2022~2023学年江西吉安高三上学期期末文科数学试卷（1月 质量检测）（PDF版含解析）

2022~2023学年江西吉安高三上学期期末文科数学试卷（1月 质量检测）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
i
2、设 ，则 （ ）
i
A.
B.
C.2
D.5
3、在 中， ， 为 的中点， ，则 （ ）
A.2
B.1
C.
D.
4、甲、乙两位同学本学期前8周的各周课外阅读时长的条形统计图如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A.甲同学周课外阅读时长的样本众数为8
B.甲同学周课外阅读时长的样本中位数为5.5
C.乙同学周课外阅读时长的样本平均数是7.5
D.乙同学周课外阅读时长大于8的概率的估计值大于0.4
5、某城市有一个面积为 km 的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为 ），现在中央设计一
个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的
是（ ）
A.步行道的宽度3m
B.步行道的宽度5m
C.步行道的宽度 m
D.草坪不可能为黄金矩形
6、若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是直角边长分别为2和4的两个全等的直角三角形.则这
个几何体的外接球的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、记 的内角 对边分别为 已知 ．若
，则 的形状是（ ）
A.等腰直角三角形
B.等腰锐角三角形
C.等腰钝角三角形
D.不等腰钝角三角形
9、已知 是圆锥 的一条母线， 是底面圆 的一条直径， 为正三角形， ，则 与
所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知点 ， ，若直线AB关于 的对称直线l与圆 相切，则
（ ）
A.3
B.
C.9
D.3或9
11、已知函数 及其导函数 的定义域均为 且都为连续函数，记 ，若 ， 均为
奇函数， ，则 （ ）
A.
B.0
C.2
D.2023
12、椭圆 的两个焦点为 ， ，以 的短轴为直径的圆记为 ，过 作圆 的切线与 交于 ， 两点，且
，则 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开．某媒体从甲、乙等6名记者中选两人参加
宣传报道，则甲、乙至少有一人被人选的概率为 ．
14、记函数 cos （ ）的最小正周期为 ，且 的图象关于 对称，当 取
最小值时， .
15、过抛物线 ： 准线上的点 作 的两条切线，切点分别为 ， ，则 .
16、已知函数 e 图像在点 和点 处的两条切线互相垂直，若
，则实数a的范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
设数列 为等差数列， ，数列 为等比数列，其中 ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 n项和 ．
18、（本小题8分）
为了调查抖音平台某直播间带货服务的满意程度，现随机调查了年龄在20岁至70岁的100人，他们年龄的频数分
布和“满意”的人数如下表（其中 ）：
年龄/岁 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70]
频数 15 25 30 20 10
满意 13 a 27 16 b
(1)从[60，70]段中随机抽取一人“满意”的概率为0.4，若以频率估计概率，以上表的样本据来估计总体，求从全
国玩抖音的市民（假设年龄均在20岁至70岁）中随机抽取一人是“满意”的概率
(2)根据（1）的数据，填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年 龄低于岁的人和年龄不低于50岁
的人对服务态度有差异；
年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人数 合计
满意
不满意
合计
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19、（本小题8分）
如图，在四棱锥P-ABCD中， ， ， ．
(1)证明：平面 平面PAC；
(2)若 ，求点D到平面P BC的距离．
20、（本小题10分）
已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间．
21、（本小题12分）
已知双曲线 ： （ ， ）与双曲线 的渐近线相同，点 在 上，
为 的右焦点．
(1)求 的方程；
(2)已知 是直线 ： 上的任意一点，是否存在这样的直线 ，使得过点 的直线与 相切于点 ，且以
为直径的圆过点 ？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由．
22、（本小题12分）
数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程 cos （ ）表示的曲线为心形线，
它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点 为原点，极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，直线 的参数
方程为 （ 为参数）.
(1)求直线 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；
(2)已知点 的极坐标为 ，若 为心形线上的点， 直线 与心形线交于 ， 两点（异于 点），求 的
面积.
23、（本小题12分）
已知 ， 均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
D
【分析】
求出集合 与 取并集.
【详解】
，则 ．
故选：D．
2、
【答 案】
B
【分析】
将复数化简后再求共轭复数的模长,
【详解】
i
解： i， i，∴ ．
i
故选：B．
3、
【答 案】
A
【分析】
利用平面向量基本定理由可得答案.
【详解】
如图，
，
由 ，且 ，得 .
故选：A.
4、
【答 案】
C
【分析】
结合条形图计算众数、中位数、平均数与选项判断.
【详解】
由图可得甲 同学周课外阅读时长：4,5,6,6,8,8,10,11（从小到大排序），
甲同学周课外阅读时长的样本众数是6和8，中位数为 ，选项A，B不正确：
对于C选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为： ，选项C正确；
对于D选项，乙同学周课外阅读时长大于8的概率的估计值 ，选项D不正确．
故选：C．
5、
【答 案】
D
【分析】
分别设草坪的长、宽，假设存在该矩形列出模型求解.
【详解】
解：设草坪 的长、宽分别为 ，步行道的宽度为m，
若存在，则 ，无解，
∴草坪不可能为黄金矩形．
故选：D．
6、
【答 案】
B
【分析】
根据给定条件，画出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.
【详解】
作出不等式 组 表示的可行域，如图中阴影 （含边界），
其中 ，
目标函数 ，即 表示点 与可行域内的点间距离，
显然 ，过P作 于Q，显然点Q在线段BC上，
则 ，观察图形知， ，即 ， ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
7、
【答 案】
B
【分析】
由直观图得到该几何体为四棱锥 ，其中 平面 ，且 是边长为2的正方形，
求解.
【详解 】
解：该几 何体的直观图为如图所示的四棱锥 ，
其中 平面 ，且 是边长为2的正方形， ，
设四棱锥的外接球的球心为 ，半径为 ，正方形 的外接圆 的圆心为 ，半径为r，
作 ，连接 ， ， ， ，
易知 是矩形，则 ，
.
故选：B.
8、
【答 案】
C
【分析】
由条件运用正弦定理边化角，由余弦定理求出 ，根据条件可求得 ，从而可判断.
【详解】
由已知， 根据正弦定理得， ，则 ，
∴ ，又 ，∴ ，
，
又 ，∴ ，∴ ，即 ，
此时， ，∴ 为等腰钝角三角形．
故选：C．
9、
【答 案】
A
【分析】
延长 交圆 于 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，分析可知 为 与 所成的角，利用余弦定
理可求得 ，然后利用余弦定理可求得 的余弦值，即为所求.
【详解】
如图，延 长 交圆 于 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 // ，
则 为 与 所成的角，
不妨设圆 的半径为 ，则 ， ，
因为 为 、 的中点，则四边形 为平行四边形，
， ，则 ，
在 中， ，
由余弦定理可得 ，
所以， ．
故选：A．
10、
【答 案】
D
【分析】
结合题意得对称直线l为 ，再结合点到直线的距离求解即可.
【详解】
解：∵ ，
∴直线AB关于直线 的对称直线l为 ，
即 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
由 ，得 ，或 ．
故选：D．
11、
【答 案】
A
【分析】
由题意得 ，结合 可知 的图像关于 对称， 的
图像关于 对称，进而得 与 都是周期为4的周期函数，进而可求解.
【详解】
解：∵ 为奇函数，即 ， 在纵轴两边斜率相反，
故 的图像关于 对称，
∵ 均为奇函数，
∴函数 的图像分别关 于 ， 中心对称，
即
又 的图像关于 对称， 的图像 关于 对称，
即 ，
，
，
则
∴ 与 都是周期为4的周期函数，
∴ ．
故选：A．
12、
【答案 】
D
【分析】
依题意设 ， ，先求出 和 的正、余弦值，从而求得 ，再利用正弦定理
化简得到 ，进而可求得椭圆的离心率．
【详解】
设椭圆方程为 （ ），设过 作圆 的切线切点为 ，
∴ ，∴ ， ， ，设 ， ，
由 ，即 ，则 ， ， ．
在 中，
．
由正弦定理得 ，
∴ ，即 ，
化简，得 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴椭圆的离心率 ．
故选：D．
二、填空题
13、
【答 案】
/ 0.6
【分析】
根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式计算作答.
【详解】
记6名记者 分别为：甲，乙，1，2，3，4，从6名记者中任选两人，所有可能的情况：
甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4，乙1、乙2、乙3、乙4、12、13、14、23、24、34，共15种 情况，
甲、乙至少有一人被入选有：甲乙、甲1、甲2、甲3、甲4、乙1、乙2、乙3、乙4，共9种情况，
所以甲、乙至少有一人被人选的概率为 ．
故答案为：
14、
【答 案】
/
【分析】
根据对称轴可得 Z ，可得 （ Z），结合题意可得 的最小值为4，即可
求 ，代入运算求解.
【详解】
由 的图象关于 对称，则 ， Z，
∴ （ Z），
又∵ ，
∴当 ， 的最小值为4，
此时 cos ， ，
∴ cos cos .
故答案为： .
15、
【答案 】
【分析】
首先将抛物线方程化为标准式，即可得到准线方程，设 ，过点 的切线方程为
，联立直线与抛物线方程，消元，根据 可得 ，再利用韦达定理计算可得.
【详解】
解：抛物线 ： ，即 ，准线方程为 ，设 ，过点 的切线方程为
，
由 得 ，
由 ，得 .
依题意， ， 为上述方程的两根，则 .
故答案为：
16、
【答案 】
【分析】
假设两切点坐标，得出对应的切线的斜率 e e ，分析题意可得 e e ，即可解得a的范围.
【详解】
解：由题意， e e e 则 e e
不妨设 ，点 e 和点 e ，两切线的斜率分别为 e e ，
∴ e e ，∴ ，
∴ 等价于 e e ，
等价于 e e 或 e e
解得 ，或 ．故a的范围是 ．
故答案为： .
三、解答题
17、
【答案 】
(1)当 时， ， ；当 时，
(2)
【分析】
（1）由题意计算出公差 ，或 ,进一步计算公比即可得通项公式；
（2）分组求和，分组后直接用求和公式计算即可.
【详解】
（1）设数 列 的公差为d，则 ，
由数列 为等比数列可得 即 ，∴ ，或 ，
当 时， ，
等比数列 的公比 ，所以 ；
当 时，
等比数列 的公比 ，所以 ；
（2）若 ，由（1）可得 ，则 ，又 ，
∴ ，
∴ ．
18、
【答 案】
(1)80%
(2)表格 见解析，有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异
【分析】
(1)先计算 ， ，再计算概率；
(2)结合 列联表计算 即可判断.
【详解】
（1）由 ，且 ，得 ， ，
∴从100人随机抽取一人“满意”的概率为 ，
以频率估计概率，从全国玩抖音的市民中随机抽取一人是“满意”的概率为80%．
（2） 列联表
年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人数 合计
满意 60 20 80
不满意 10 10 20
合计 70 30 100
的观测值 ，
∴有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异.
19、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）先证明 ，由 及直线与平面垂直的判定定理得 平面PAC，再由平面与平面垂直的判定
定理证明平面 平面PAC；
（2）由（1）得 ， ，由平面与平面垂直的性质定理， 平面ABCD，
利用等体积法，求得D到平面PBC的距离.
【详解】
（1）证明 ：取AB的中点为E，连接CE，
由 ， 可知四边形ADCE是平行四边形，
所以 ，∴点C在以AB为直径的圆上，所以 ，
又 ， ，且PA， 平面PAC，
所以 平面PAC，又 平面PBC，所以平面 平面PAC．
（2）因为 平面PAC， 平面PAC，所以 ，
由 ， ，得 ，
又因为 ， ， ， ，
因为 平面PAC，又 平面ABCD，平面 平面PAC，
连接DE交AC于点O，则O为AC的中点，连接PO，则 ， ．
因为平面 平面PAC，平面 平面 ，所以 平 面ABCD，
设点D到平面PBC的距离为d，
由 得， ，所以 ．
20、
【答 案】
(1)
(2)答案见解析
【分析】
(1)根据导数与切线的关系求解；
(2)根据导数结合 不同的值分类讨 论求解.
【详解】
（1）当 时， ，
， ， ，
曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ．
（2） ，
①当 时，当 时， ，当 时， ，
∴ 在 单调递增，在 单调递减；
②当 时，由 ，得 ，或 ；
由 ，得 ，
∴ 在 ， 单调 递减，在 单调递增；
③当 时， 恒成立，∴ 在 单调递 减；
④当 时，由 ，得 ，或 ；
由 ，得 ，
∴ 单调递减区间为 ， ，单调递增区间为
21、
【答 案】
(1)
(2)存在直线 满足题设条件
【分析】
（1）依题意可设双曲线 的方程为 ，再将点 的坐标代入即可求得 的值,进而求得 的方
程；
（2） 显然直线 的斜率存在，先设直线 的方程为 ，再联立双曲线 的方程，整理可得关于x
的一元二次方程，根据 可得 与 的关系式，进而求得切点 的坐标，利用 ，有
，化简得 ，从而可知存在直线 满足题设条件．
【详解】
（1）依题意可设双曲线 的方程为 ，将点 的坐标代入得 ，
∴ ，∴双曲线 ： ．
（2）显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，①
∴ ， ，
即切点 的坐标为 ，
以 为直径的圆恒过点 ，则 ，
又 的坐标为 ， ，
， ，
∴ ，
化简，得 ，
上式对满足①式任意的 ， 成立 ，则 ．
故存在直线 满足题设条件．
22、
【答 案】
(1)极坐标方程为 或 ；
(2) .
【分析】
（1）先消去参数 得到直线 的普通方程，进而得到极坐标方程，由 cos ，得到 cos ，
即 求解.
（2）将 代入方程 cos 得到 ，进而得到 cos ，分别与直线l的极坐标方程联立，求
得A，B坐标求解.
【详解】
（1）解： 消去参数 得到直线 的普通方程为 ，
所以极坐标方程为 或 ；
（ （ 也正确）
由 cos ，得 cos ，即 ，
化简得心形线的直角坐标方程为 .
（2）将 代入方程 cos ，得 ，
∴ cos .
由 得 ，
cos
由 得 ，
cos
∴ sin sin .
23、
【答案 】
(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
【分析】
（1）由柯西不等式的一般形式证明即可；
（2）结合（1）可得 ，再利用基本不等式证明即可．
【详解】
（1）由柯 西不等式有
，
∴ ，
当且仅当 时，取等号．
（2）∵ ，∴ ，
∴又 ，∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号，∴ ．