分析】
e
对 求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合 的图像性质即可求得 的取值
范围.
【详解 】
e
因为 ，
e
所以 e ，
e
设 （ ），因为 e ，
所以当 时， ，当 时， ，
e
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
e e
①若 恒成立，即 在 上恒成立，
e e e e e
因为 ，所以 ，
min
此时令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，有唯一极小值 点，满足题意；
e
②方程 有两个不同的根 ， ，且 ，
e e
当 和 时， ；当 时， ，
因为 只有一个极小值点，
e e e
所以3是 即 的一个根，且存在另一个根 ，此时 ；
e e e
当 时， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，满足题意 ，
e e e e
综上： 或 ，即 .
e e
故答案为： .
【点睛】
e e
，因为函数 只有一个极小值点，需对 的符号进行分类讨论.
三、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
(1)利用等比数列的定义以及累加法求通项；
(2)利用错位相减法求和.
【详解】
（1）设 的公比为 ，
，
又 ， ，
，
又 符合上式，所以 的通项公式为 ．
（2 ） ，
的前n项和为
记 ，
则 ，
作差可得 ＝ ，
，
因此，数列 的前 项和 为 .
18、
【答 案】
24 73
(1)
73
(2)P为 中点
【分析】
（1）由题意，建立空间直线坐标系，求解平面法向量，根据点面距向量计算公式，可得答案；
（2）由（1）的空间直角坐标系，求解平面法向量以及直线方向向量，根据线面角与向量夹角的 关系，结合二
次函数的性质，可得答案.
（1）
1
在 中， = ， 为 的中点， =90 ，即 ，
2
1
由直三棱柱 1 1 1的体积 = 1 = 1 ，则2
1
8 6 1=240，解得 1=10，2
以 为原点，并分别以 , , 1所在直线为 , , 轴，建立空间直角坐标系，
则 8,0,0 ， 1 8,0,10 ， 1 0,0,10 ， 1 0,6,10 ， 0,0,0 ，
由 为 1 1的中点，则 0,3,10 ，由 为 1的中点，则 0,0,
5 ，
在平面 1 中，取 1= 0,0,10 ， = 8,3,10 ，设该平面的法向量为 = , , ，
1=0 10 =0
则 ，即 ，令 =3，则 =8, =0，
=0 8 +3 +10 =0
故平面 1 的一个法向量为 = 3,8,0 ，
24 24 73
取 = 8,0,5 ，由点面距公式，可得 到平面 1 的距离 = = = .
9+64 73
（2）
由（2 ）可知： 8,0,0 ， 1 8,0,10 ， 0,6,0 ， 1 0,6,10 ， 0,0,5 ，
由 1 ， 1 平面 1 1 ，则设 ,0, ，0 8,0 10
，
设 = 1=(4 ,5 )，即 4 ,0,5 ，0 2，2
在平面 1 1 内，取 1= 0,0,10 ， = 8,6,0 ，设其法向量 = , , ，
1=0 10 =0
则 ，即 ，令 =3，则 =4, =0，
=0 8 +6 =0
故平面 1 1 的一个法向量 = 3,4,0 ，取 = 4 ,0,5 5 ，
设直线 与平面 1 1所成角为 ，则\sin = \cos , ，
3 4 12
则\sin = = =
32+42 4 2+ 5 5 2 5 41 2 50 +25
当 =0时，P与B重合，\sin =0
12 1
当 0时，\sin = ，
5
41 50 1 +25 1
2
1 1 12 1 12 1
令 = [ ,+ )，\sin = =
2 5 41 50 +25 2 5 25( 1)2+16
12 1 3
当 =1时，即 =1，P为 1中点时， \sin \max = =5 16 5
19、
【答案 】
（1） ；（2）分布列见解析.
【分析】
（1）根据古典概型的概率公式，结合组合数即可求解；
（2）求得 所有可能的取值为（单位：元）： ， ， ， ， ，求出对应的概率，即可列出分布列.
【详解】
（1）记顾客中奖为事件 ， ，即该顾客中奖的概率为 ；
（2） 所有可能的取值为（单位：元）： ， ， ， ， ，
且 ， ，
， ， ，
故 的分布列为：
20、
【答案 】
(1)、
(2)、
【分析】
(1)、取抛物线焦点为 ， ， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，抛物线方程为 ．
(2)、令 ， ，
设 为 中点， ，
又因为 ，
所以 ， ，
，
所以 中垂线方程为： ，
令 ，
所以 方程为： 与抛物线方程联立 ，
显然， ．
， ，．
到 的距离为 ，
．
所以 的最大值为 ．
21、
【答案 】
(1) e，
(2)
【分析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得 且 ，即可得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得e e 对 恒成立，令 e e ，求出函
数的导函数，由 可得 ，从而求出 的值，再验证即可.
【详解】
（1）解： 因为 e ， ，
所以. e ， ，
因为 且 ，
即e 且e ，
解得 e， .
（2）解：因为 对 恒成立，
. e e 对 恒成立，
即e e 对 恒成立，
令 e e ， e
因为 ，
所以 是 的最 小值点，且 是 的极值点，即 e ，
因为 在R上单调递增，且 ，所以 ，
下面检验：当 时， e 对 恒成立，
因为 e ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，符合题意，
所以 .
22、
【答案 】
(1) (2)
【分析】
（1）利用代入消元法可得直线 普通方程；利用平方关系可得圆 的普通方程；
（2）将直线参数方程代入圆的标准方程得 ，再利用参数的几何 意义求解.
【详解】
解：(1)由 ，消去t，得 ，
即直线 的普通方程为 ，
由 ，得 ，
两式平方相加得 ，
即圆 的普通方程为 .
(2)将 代入 ，
得 .
设方程的两根为 ，则 ， .
所以 .
23、
【答 案】
（1）证明见解析；（2）3.
【分析】
（1）根据条件得 ，从而证明不等式成立；
（2）根据条件得 ，然后利用基本不等式，即可求 的最小值，注意等号成
立的条件.
【详解】
（1）证明 ：∵ ， .
∴ ，
∴ .
（2）∵ ， ， ，
∴ ，当且仅当 ，即 ，
时取等号，
∴ 的最小值为3.