2022~2023学年江西宜春丰城市东煌学校高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022~2023学年江西宜春丰城市东煌学校高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 915.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-31 14:56:24 | ||
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文档简介
2022~2023学年江西宜春丰城市东煌学校高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、圆 的圆心为
A.
B.
C.
D.
2、已知双曲线C： 的左右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支上，则 （ ）
A.－8
B.8
C.10
D.
3、若直线 与 平行，则实数
A.1
B.2
C.3
D.
4、已知过 两点的直线与直线 垂直，则 的值（ ）
A.4
B.－8
C.2
D.－1
5、若椭圆经过点 ， ，且焦点分别为 和 ，则椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、抛物线 的焦点到直线 的距离是（ ）
A.
B.2
C.3
D.1
2 2
7、若点 2, 3 在双曲线 ： =1（ >0， >0）的一条渐近线上，则 =（ ）
2 2
A.2
1
B.
2
3
C.
2
2
D.
3
8、直线 + =1( {\text\less}0)在坐标系中的位置可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列双曲线中以 为渐近线的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、下列圆锥曲线中，焦点在x轴上的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11、已知方程 ，则下列说法正确的是（ ）
A.当 时，表示圆心为 的圆
B.当 时，表示圆心为 的圆
C.当 时，表示的圆的半径为
D.当 时，表示的圆与 轴相切
12、下列说法中，正确的有（ ）
A.过点 (1,2)且在 轴， 轴截距相等的直线方程为 + 3=0
B.直线 = 2在 轴的截距是2
C.直线 3 +1=0的倾斜角为30°
D.过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为 5=0
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、直线 和直线 的位置关系是 .
14、若方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 .
15、若直线 与圆 相离，则 的取值范围是 ．
16、顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点 的抛物线方程为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为 ；
(2)经过点 和 .
18、（本小题12分）
求直线L的方程：
(1)、求过点P（1，2）且与直线3x-2y+5=0平行的直线方程
(2)、求过点P（1，-1）且与直线2x+3y+1=0垂直的直线方程.
19、（本小题12分）
已知双曲线 与椭圆 有公共焦点，且它的一条渐近线方程为 .
(1)求椭圆 的焦点坐标；
(2)求双曲线 的标准方程．
20、（本小题12分）
已知平面内三点 ， ， .
(1)若直线 经过点 且与线段 有交点，求直线 的倾斜角 的取值范围；
(2)若直线 经过点 ，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为2，求 直线 的方程.
21、（本小题12分）
如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线 于 ， 两点.
(1)求 的值；
(2)求证：OM⊥ON .
22、（本小题12分）
已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l： 与圆C相交于A、B两点，求所得弦长 的值．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
由 ，得 ，所以圆心为 ，故选：A
2、
【答 案】
A
【分析】
先由双曲线的方程求出 ，然后利用双曲线的定义可求得答案.
【详解】
由 ，得 ，得 ，
因为双曲线C的左右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支上，
所以 ，
故选：A
3、
【答 案】
D
【分析】
由题意 ， ．故选：D．
4、
【答 案】
B
【分析】
由两直线的斜率乘积为 得结论．
【详解】
因为直线 与直线 垂直，
所以 ， ．
故选：B．
5、
【答 案】
C
【分析】
先求得 ，由此求得椭圆的离心率.
【详解】
由于椭圆经 过点 ， ，且焦点分别为 和 ，
所以椭圆的焦点在 轴上，且 ，
所以椭圆的离心率为 .
故选：C
6、
【答 案】
D
【分析】
根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，再利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】
由抛物线 得焦点 ， ，
点 ， 到直线 的距离 .
故选：D.
7、
【答 案】
C
【分析】
通过题意得点 2, 3 在直线 = 上，
3
所以 = .
2
因此正确答案为：C.
8、
【答 案】
C
【分析】
求出直线的斜率 = ，判断出 = >0，对照四个选项即可得到答案.
【详解】
直线 + =1( {\text\less}0)的斜率 = .
因为 {\text\less}0，所以 = >0.
对照四个选项，只有选项C符合.
故选：C
二、多选题
9、
【答 案】
A;B;D
【分析】
依次求4个选项中的渐近线方程即可.
【详解】
A选项：渐 近线方程 ，正确；B选项：渐近线方程 ，正确；
C选项：渐近线方程 ，错误；D选项：渐近线方程 ，正确；
故选：ABD.
10、
【答 案】
A;C
【分析】
根据圆锥曲线的标准方程得其焦点的位置判断可得选项.
【详解】
解：对于A， 表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；
对于B， 表示焦点在y轴上的双曲线，故B不正确；
对于C， 表示焦点在x轴上的抛物线，故C正确；
对于D， 表示焦点在y轴上的抛物线，故D不正确 ；
故选：AC．
11、
【答 案】
B;C;D
【分析】
将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意， 方程 ，可化为 ，
可圆的圆心坐标为 ，
A中，当 时，此时半径 为 ，所以A错误；
B中，当 时，此时半径大于 ，表示圆心为 的圆，所以B正确；
C中，当 时，表示的圆的半径为 ，所以C正确；
D中，当 时，可得 ，方程表示的圆半径为 ，
又圆心坐标为 ，所以圆心到 轴的距离等于半径，所以圆与 轴相切，所以D正确．
故选：BCD.
12、
【答案 】
C;D
【分析】
根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.
【详解】
A选项，直 线 =2 过点 (1,2)且在 轴， 轴截距相等，所以A选项错误.
B选项，直线 = 2在 轴上的截距是 2，B选项错误.
3
C选项，直线 3 +1=0的斜率为 ，倾斜角为30 ，C选项正确.
3
D选项，过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为 5=0，D选项正确.
故选：CD
三、填空题
13、
【答案 】
相交
【分析】
首先求出两条直线的斜率，得到 且 ，所以两条直线相交但不垂直.
【详解】
直线 的斜率 ，直线 的斜率为 ，
则 ,且 ，所以两条直线相交但不垂直.
故答案为：相交
【点睛】
本题主要考 查两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线平行和相交的充要条件是解题的关键，属于简单题.
14、
【答 案】
【分析】
根据给定条件，利用椭圆方程与焦点的位置关系列式求解作答.
【详解】
因方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 .
故答案为：
15、
【答案 】
或
【分析】
根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于半径可求解.
【详解】
设圆心 到直线的距离为 ,则 ,
圆的半径 ,
因为 直线与圆相离 ,所以 ,
即 ,所以 ,解得 或
故答案为：m＞2或m＜-2
16、
【答案 】
【分析】
设抛物线方程为 ，代入点 求出 即可得抛物线方程.
【详解】
依题意， 设抛物线方程为 ，于是得 ，解得 ，
所以所求抛物线方程是 .
故答案为: .
四、解答题
17、
【答 案】
(1) ；
(2) .
【分析】
（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a、c，进而求参数b，即可写出椭圆方程.
（2）由题设知P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a、b，结合 顶点坐标特征写出椭圆方程.
【详解】
（1）由已知, ， ，得： ， ，从而 .
所以椭圆的标准方程为 .
（2）由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有 ， .
又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为 .
18、
【答案 】
(1)、
(2)、
【分析】
(1)、设该直线为 ，因为该直线过点 ，所以 ，解得 .即所求直
线为
(2)、设与直线 垂直的直线方程为： ，代入 得： ，解得：
. 所求直线方程为： .
19、
【答案 】
(1) ；
(2) .
【分析】
（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数c，即可得焦点坐标.
（2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲线方程为 ，再由双曲线参数关系求出参数 ，即可得
双曲线标准方程.
【详解】
（1 ）由题设， ，又 ，
所以椭圆 的焦点坐标为 .
（2）由题设，令双曲线 为 ，
由（1）知： ，可得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
20、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）求出直线 及 的斜率，数形结合得到倾斜角的范围；
2 （ ）设出方程为 ，根据直线所过的点及与坐标轴围成的三角形面积列出方程组，求出直线方程.
【详解】
（1）因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
所以 ， 对应的倾斜角分别为 ， ，
结合图形，当直线 过点 且与线段 有交点时， 的倾斜角范围为 ；
（2）设直线 在 轴， 轴上的截距分别为 ， ，
由题意知 ， ，则直线 的方程为 ，
由直线 经过点 ，且与 轴， 轴围成的三角形的面积为2，
得 ，解得 或 （舍）.
所以直线 的方程为 ，即 .
21、
【答 案】
(1)4
(2)证 明见解析
【分析】
（1）直线l的方程为 ，
直线与抛物线联立得 ，消去y可得 ，
其中 ，
由韦达定理得 ；
（2）证明： ， ，所以 ，
又∵ ，∴ .
设OM，ON的斜率分别为 ， ，
则 ， ，有 ，
则OM⊥ON.
22、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）通过题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为 ；
（2）由（1）可知：圆C半径为 ，设圆心（2，0）到l的距离为d，则 ，由垂径定理得：
．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、圆 的圆心为
A.
B.
C.
D.
2、已知双曲线C： 的左右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支上，则 （ ）
A.－8
B.8
C.10
D.
3、若直线 与 平行，则实数
A.1
B.2
C.3
D.
4、已知过 两点的直线与直线 垂直，则 的值（ ）
A.4
B.－8
C.2
D.－1
5、若椭圆经过点 ， ，且焦点分别为 和 ，则椭圆的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、抛物线 的焦点到直线 的距离是（ ）
A.
B.2
C.3
D.1
2 2
7、若点 2, 3 在双曲线 ： =1（ >0， >0）的一条渐近线上，则 =（ ）
2 2
A.2
1
B.
2
3
C.
2
2
D.
3
8、直线 + =1( {\text\less}0)在坐标系中的位置可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列双曲线中以 为渐近线的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、下列圆锥曲线中，焦点在x轴上的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11、已知方程 ，则下列说法正确的是（ ）
A.当 时，表示圆心为 的圆
B.当 时，表示圆心为 的圆
C.当 时，表示的圆的半径为
D.当 时，表示的圆与 轴相切
12、下列说法中，正确的有（ ）
A.过点 (1,2)且在 轴， 轴截距相等的直线方程为 + 3=0
B.直线 = 2在 轴的截距是2
C.直线 3 +1=0的倾斜角为30°
D.过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为 5=0
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、直线 和直线 的位置关系是 .
14、若方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 .
15、若直线 与圆 相离，则 的取值范围是 ．
16、顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点 的抛物线方程为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为 ；
(2)经过点 和 .
18、（本小题12分）
求直线L的方程：
(1)、求过点P（1，2）且与直线3x-2y+5=0平行的直线方程
(2)、求过点P（1，-1）且与直线2x+3y+1=0垂直的直线方程.
19、（本小题12分）
已知双曲线 与椭圆 有公共焦点，且它的一条渐近线方程为 .
(1)求椭圆 的焦点坐标；
(2)求双曲线 的标准方程．
20、（本小题12分）
已知平面内三点 ， ， .
(1)若直线 经过点 且与线段 有交点，求直线 的倾斜角 的取值范围；
(2)若直线 经过点 ，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为2，求 直线 的方程.
21、（本小题12分）
如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线 于 ， 两点.
(1)求 的值；
(2)求证：OM⊥ON .
22、（本小题12分）
已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l： 与圆C相交于A、B两点，求所得弦长 的值．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
由 ，得 ，所以圆心为 ，故选：A
2、
【答 案】
A
【分析】
先由双曲线的方程求出 ，然后利用双曲线的定义可求得答案.
【详解】
由 ，得 ，得 ，
因为双曲线C的左右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支上，
所以 ，
故选：A
3、
【答 案】
D
【分析】
由题意 ， ．故选：D．
4、
【答 案】
B
【分析】
由两直线的斜率乘积为 得结论．
【详解】
因为直线 与直线 垂直，
所以 ， ．
故选：B．
5、
【答 案】
C
【分析】
先求得 ，由此求得椭圆的离心率.
【详解】
由于椭圆经 过点 ， ，且焦点分别为 和 ，
所以椭圆的焦点在 轴上，且 ，
所以椭圆的离心率为 .
故选：C
6、
【答 案】
D
【分析】
根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，再利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】
由抛物线 得焦点 ， ，
点 ， 到直线 的距离 .
故选：D.
7、
【答 案】
C
【分析】
通过题意得点 2, 3 在直线 = 上，
3
所以 = .
2
因此正确答案为：C.
8、
【答 案】
C
【分析】
求出直线的斜率 = ，判断出 = >0，对照四个选项即可得到答案.
【详解】
直线 + =1( {\text\less}0)的斜率 = .
因为 {\text\less}0，所以 = >0.
对照四个选项，只有选项C符合.
故选：C
二、多选题
9、
【答 案】
A;B;D
【分析】
依次求4个选项中的渐近线方程即可.
【详解】
A选项：渐 近线方程 ，正确；B选项：渐近线方程 ，正确；
C选项：渐近线方程 ，错误；D选项：渐近线方程 ，正确；
故选：ABD.
10、
【答 案】
A;C
【分析】
根据圆锥曲线的标准方程得其焦点的位置判断可得选项.
【详解】
解：对于A， 表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；
对于B， 表示焦点在y轴上的双曲线，故B不正确；
对于C， 表示焦点在x轴上的抛物线，故C正确；
对于D， 表示焦点在y轴上的抛物线，故D不正确 ；
故选：AC．
11、
【答 案】
B;C;D
【分析】
将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意， 方程 ，可化为 ，
可圆的圆心坐标为 ，
A中，当 时，此时半径 为 ，所以A错误；
B中，当 时，此时半径大于 ，表示圆心为 的圆，所以B正确；
C中，当 时，表示的圆的半径为 ，所以C正确；
D中，当 时，可得 ，方程表示的圆半径为 ，
又圆心坐标为 ，所以圆心到 轴的距离等于半径，所以圆与 轴相切，所以D正确．
故选：BCD.
12、
【答案 】
C;D
【分析】
根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.
【详解】
A选项，直 线 =2 过点 (1,2)且在 轴， 轴截距相等，所以A选项错误.
B选项，直线 = 2在 轴上的截距是 2，B选项错误.
3
C选项，直线 3 +1=0的斜率为 ，倾斜角为30 ，C选项正确.
3
D选项，过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为 5=0，D选项正确.
故选：CD
三、填空题
13、
【答案 】
相交
【分析】
首先求出两条直线的斜率，得到 且 ，所以两条直线相交但不垂直.
【详解】
直线 的斜率 ，直线 的斜率为 ，
则 ,且 ，所以两条直线相交但不垂直.
故答案为：相交
【点睛】
本题主要考 查两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线平行和相交的充要条件是解题的关键，属于简单题.
14、
【答 案】
【分析】
根据给定条件，利用椭圆方程与焦点的位置关系列式求解作答.
【详解】
因方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 .
故答案为：
15、
【答案 】
或
【分析】
根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于半径可求解.
【详解】
设圆心 到直线的距离为 ,则 ,
圆的半径 ,
因为 直线与圆相离 ,所以 ,
即 ,所以 ,解得 或
故答案为：m＞2或m＜-2
16、
【答案 】
【分析】
设抛物线方程为 ，代入点 求出 即可得抛物线方程.
【详解】
依题意， 设抛物线方程为 ，于是得 ，解得 ，
所以所求抛物线方程是 .
故答案为: .
四、解答题
17、
【答 案】
(1) ；
(2) .
【分析】
（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a、c，进而求参数b，即可写出椭圆方程.
（2）由题设知P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a、b，结合 顶点坐标特征写出椭圆方程.
【详解】
（1）由已知, ， ，得： ， ，从而 .
所以椭圆的标准方程为 .
（2）由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有 ， .
又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为 .
18、
【答案 】
(1)、
(2)、
【分析】
(1)、设该直线为 ，因为该直线过点 ，所以 ，解得 .即所求直
线为
(2)、设与直线 垂直的直线方程为： ，代入 得： ，解得：
. 所求直线方程为： .
19、
【答案 】
(1) ；
(2) .
【分析】
（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数c，即可得焦点坐标.
（2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲线方程为 ，再由双曲线参数关系求出参数 ，即可得
双曲线标准方程.
【详解】
（1 ）由题设， ，又 ，
所以椭圆 的焦点坐标为 .
（2）由题设，令双曲线 为 ，
由（1）知： ，可得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
20、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）求出直线 及 的斜率，数形结合得到倾斜角的范围；
2 （ ）设出方程为 ，根据直线所过的点及与坐标轴围成的三角形面积列出方程组，求出直线方程.
【详解】
（1）因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
所以 ， 对应的倾斜角分别为 ， ，
结合图形，当直线 过点 且与线段 有交点时， 的倾斜角范围为 ；
（2）设直线 在 轴， 轴上的截距分别为 ， ，
由题意知 ， ，则直线 的方程为 ，
由直线 经过点 ，且与 轴， 轴围成的三角形的面积为2，
得 ，解得 或 （舍）.
所以直线 的方程为 ，即 .
21、
【答 案】
(1)4
(2)证 明见解析
【分析】
（1）直线l的方程为 ，
直线与抛物线联立得 ，消去y可得 ，
其中 ，
由韦达定理得 ；
（2）证明： ， ，所以 ，
又∵ ，∴ .
设OM，ON的斜率分别为 ， ，
则 ， ，有 ，
则OM⊥ON.
22、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）通过题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为 ；
（2）由（1）可知：圆C半径为 ，设圆心（2，0）到l的距离为d，则 ，由垂径定理得：
．