2022~2023学年江西抚州临川区临川区第一中学高三上学期文科期末数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年江西抚州临川区临川区第一中学高三上学期文科期末数学
试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合 ， ，则
A.
B.
C.
D.
2、已知复数 满足 i i，则复数 （ ）
A. i
B. i
C. i
D. i
， ，
， ，
3、已知符号函数 sgn 则“sgn sgn ” 是“ ” 的（ ）
， ，
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4、已知 ，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知 ， 0.2 ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、若双曲线 与直线 有交点，则其离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、在 中， ， ， ，点 在该三角形的内切圆上运动，当 最大时，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、若函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 关于点 成中心对称，则函数 的一条对
称轴为（ ）
A.
B.
C.
D.
9、已知函数 ，对任意的 ， ，总有 成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知圆 ： 和两点 ， .若圆 上存在点 ，使得
，则 的最小值为（ ）
A.
B.
C.2
D.
11、若对 \xin ，使得 （ 且 ）恒成立，则实数 的值是（ ）
A.
B.
C.2
D.
12、已知正数 ， 和实数 满足 ，若 存在最小值，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 是椭圆 上一点， ， 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则 的
面积为 .
14、老师要从3名男生和4名女生（含小红同学）中选择3位同学参加比赛，那么小红同学被选中参加比赛的概率
为 .
15、已知函数 ，则 ．
16、如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过
程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，
中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面
体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的表面积和为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
设等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
18、（本小题8分）
如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为线段 ， 及 的中点， 为线段 上的
点， ， ， ，三棱柱 的体积为240.
(1)试确定动点 的位置，使直线 与直线 互相垂直.
(2)求点 到平面 的距离.
19、（本小题8分）
现在养宠物已经成为一件再正常不过的事情了，尤其是对某些人来说，养宠物是他们生活中非常重要的一件事
情，他们还将自己的宠物当成是家人．某机构随机抽取了 名养宠物的人，对他们养宠物的原因进行了调查，
根据调查结果，得到如下表数据：
喜欢 其他 合计
男
女
合计
(1)根据题中调查数据，判断是否有 的把握认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关；
(2)若从这 名男性养宠物的人中，按养宠物的原因采用分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中 随机抽取 人，
求抽取的这 人中至少有 人因为喜欢宠物而养宠物的概率．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
20、（本小题10分）
已知抛物线 ： ，抛物线上两动点 ， ， 且
(1)若线段 过抛物线焦点，且 ，求抛物线 的方程.
(2)若线段 的中垂线与 轴交于点 ，求 面积的最大值 .
21、（本小题12分）
已知 e ， ，
(1)若 与 在 处的切线重合，分别求 ， 的值.
(2)若 ， 恒成立，求 的取 值范围.
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，已知直线 ( 为参数)与圆 ( 为参数)相交于
两点.
(1)求直 线 及圆 的普通方程；
(2)已知 ，求 的值.
23、（本小题12分）
已知 ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的最小值.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
通过题意分析可以得 ，则 ．故本题选B．
2、
【答 案】
B
【分析】
根据题意，由复数的运算即可得到 ，再由共轭复数的定义即可得到结果.
【详解】
i i i i
因为复数 满足 i i，则 i，
i i i
所以 i
故选:B
3、
【答 案】
C
【分析】
若 \sgn \sgn ， 则 ；
若 ， 则 ， 同号， 所以\sgn \sgn ．
故“\sgn \sgn ”是“ ”的必要不充分条件 ．
因此正确答案为：C.
4、
【答 案】
C
【分析】
根据 ，得到 ，根据 ，求出 再用二倍角公式展开代入求
解.
【详 解】
，即
又因为 ，即 ， ，
又因为
故选：C
5、
【答 案】
A
【分析】
由对数函数的单调性可知 ， 0.2 0.2 ，
由正切函数的性质得 ，
故 .
因此正确答案为：A.
6、
【答 案】
C
【分析】
求出双曲线的一条渐近线方程，让它的斜率比 的斜率大，找到 、 的关系，再求离心率的范围.
【详解】
双曲线的焦点在 轴，一条渐近线方程为 ，
这条渐近线比直线 的斜率大，即 ， ．
故选：C.
【点睛】
本题考查双 曲线的几何性质、求离心率范围的问题.
7、
【答 案】
A
【分析】
先判断出 ，然后以B为原点， 分别为 轴正方向建立直角坐标系，进行向量坐标化，进而利
用向量的坐标运算即可求解.
【详解】
在 中，因为 ， ， ， 所以 ，所以 为直角三角形，其中
.
以B为原点， 分别为 轴正方向建立直角坐标系，则 , , .
所以直线 .
设 的内切圆为圆 .
由题意可得： ，解得： ，所以圆 .
因为点 在该三角形的内切圆上运动，所以 .
因为 ，所以
而 .
所以由 可得： ，解得：
，（当且仅当 时等号成立）
此时 .
所以 ，而 ,
所以 .
故选：A
8、
【答 案】
C
【分析】
利用题意可推断出 的周期为8，继而求出所有的对称轴，即可求出答案
【详解】
因为 是偶函数，所以 ，所以 关于 对称，即 ，
因为 关于点 成中心对称，且 向左平移1个单位长度之后得到 ，
所以 关于 对称，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，故 ，故 的周期为8，
因为 关于 对称，关于 对称，所以 关于 对称，
所以 的对称轴为 Z或 Z，
因为
所以函数 的一条对称轴为 ，
故选：C
9、
【答 案】
C
【分析】
∵对任意的 ， ，总有 成立，
不妨设 ，
∴函数 在定义域 上是增函数，
∴ ，解得 ，
因此正确答案为：C.
10、
【答案 】
D
【分析】
根据点P在以原点为圆心，以 为半径的圆上和在圆C上，由两圆有交点求解.
【详解】
解：由题 意得：点P在以原点为圆心，以 为半径的圆上，
又因为点P在圆C上，
所以只要两圆有交点即 可，
所以 ，
解得 ，
所以m的最小值为 ，
故选：D
11、
【答 案】
A
【分析】
利用一元二次不等式恒成立，得到 ，求出实数 的值.
【详解】
对 取对数可得： .
即关于x的不等式 对 \xin 恒成立，
只需
所以 ，解得： .
故选：A
12、
【答 案】
D
【分析】
由 ，变形为 ，再分 ， ， ， ，利用基本不
等式求解.
【详解】
解：正数 ， 和实数 满足 ，
所以 ，
当 时， ，最小值为 1，
当 时， ，
则 ，即 ，当 时，等号成立；
当 时， ，
若 ，则 ，即 ，
不妨设 ，则 ，
所以 ，无最小值 ，
当 ， ，无最小值，
所以 存在最小值，则 的取值范围是 ，
故选：D
二、填空题
13、
【答 案】
【分析】
借助韦达定理得 ，再套用面积公式即可.
【详解】
易得 ，
则
，
即 ，
故
,
故答案为： .
14、
【答案 】
【分析】
列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求得.
【详解】
记小红为a ，其他6位同学分别为：1，2，3，4，5，6.
从7人中任取3人有：
，一共35种.
其中含有小红同学的有： 一共15种.
所以小红同学被选中参加比赛的概率为 .
故答案为： .
15、
【答 案】
【分析】
由已知， ，则
所以， ，
所以， .
因此正确答案为： .
16、
【答案 】
【分析】
如图所示正四面体 ，记棱长为 ，高为 ， 为正四面体 内切球的球心，延长 交底面
于 ， 是等边三角形 的中心，过 作 交 于 ，连接 ，
则 为正四面体 内切球的半径，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
由图可知最大球内切于高 大 的正四面体中，最大球半径 大 ，
中等球内切于高 中 大 大 的正四面体中，中等球半径 中 中 ，
最小求内切于高 小 中 中 的正四面体中，最小球半径 小 小 ，
所以九个球的表面积之和 ，
故答案为： ．
三、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式展开可求得结果；
（2）由裂项相消求和可得结果.
【详解】
（1）设数 列 的公差为 ，
由题意可得 解得 ，
则
（2）由（1）可知 ，
则
18、
【答案 】
(1)P为 的中点时
(2)
【分析】
（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得到 平面 ，即 ，从而得到，当P为
的中点时满足结论；
（2）根据题意，由等 体积法可得到 ，然后再由 的体积公式即可得到结果.
【详解】
（1）P为 的中点.
因为 为线段 的中点，且 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， .
当P为 的中点时， ,所以
（2）因为直三棱柱 中， 平 面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，.
因为 矩形
，解得 ，
而 ，
设点 到平面 的距离为，
由 ，得 ，
即点 到平面 的距离为 ；
19、
【答案 】
(1)有，理由见解析
(2)
【分析】
（1）解： ，
因此，有 的把握认为是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关.
（2）解：通过题意可知，从这 名男性养宠物的人中，按养宠 物的原因采用分层抽样的方法抽取 人，
这 人中，因为喜欢宠物而养宠物的人数为 人，分别记为 、 ，另外 人分别记为 、 、 、 ，
从这 人中随机抽取 人，所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种，
其中，事件“所抽取的这 人中至少有 人因为喜欢宠物 而养宠物”所包含的基本事件有：
、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种，故所求概率为 .
20、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
(1)假设 ，利用 辨析即可；
(2)先计算 方程： ，联立抛物线方程，结合韦达定理得 ，再计算出
，进而计算三角形面积.
【详解】
（1）(1)取抛物线焦点为 ， ， ，
因为 ， 最大值 为10，
所以 ， ，抛物线方程为 .
（2）令 ， ，设 为 中点， ,
又因为 ，所以 ，
，
所以 中垂线方程为： ，令
所以 方程为：
与抛物线方程联立 ，
显然，
. ，
.，
.C 到 的距离为 ，
所以 的最大值为 .
21、
【答案 】
(1) e，
(2)
【分析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得 且 ，即可得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得e e 对 恒成立，令 e e ，求出函
数的导函数，由 可得 ，从而求出 的值，再验证即可.
【详解】
（1）解： 因为 e ， ，
所以. e ， ，
因为 且 ，
即e 且e ，
解得 e， .
（2）解：因为 对 恒成立，
. e e 对 恒成立，
即e e 对 恒成立，
令 e e ， e
因为 ，
所以 是 的最小值点，且 是 的极值点，即 e ，
因为 在R上单调递增，且 ，所以 ，
下面检验：当 时， e 对 恒成立，
因为 e ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，符合题意，
所以 .
22、
【答案 】
(1) (2)
【分析】
（1）利用代入消元法可得直线 普通方程；利用平方关系可得圆 的普通方程；
（2）将直线参数方程代入圆的标准方程得 ，再利用参数的几何 意义求解.
【详解】
解：(1)由 ，消去t，得 ，
即直线 的普通方程为 ，
由 ，得 ，
两式平方相加得 ，
即圆 的普通方程为 .
(2)将 代入 ，
得 .
设方程的两根为 ，则 ， .
所以 .
23、
【答案 】
（1）证明见解析；（2）3.
【分析】
（1）根据条件得 ，从而证明不等式成立；
（2）根据条件得 ，然后利用基本不等式，即可求 的最小值，注意等号成
立的条件.
【详解】
（1）证明 ：∵ ， .
∴ ，
∴ .
（2）∵ ， ， ，
∴ ，当且仅当 ，即 ，
时取等号，
∴ 的最小值为3.