2022~2023学年内蒙古包头高二上学期期末数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年内蒙古包头高二上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、命题“ ， ”的否定是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
2、抛物线 的焦点坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知a， ，则“ ”是方程“ 表示圆”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4、长方体 中， 、 分别为棱 、 中点，则 、 两点
的距离为（ ）
A.
B.
C.3
D.
5、P是椭圆 上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且
，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知圆 与圆 交于 、 两点，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
7、若实数m满足 ，则曲线 与曲线 的（ ）
A.离心率相等
B.焦距相等
C.实轴长相等
D.虛轴长相等
8、已知点 满足方程 ，点 ．若 斜
率为 斜率为 ，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
9、如图，平行六面体 所有棱长都为1，底面 为正方形，
．则对角线 的长度为（ ）
A.
B.
C.2
D.
10、 、 是双曲线 上关于原点 对称的两点， 、 是左、右焦点．若 ，则四边
形 的面积是（ ）
A.
B.3
C.4
D.6
11、已知命题 ：椭圆 的离心率为 ，若 ，则 ；命题 ：双曲线
的两条渐近线的夹角为 ，使 ．下列命题正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知椭圆 ，直线 依次交 轴、椭圆 、 轴于点 、 、 、 四点．若
，且直线 斜率 ．则椭圆 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、抛物线 上一点M到x轴的距离为6，则点M到抛物线焦点的距离为 ．
14、在平面直角坐标系中，过 作圆O： 的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程
为 ．
15、设 、 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第二象限．若 为等腰三角形，则
点 的坐标为 ．
16、在平面直角坐标系中， ．以下各曲线中，存在两个不同的点 、 ，使得 且
的曲线有 ．（请将所有符合要求的曲线方程序号写在横线上）
① ；② ；③ ；④ ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
已知圆C过 ， ，且圆心C在直线l： 上．经过点 的直线m交圆C于P、Q两
点．
(1)求 圆C的标准方程；
(2)若 ，求直线 m的方程．
18、（本小题8分）
抛物线 的准线被圆 截得的弦长为 ．
(1)求 的值；
(2)过点 的直线交抛物线于点 ，证明：以 为直径的圆过原点 ．
19、（本小题8分）
如图1、2，已知圆 方程为 ，点 ．M是圆 上动点，线段 的垂直平分线交直线
于点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)记点 的轨迹为曲线 ，过点 是否存在一条直线 ，使得直线 与曲线 交于两点 、 ，且 是线段
中点．
20、（本小题10分）
如图，已知四棱锥 中， 是正方形， 平面 ，点 、 分别是棱 、对角线 上
的动点（不是端点），满足 ．
(1)证明： ∥平面 ；
(2)求 、 距离的最小值， 并求此时二面角 的正弦值．
21、（本小题12分）
已知椭圆 左右焦点分别为 、 ，离心率为 ．斜率为 的直线 （不过原
点）交椭圆于两点 、 ，当直线 过 时， 周长为8．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 、 斜率分别为 、 ，且 、 、 依次成等比数列，求 的值，并求当 面积为 时，直
线 的方程．
22、（本小题12分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x轴
正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为 ．
(1)当 时，求曲线C与x轴交点的直角坐标；
(2)直线l与曲线C有唯一公共点，求实数m的值．
23、（本小题12分）
已知x、y、z均为正实数，且 ．
(1)求 的最大值；
(2)若 ，证明： ．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”.故选：A
2、
【答 案】
C
【分析】
由抛物线的标准方程可知：
抛物线 的开口向左， 焦点在 轴负半轴上，
且 ，所以 ， ，
所以焦点坐标为 .
因此正确答案为：C
3、
【答 案】
A
【分析】
由 可化为 ，
当 时， ， 表示圆 ，
当 表示圆时， ，推不出 ，
所以“ ”是方程“ 表示圆”的充分不必要条 件，
因此正确答案为：A
4、
【答 案】
D
【分析】
连接 ，利用两次勾股定理求解.
【详解】
连接 ，
在 中， ，
. 在 中，
故选：D.
5、
【答 案】
C
【分析】
设 为椭圆的右焦点，连接 ，
因为M是线段PF的中点， 为 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为椭圆标准方程为 ，所以 ，
又由椭圆的定义，有 ，所以 ，
因此正确答案为：C
6、
【答 案】
B
【分析】
由题意知，圆 与圆 相交，且公共弦 所在直线方程为
.
又圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
由弦长公式得 .故选：B.
7、
【答 案】
B
【分析】
因为 ，所以 ，
所以曲线 与曲线 都是焦点在 轴上的双曲线，
，
所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B无 误；
因为 ，所以离心率不相等，故A有误；
因为 ，所以实轴长不相等，故C有误；
因为 ，所以虛轴长不相等，故D有误.
因此正确答案为：B.
8、
【答 案】
A
【分析】
设 ，根据题意分析可知点 在以 为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解.
【详解】
设 ，
则 ，可得 ，
即点 在以 为焦点的椭圆上，且 ，
所以点 的轨迹为 ，整理得 ，
由题意可知： ，
所以 .
故选：A.
9、
【答 案】
B
【分析】
利用基底法求解即可.
【详解】
由题知 ，
所以
，
所以 ，即 .
故选：B.
10、
【答案 】
D
【分析】
解：由 可知 ， ，所以 ，
因为 ， 是 上关于原点对称的两点，且 ，所以四边形 为矩形，
设 ， ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以四边形 的面积 ．
因此正确答案为：D．
11、
【答 案】
C
【分析】
根据椭圆的离心率判断命题 的真假性，根据双曲线的渐近线判断命题 的真假性，进而根据逻辑连接词逐项分
析判断.
【详解】
对于命题 ：若 ，可知： ，所以命题 为假命题；
对于命题 ：双曲线的渐近线为 ，若 ，则 ，所以命题 为真命题；
可知： ， ， 为假命题， 为真命题，
所以A、B、D错误，C正确,
故选：C.
12、
【答 案】
D
【分析】
根据题意分析可知： 的中点即为弦 的中点，利用点差法运算求解.
【详解】
设直线 ： ，可得 ，
设 的中点为 ，连接OM，则 ， ，
因为 ，则 ，即 为弦 的中点，
设 ，则 ，
因为 ，
可得 ，两式相减得 ，
整理得 ，可得 ，
即 ，可得 ，
所以椭圆 的离心率为 .
故选：D.
二、填空题
13、
【答 案】
10
【分析】
因为抛物线 上一点M到x轴的距离为6，
所以 ，则 ，
所以点M到抛物线焦点的距离为 .
因此正确答案为：
14、
【答 案】
【分析】
由切线的性质可知， ，
故 四点共圆，且 为直径，
由 中点为 ， ,
所以 在圆 上，
即 ，
两圆方程相减可得，公共弦 的方程为 .
因此正确答案为：
15、
【答 案】
【分析】
先根据方程求 ，由题意分析可得 ，列方程求解即可.
【详解】
由题意可知： ，
设 ，
因为 为 上一点且在第二象限，则 ， ，
又因为 为等腰三角形，且 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以点 的坐标为 .
故答案为： ,
16、
【答案 】
①③
【分析】
根据题意可知：曲线与直线 有两个不同的交点，对于①：利用直线 过点 ，分析判断；对于
②：根据直线与圆的位置关系分析判断；对于③：联立方程求交点坐标，进而分析判断；对于④：结合双曲线
的渐近线分析判断.
【详解】
因为 的中点为 ，斜率 ，
所以中垂线的斜率 ，方程为 ，即 ，
由题意可知：曲线与直线 有两个不同的交点，
对于①：直线 过点 ，且 在曲线 内，
所以曲线 与直线 有两个不同的交点，故①正确；
对于②：曲线 的圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
所以曲线 与直线 相切，只有一个交点，故②错误；
对于③：联立方程 ，解得 或 ，
所以曲线 与直线 有两个不同的交点 ，故③正确；
对于④：令 ，解得 ，
即 为 的渐近线，两者没 有交点，故④错误；
故答案为：①③.
三、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2) 或
【分析】
（1）因为 ， ，
所以 ，线段 中点的坐标为 ，
所以直线AB的垂直平分线的斜率为 ，其方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ，则 ，
又圆C半径 ，
所以圆C的标准方程为 ．
2 （ ）因为 ， ，
所以在 中， ，则圆心C到直线m的距离为 ，
当直线m的斜率不存在时，直线m方程为 ，此时C到直线m距离为2，满足题意；
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以直线m的方程为 ，即 ，
综上可得，直线m方程为 或 ．
18、
【答 案】
(1)
(2)证明见 解析
【分析】
（1）根据题意结合垂径定理可得 到准线距离为 ，进而可得抛物线的方程；
（2）联立方程，利用韦达定理证明 即可.
【详解】
（1）圆 ，即 ，圆心 ，半径为2，
则 到准线距离为 ，所以准线方程为 ，可得 ，
所以抛物线标准方程为 ．
（2）设直线 方程为 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，可得 ，
又因为 ，
则 ，
可得 ，即以线段 为直径的圆过点 ．
19、
【答案 】
(1)
(2)不存在这样的直线
【分析】
（1）根据双曲线的定义求得点 的轨迹方程.
（2）利用点差法求得直线 的方程，联立直 线 的方程和点 的轨迹方程联立，根据方程组无解求得正确
答案.
【详解 】
（1）由中 垂线性质知，
所以
所以点 的轨迹是以 、 为焦点，实轴长为 的双曲线
设此双曲线方程为 ，则
所以点 的轨迹方程为 ．
（2）设 可得
两式相减得
由题意 ，所以
直线 方程为 ，
由 ，得
∵ ．∴不存在这样的直线 ．
20、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)最小值为2；正弦值为
【分析】
（1）作 交 于 ，作 交 于 ，根据题意结合平行线的性质可证 ，进而可得结
果；
（2）建系，利用空间向量可知当 是 中点时， 取到最小值，进而利用空间向量求二面角.
【详解】
（1）作 交 于 ，则 ，可得 ，
作 交 于 ，连接 ，则 ，可得 ，
在直角三角形 和 中，因为 ，
所以 ≌ ．则 ，
且 ，可得 ，
因为 ，则 ，所以 四边形 是平行四边形，
可得 ，且 平面 平面 ，
所以 ∥平面 ．
（2）因为 平面 是正方形．所以以 为原点，
分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
可得 ，当 ，即 是 中点时， 的最小值为2，
此时 ，可得 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
平面 的一个法向量 ，
所以 ，
设二面角 的平面角为 ，可知 为锐角， ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 ．
21、
【答 案】
(1) ；
(2) ； 或 .
【分析】
（1）根据 的周长为 求出 ，再根据离心率求出 ，从而求出椭圆方程.
（2）设出直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，借助韦达定理表 示出 、 、 依次
成等比数列，进而求出 的值；再利用弦长公式和点到直线距离公式表示出 的面积，求解即可得到 的
值，从而得到直线 的方程.
【详解】
（1）由题意， ，解得 ，所以 .
故椭圆 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立得， ，
且 ，
所以 ．
由题意， ，故 .
.
此时， ，
.
又点O到直线 的距离 ，故三角形 的面积 ,
解得 或 ，
所以直线l方程为 或 .
22、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1） ，得
所以曲线C与x轴交点得坐标为 ；
（2） ，
得 ，即 为直线l的方程，
曲线C的普通方程为 ，
方程 与 联立得 ，
得 ．
23、
【答 案】
(1)3
(2)证 明见解析
【分析】
（1）因为 ，所以 ，
又x、y、z均为正实数，
由柯西不等式有 ，
所以 ，当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为3.
（2）因为 ， ， ， ，
由（1）得 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 ，所以 ，即 ．