2022~2023学年江西宜春丰城市江西省丰城九中高三上学期理科期末数学试卷（第九中学、宜春一中）（PDF版含解析）

2022~2023学年江西宜春丰城市江西省丰城九中高三上学期理科期末数学
试卷（第九中学、宜春一中）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、集合 的真子集的个数是（ ）
A.15
B.8
C.7
D.63
2、已知 （i是虚数单位），则 （ ）
A.
B.1
C.0
D.i
3、已知 ， ，条件 ，条件 ，则 是 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4、函数 的大致图象是（ ）
O
A.
O
B.
O
C.
O
D.
5、某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更
新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺
序相邻的学法有（ ）
A.36种
B.48种
C.72种
D.144种
6、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价(元) 4 5 6 7 8 9
销量(件) 90 84 83 80 75 68
由表中数据，求得线性回归方程 =-4x+a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为
（ ）
A.
B.
C.
D.
7、某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩 ，则估计
该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：
）
A.16
B.10
C.8
D.2
8、已知定义在R上的函数 为偶函数，当 时， ，则不等式 的解
集为
A.
B.
C.
D.
9、已知圆O的方程为 ，过圆O外一点 作圆O的一条切线 ，切点为A，若 ，则
的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、在 中，内角A，B，C的对边分别a，b，c，若 ， ，则
，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
11、由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后
3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是
（ ）
A.
B.
C.
D.
12、设 ln ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知函数 ，则
14、若 ，在 展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为65，则展开
式常数项为 ．
15、设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若 ，则 ＝
16、若函数 图像上有且仅有两对点关于 轴对称，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
已知函数 ， 为奇函数，其图像相邻的对称轴之间的距
离为 ．
(1)求函数 的解析式及其减区间；
(2)在 中，角A、B、C对应的边为a、b、c，若 ， ， ，求 ．
18、（本小题8分）
根据11月份中国某信息网发布的我国A市2021年上半年新锐品牌人群用户（新锐品牌人群，指在指定周期内浏
览新锐品牌相关内容以及商品详情页的人群）性别分析数据，得到男性、女性用户比例为 ．A市对购买家电
类新锐品牌人群中随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，统计出每位顾客购买家电消费金额，根据这些
数据得到如下的频数分布表：
消费金（元）
女性顾客人数 50 30 10 6 4
男性顾客人数 20 40 24 10 6
(1)若以我国A市2021年上半年新锐品牌人群用户性别分析数据作为A市抽取新锐品牌人群中性别概率，从A市新
锐品牌人群中随机抽取4人，X为4人中男性的人数，求X的数学期望．
(2)根据A市统计购买家电消费金额数据频数分布表，完成下列 列联 表，并根据列联表，判断是否有 的
把握认为购买家电类新锐品牌人群消费金额千元以上与性别有关？
不超千元 千元以上 合计
女性顾客
男性顾客
合计
附： ，
0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19、（本小题8分）
已知数列 满足 * ，且 .
(1)证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)在① ；② log ；③ 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解
答.已知数列 满足__________，求 的前 项和 .（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
20、（本小题10分）
甲、乙两支女子排球队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束），
假设在每局比赛中，甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 ，各局比赛的结果相互独立．
(1)求乙队获胜的概率；
(2)设比赛结束时甲队和乙 队共进行了 局比赛，求随机变量 的分布列及数学期望．
21、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)当 ， 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 ，且 ，若 ，求实数的m最大值．
22、（本小题12分）
已知在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以 为极点， 轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系，已知曲线 ： 和 ： ，曲线 分别交 ， 于 ， 两点.
(1)求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)求 的面积.
23、（本小题12分）
己知函数 ．
(1)解关于x的不等式 ；
(2)记 的最小值为m，若a、b、c都是正实数，且 ，求证： ．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
由于 ，
，又 ，
，
，即 集合 ，
该集合的所有真子集为 ，
该集合的真子集个数为 ，
因此正确答案为：C.
2、
【答 案】
B
【分析】
通过题意 ,
因此正确答案为：B
3、
【答 案】
A
【分析】
因 ， ，由 得： ，则 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，因此， ，
因 ， ，由 ，取 ，则 ， ，即 ， ，
所以 是 的充分不必要条件.
因此正确答案为：A
4、
【答 案】
A
【分析】
由 ，可得 且 ，
故函数 的定义域为 ，
，即函数 为奇函数，排除D选项；
当 时， ， ，
则 ，则 ，排除C选项；
时， ，排除B选项．
故选：A．
5、
【答 案】
C
【分析】
通过题意，从4个视频中选2个有C 种方法，
2篇文章全选有C 种方法，
2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有A 种方法，
最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有A 种方法，
故满足题意的学法有C C A A （种）．
因此正确答案为：C
6、
【答 案】
C
【分析】
因为 ，
，
所以 ，即
满足 的点有 ，共3个
所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 ，
因此正确答案为：C
7、
【答 案】
C
【分析】
因为数学成绩 ，所以 ，因此由
所以有
，
估计该班数学得分大于120分的学生人数为 ，
因此正确答案为：C
8、
【答 案】
D
【分析】
当 时， 为增函数， 也是增函数，故 为增函数.
又因为函数 为偶函数，所以 的图像关于直线 对称.
因为 ，故 即 ，
两边平方后得到 即 ，
因此正确答案为D．
9、
【答 案】
A
【分析】
因为 为圆O的一条切线，故 ，
则 ，解得 ，
由勾股定理得 ，即 ，
可设 ， ，
则 ，其中 ，
故 的最大值为 .
因此正确答案为：A
10、
【答 案】
C
【分析】
通过题意知 ，
由正弦定理知 ，
，
又 ， ，
故在 中, ．
，
，
又 由余弦定理可得： ，
，
由 ，当且仅当 时取等号，
， 的最大值为 ．
又 ，故 的取值范围是 ，
11、
【答 案】
A
【分析】
由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共A 个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说
明中间数字为1；
在剩余的四个数字 中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位
数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.C \times 1
因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有C 个，
所以所求的概率 ．
因此正确答案为：A．
12、
【答案 】
B
【分析】
解：
设
所以
所以 所以 单 调递增， 单调递减，
所以
当 时， ，所以 在 上恒成立，
所以函数 在 单调递增，
所以 ，
所以 .
所以 .
设 ，
所以 ，
设 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
故 .
因此正确答案 为：B
二、填空题
13、
【答案 】
【分析】
因为 ，所以 ，从而得
.
因此正确答案为： .
14、
【答 案】
60
【分析】
，
，
令 ，故得系数之和为1，而二项式系数和为
由二项式系数和以及项之和可得 ，
由于二项式展开式的通项为 ，
令 ，所以常数项为 ，
因此正确答案为：60
15、
【答 案】
【分析】
试题分析：若Sn是等差数列｛an｝的前n项和，
则 也是等差数列；
所以 也是等差数列，
由 可设 ，则 ，
于是可得相邻三项和依次为 ，
即 ，
所以 .
16、
【答案 】
【分析】
当 时， ，其关于 轴对称的函数为 ，
因为函数 图像上有且仅有两对点关于 轴对称，所以，由 ，
得到 ，所以 有两个不同的交点，
令 ，则 ，所以， 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，所以 ，
又当 时， ，当 时， ，故 的图象如下图所示，
所以 ，
因此正确答案 为： .
三、解答题
17、
【答 案】
(1) ， 的减区间为 ；
(2) .
【分析】
（1） ，
由函数 相邻的对称轴之间的距离为 ， ，
所以 ，又 ，故
∴ ，
又∵ 为奇函数，∴ ，即 ，
得 ，即 ，而 ，故 ，
因为函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
又 ，所以 为奇函数，满足要求，
令 ，得 ，
∴ 的减区间为 ；
（2）由（1）可知 ，又 ，
所以 ，即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
由正弦定理可得 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
18、
【答案 】
(1)3
(2)列 联表见解析；有 的把握.
【分析】
（1）通过题意知以我国A市2021年上半年新锐品牌人群用户性别分析数据作为A市抽取新锐品牌人群中性别概
率，
男性、女性用户比例为 ，故从A市新锐品牌人群中随机抽取1人为男性的概率为 ，
则随机抽取4人，X为4人中男性的人数，则 ,
故X的数学期望为 .
（2）通过题意可得列联表：
不超千元 千元以上 合计
女性顾客 80 20 100
男性顾客 60 40 100
合计 140 60 200
故 ，
故有 的把握认为购买家电类新锐品牌人群消费金额千元以上与性别有关.
19、
【答案 】
(1)证明见解析，
(2)答案见解析
【分析】
（1）利用递推公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（2）若选①：利用错位相减法进行求解即可；
若选②：根据对数的运算性质，结合等差数列前 项和公式进行求解即可；
若选③：根据裂项相消法进行求解即可.
【详解】
（1）因为 ，
所以 ，又 ，于是 ，
所以 是以4为首项2为公比的等比数列.
所以 ，两边除以 得， .
又 ，所以 是以2为首项1为公差的等差数列.
所以 ，即 .
（2）若选①： ，即 .
因为 ，
所以 .
两式相减得，
，
所以 .
若选②： log ，即 log log log .
所以 log log log
log
log
若选③： ，即 .
所以
20、
【答案 】
(1)
(2)分布列见解析，
【分析】
（1）通过题意知，比赛三局且乙队获胜的概率 ，
比赛四局且乙队获胜的概率为 ，
比赛五局且乙队获胜的概率为 ，
所以乙队获胜的概率为 ．
（2）通过题意随机变量 的可能取值为 ， ， ，
则 ，
，
，
所以随机变量 的分布列为
3 4 5
所以 ．
21、
【答 案】
(1)答案见解析；
(2)m最大值为 ．
【分析】
（1）因为
当 ， 时，可得 ，
令 ，解得 或2，
当 时，
当 时 ， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在在 上单调递减 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，当且仅当 时取等号，
故函数 在 上单调递增；
当 时，
当 时 ，函数 在 上单调递增，
当 时 ，函数 在 上单调递减，
当 时 ，函数 在 上单调递增，
（2）当 时， ．
所以方程 有两个正根 ，
且 ，解得 ，
通过题意得
，
令 ．
则 在 上单调递椷，
，
，
因为 恒 成立，
所以 ，
所以m最大值为 ．
22、
【答案 】
(1) ， ；
(2) .
【分析】
（1）解：由参数方程 （ 为参数），可得
消去 可得 的普通方程为 .
又 代入 ，可得 ，
即 的极坐标方程为 ；
由极坐标方程 ，可得 ，
所以 的直角坐标方程为 .
（2）解：设 ，将 代入 ，可得 ，所以 .
设 ，同理可知 ，
所以 .
23、
【答 案】
(1)不等式 的解集为 或 ；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）由 ，可得 ，
当 时，由 ，解得 ，此时 ；
当 时， ，此时不等式 无解；
当 时，由 ，解得 ，此时 .
综上所述，不等式 的解集为 或 .
（2）由绝对值三角不等式可得 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故 ，
通过题意可知，正实数 、 、 满足 ，
由柯西不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故原不等式得证.