2022~2023学年内蒙古巴彦淖尔临河区衡越实验中学高二下学期期末文科数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年内蒙古巴彦淖尔临河区衡越实验中学高二下学期期末文科
数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3、已知函数 ，则 （ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
4、已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知 ，则 （ ）
A.－3
B.
C.3
D.
6、函数 （ ， ， ）的部分图像如图，则（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7、如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以
下数据：两个山头的海拔高度 ，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角
为 ，N点的人仰角为 ，以及 ， 则M，N间的距离为（ ）
A.
B.120m
C.
D.200m
8、已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A.
B.
C.3
D.5
9、记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 的最小值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
10、如图，在长方体 中，若E，F，G，H分别是棱 ， ， ， 上的动点，
且 ，则必有（ ）
A.
B.
C.平面 平面EFGH
D.平面 平面EFGH
11、函数 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知函数 若函数 有四个不同的零点，则实数 的取值范围为
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在复平面内，复数 所对应的点为 ，则 ．
14、已知函数 定义域为 ，则函数 的定义域为 .
15、点P圆 上，点 在直线 上，O坐标原点，且 ，则点 的横
坐标的取值范围为 ．
16、已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，过点 作斜率为 的直线交C
右支于M，N两点，且 .写出C的一条渐近线方程 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
设集合 ,
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
18、（本小题8分）
2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩．某平台为了解观
众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取200人进行调
查，其中“好评”的占55%，数据如下表所示（单位：人）：
好评 差评 合计
男性 30
女性 30
合计 200
(1)根据所给数据，完成上面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关？
(2)从抽取的200人中所有给出“差评”的观众中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中任选两 人，求
这两人中至少有一人是女性的概率．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19、（本小题8分）
在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为矩形， 为棱 的中点， 与 交于点
为 的重心.
(1)求证： 平面 ；
(2)已知 ， ，若 与平面 所成角的正切值为 ，求 到平面 的距离.
20、（本小题10分）
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求 实数 的范围.
21、（本小题12分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，斜率不为0的直线 过点 ，与椭圆交于
两点，当直线 垂直于 轴时， ，椭圆的离心率 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原点为极点， 轴非负半
轴为极轴的极坐标系下，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求 的普通方程和 的直角坐标方程；
(2)已知点 ，若直线 与曲线 相交 于A，B两点，求 的值.
23、（本小题12分）
已知函数
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最大值为 ，且正数 ， 满足 ，求 的最小值．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
集合 ，
则 ，
因此正确答案为：B
2、
【答 案】
B
【分析】
利用全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】
命题“ ， ”为全称量词命题，该命题的否定为“ ， ”.
故选：B.
3、
【答 案】
D
【分析】
通过题意可得 ，
因此正确答案为：D.
4、
【答 案】
D
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性，找到中间值 和 进行辅助判断.
【详解】
根据指数 函数 在 上递增可得， ；
根据对数函数 在 上递增可得， ，
根据指数函数 在 上递减和值域可得， ，
∴ .
故选：D
5、
【答 案】
B
【分析】
因为 ，
所以
.
因此正确答案为：B.
6、
【答 案】
B
【分析】
根据图象求得周期，则得到 ，再代入点 ，结合 的范围即可得到 值.
【详解】
由题意可知，函数的周期为 ， ，则 ；
函数的图象经过 ，所以 ， ，
， ．因为 ，所以当 时， ．
故选：B．
7、
【答 案】
A
【分析】
通过题意，可得 ，
且 ，
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 .
因此正确答案为：A.
8、
【答 案】
D
【分析】
因为 ， ，且 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，所以 .
因此正确答案为：D.
9、
【答 案】
A
【分析】
设公差为 ，则 ，
解得 ，
，
所以当 时， 取得最小值 ．
故选：A．
10、
【答 案】
B
【分析】
若点 与 重合，点 与点 重合，
则 与 的夹角便是 与 的夹角，显然 与 的夹角不是 ，
所以 错误，A有误；
当 与 重合时，由 可得 ，
当 与 不重合时，
因为 ， 平 面 ， \n 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ，又 ，
所以 ，B无误；
当平面 与平面 重合时，平面 与平面 不垂直，C有误；
当 与 重合时，平面 与平面 相交，D有误.
因此正确答案为；B.
11、
【答 案】
A
【分析】
，则 ，排除BC；
当 趋近 时， 趋近 ，排除D.
因此正确答案为：A.
12、
【答 案】
A
【分析】
通过题意，函数 有四个不同的零点，即 有四个解，
转化为函数 与 图象由四个交点，
由函数函数 可知，
当 时，函数为 单调递减函数， ；
当 时，函数为单调递增函数， ；
当 时，函数为单调递减函数， ；
当 时，函数为单调递增函数， ；
结合图象，可知实数 的取值范围为 .
因此正确答案为：A
二、填空题
13、
【答 案】
【分析】
通过题意可知 i ，所以 i i ，
因此正确答案为：
14、
【答案 】
ee e2e
【分析】
根据抽象函数定义域先求解函数 ，再解对数式不等式，可得函数 的定义域.
【详解】
因为函数 定义域为 ，由 得
定义域为
e 2e
则函数 的定义域满足 ，解得e e
e 2e
定义域为 e e .
e 2e
故答案为： e e .
15、
【答案 】
【分析】
因为点 在直线 上，
故设点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即点 在圆 上，
又点 在圆 上，
所以两圆有交点，
又圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以点 的横坐标的取值范围为 .
因此正确答案为： .
16、
【答 案】
（答案不唯一）
【分析】
易知，过点 斜率为 的直线方程为 ，
如下图所示，当点M在第一象限，点N在第四象限时，
因为 ，所以 ，
作 轴，垂足为H，记 ，则 ，即 ，
代入 ，得 ，
所以 ，所以 ， ，
将点N坐标代入双曲线方程得 ，
整理得 ，即 ，
两边同时除以 得 ，
因式分解得 ， ，则 ，所以 ，
故 ，渐近线方程为
易知，当点N在第一象限，点M在第四象限时，点N坐标为
代入双曲线方程得
整理得 ，即 ，
两边同时除以 得 ，
因式分解可得 ， ，则 ，所以 ，
故 ，渐近线方程为 ，
因此正确答案为： （合理即可）
三、解答题
17、
【答 案】
(1) ;
(2) .
【分析】
（1）当 时， ， ；
（2） ，
当 时，满足题意，此时 ＞ ，解得 ＜ ；
当 时， 解得 ，
实数m的取值范围为 .
18、
【答 案】
(1)列联表见解析，有99.9%的把握
(2)
【分析】
（1）“好评”的人数为 ，
则列联表如下图所示：
好评 差评 合计
男性 80 30 110
女性 30 60 90
合计 110 90 200
，
所以有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关；
（2）男性有 人，设为 ，
女性有 人，设为 ，
则从这6人中任选两人，
有 共 种，
其中与题意相符的有 种，
所以所求概率 .
19、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）证明：延长 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 与 相似，
所以 ，
因为 为 的重心，所以 ，
所以 ，所以 与 相似，
所以 ，
所以 ，
又 平面 ， \n 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：连接 ，则 ，
因为 平面 ，且 ， 平面 ，
所以 ， ，
所以 ， ;
又 ， ， 平面 ，所以 平面 .
连接 ，则 为 与平面 所成的角，且 ，
因为 ， ，四边形 是矩形，
易求 ，
又 与平面 所成角的正切值为 ，
因为 ，所以 ,
所以 ，
设 到平面 的距离为 ，则 ,
由条件知 ，所以 ，
所以 ，即点 到平面 的距离为 .
20、
【答 案】
(1)答案见解析
(2)
【分析】
（1） 的定义域为 ，
当 ，即 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数；
当 ，即 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
所以 在 和 上是增函数，在 上是减函数，
当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上是增函数；
当 ，即 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
在 和 上是增函数，在 上是减函数
（2）（方法一）由（1）知，当 时， ，
要使 恒成立，只需 ，即 ，可得 .
当 时，注意到 ，与题意不相符，故 ，即实数 的取值范围为 .
（方法二）由 ，可得 .构造函数 ，
，易知 ，
所以 .令 ，则 .
令 ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
易知 在 上是减函数，在 上是增函数， 所以 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数， ，
由 ，得 ，故实数 的取值范围为 .
21、
【答 案】
(1)
(2)存在，
【分析】
（1）根据椭圆离心率、通径长、 列方程即可求得 的值，从而求得椭圆方程；
（2）设 ， ， ，直线 ，联立直线与椭圆得交点坐标关系， 利用数量积的
坐标运算，检验 是否为定值.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为 ，则 ，①
将 代入椭圆方程得： ，解得 ，所以 ，②
又 ，③
综合①②③解得： ， ， ，
所以椭圆M的方程为 ．
（2）存在．
设 ， ， ，直线 ，
联立方程： ，得 ，
所以 ， ，
， ，
，
当 ，即 时， 为定值 ，
所以存在点 ，使得 为定值．
22、
【答案 】
(1) ;
(2)5.
【分析】
（1）直线 的参数方程消去参数，能求出直线 的直角坐标方程；由曲线 的极坐标方程，能求出曲线 的直角
坐标方程．
（2）将直线 的参数方程代入曲线 的方程，利用韦达定理由此能求出 的值．
【详解】
（1） 直线 的参数方程为 （ 为参数），
直线 的直角坐标方程为 ．
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）将直线 的参数方程为 （ 为参数）代入曲线 的方程，得：
，
，
．
23、
【答案 】
(1)
(2)3
【分析】
（1）当 时，不等式转化为 ，恒成立．
当 时，不等式转化为 ，解得 ．
当 时，不等式转化为 ，无解．
综上所述，不等式 的解集为 ．
（2）由 ， 得 ．
，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为3．