2022~2023学年内蒙古包头青山区包头市第四中学高二上学期期末理科数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年内蒙古包头青山区包头市第四中学高二上学期期末理科数
学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、抛物线 的准线方程为
A.
B.
C.
D.
2、设 ，则“ ”是“ ”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.不充分也不必要条件
3、直线 + 与圆 相切，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知方程 表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A.“ ”是“ ”的充分不必要条件
B.命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”
C.若命题 ，使得 ，则 ，均有
D.若 为假命题，则 、 均为假命题
6、已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上有一动点 ， ，则 的最小值为
（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
7、如图， 是 的重心， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
8、泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村
汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均
没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上 信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A.甲走桃花峪登山线路
B.乙走红门盘道徒步线路
C.丙走桃花峪登山线路
D.甲走天烛峰登山线路
9、若直线 和圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆 的交点个数为
（ ）
A.2个
B.至少一个
C.1个
D.0个
10、过圆 ： 上的点 作圆 ： 的切线，切点为 ，则切线段 长的最
大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11、已知椭圆 ： 与双曲线 ： 有相同的焦点 、
，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点P为椭圆 与双曲线 的交点，且 ，则
的最大值为（ ）
e e
A.
B.
C.
D.
12、已知椭圆C的焦点为 ， ，过F2的直线与C交于A，B两点.若│ │ │ │，
│ │ │ │，则C的方程为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、圆 ： 与圆 ： 的公切线条数为 .
14、若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 ．
15、已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线过 且与抛物线交于 ， 两点， 为坐标原
点，若 在第一象限，那么 ．
16、已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别
交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
已知双曲线 与 有相同的焦点，且经过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交 于 两点，且 的中点坐标为 ，求直线 的斜率.
18、（本小题8分）
已知正四棱柱 ，E为 中点，F为 中点．
(1)证明： 为 与 的公垂线；
(2)求点 到面 的距离．
19、（本小题8分）
如图，在直角梯形ABCD中，AB DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得
点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).
（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值 ？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.
20、（本小题10分）
已知椭圆 ，点 、 都在 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 ， 、 是椭 圆 上不同于 、 的两点，若直线 的斜率等于直线 的斜率的 倍，设直线
的斜率为 ，求四边形 的面积.
21、（本小题12分）
已知抛物线 的准线过椭圆 的左焦点,且椭圆 的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.
(1)求椭圆 的方程;
(2)直线 交椭圆 于 两点,点 在线段 上移动,连接 交椭圆于 两点,过 作 的垂线交 轴于
,求 面积的最小值.
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 \begin{cases} x=2+t\\ y=\sqrt{3}\left(1+t\right) \end{cases} \left(t 为参
数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)直线 与 轴交于点 ，与曲线 交于 ， 两点，求 ．
23、（本小题12分）
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）设 ，且 的最小值是 ，若 ，求 的最小值.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
，
抛物线 的准线方程为 ，
即 ，因此正确答案为A .
2、
【答 案】
B
【分析】
由 可得 ，由 可得 所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件
故选：B
3、
【答 案】
D
【分析】
通过题意圆标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径为1，
所以 ，解得 ．
因此正确答案为：D．
4、
【答 案】
B
【分析】
由于方程 表示椭圆，
所以 .
因此正确答案为：B
5、
【答 案】
D
【分析】
A选项， 的解为 或2，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，A无误；
B选项，命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”，B无误；
C选项，特称命题的否定为全称命题，C无误；
D选项，若 为假命题，则 、 中至少有一个 为假命题.
因此正确答案为：D
6、
【答 案】
C
【分析】
解：抛物线 ： 的焦点为 ，准线 的方程为 ，
如下图所示，过 作 于 ，
由抛物线的定义可知 ，所以
则当 三点共线时， 最小为 .
所以 的最小值为 .
因此正确答案为：C.
7、
【答 案】
D
【分析】
根据向量的线性运算的定义及重心的性质可得 ，利用 表示 可得结论.
【详解】
是 的重心， ，
， ，
， ， ，
，
．
故选：D．
8、
【答 案】
D
【分析】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙
走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走 天烛峰登山线路”正确.乙的
话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘 道徒步线路
因此正确答案为D
9、
【答 案】
A
【分析】
直线 和圆 没有交点， 直线与圆相离，圆心 ，半径
，即
点 在以原点为圆心，半径为2的圆内，
又椭圆 短轴长为4， 圆 =2内切于椭圆， 点 在椭圆内，
则过点 的直线与椭圆 的交点个数为2个.
因此正确答案为：A.
10、
【答 案】
C
【分析】
解：因为 ， ，
所以 ，即切线段 长的最大值为 ．
因此正确答案为：C．
11、
【答 案】
B
【分析】
不妨设点 为第一象限的交点，则
由椭圆的定义可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
所以 ，
因此 ，即 ，
所以 ，即 ，令
因此 ，其中 ，
e e
所以当 时， 有最大值，最大值为 ，
e e
因此正确答案为：B.
12、
【答 案】
B
【分析】法一：如下图所示，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 中，由余弦定理推论得
．在 中，由余弦定理得 ，解得
．
所求椭圆方程为 ，因此正确答
案为B．
法二：由 已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 和 中，由余弦定理得
，又 互补，
，两式消去 ，得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，因此正确答
案为B．
二、填空题
13、
【答案 】
3
【分析】
圆 ： ，圆心 ，半径 ；圆 ：
，圆心 ，半径 .因为 ，所以两圆外切，所
以两圆的公切线条数为 故答案为：3
14、
【答 案】
【分析】
解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，
所以圆心为 ，半径 ，
依题意，圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
15、
【答 案】
2
【分析】
由题得 , .
因为 .
所以 ,
过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作 于点E,
设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，
所以|AE|=n-m，因为 ,
所以|AB|=3(n-m)，
所以3(n-m)=n+m，
所以 .
所以 = .
因此正确答案为：2
16、
【答 案】
2.
【分析】如下图所示，
由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即 由
，得 则 有 ，
又OA与OB都是渐近线，得 又 ，得
．又渐近线OB的斜率为 ，所以该双曲线的离心率为
．
三、解答题
17、
【答 案】
(1)
(2)1
【分析】
（1）由 的焦点坐标为 ， ， ，
由双曲线 与 有相同的焦点
所以双曲线 的焦点坐标为 ， ， ，
故 ，
在双曲线中： ①
又双曲线 经过点
所以 ②
解得：
所以双曲线 的方程为：
（2）通过题意分析可以得直线斜率存在且不为0，
设直线 的方程为：
由直线 与双曲线 交于 两点 ，设
所以 消去 整理得：
所以
所以
由 的中点坐标为
所以
所以 .
18、
【答案 】
(1)见解析
(2)
【分析】
（1）证明：如下图所示，以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
即 为 与 的公垂线 ；
（2）解： ，
设平面 的法向量 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以点 到面 的距离为 .
19、
【答 案】
（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.
【分析】
解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC 平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM 平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，
EM 平面EMN，
故平面EMN⊥平面 PBC；
（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值 .
以E为原点， ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
， ， ，
设平面EMN的法向量为 ，
由 ，令 ，得 ，
平面BEN的一个法向量为 ， ， ，
故 ，
解得：m=1，
故存在N为BC 的中点.
20、
【答案 】
（1） ；（2） .
【分析】
.
（1）通过题意可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 或 ，即点 ，
通过题意可知，直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，解得 或 ，即点 ，
因此，四边形 的面积为 四边形 .
21、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）解:通过题意分析可以得抛物线的准线为 ,
,
因为椭圆 的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,
,
故椭圆的标准方程为: ;
（2）由(1)得椭圆的方程为 ,
的垂线交 轴于 ,
的斜率存在,
连接 交椭圆于 两点,
的斜率不为0,
不妨设 ,
则 ,
联立 ,
即 ,
,
,
设 ,
,
,
解得: ,
到直线 的距离为: ,
,
当且仅当 ,即 时取等,
故 面积的最小值为 .
22、
【答案 】
(1) ，
(2)
【分析】
（1）直线 的参数方程为 ，消去参数 ，可得 ，即 ；
曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
化为直角坐标方程是 ，即 ；
所以直线 的普通方程是 ，
曲线 的直角坐标方程为 ；
2 （ ）令 ，得直线 与 轴交于点 ，
把直线 的参数方程化为 \begin{cases} x=\frac{1}{2} m\\ y=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}m \end{cases} \left(m 为参
数），代入 ，
得到 ，
故 ， ；
所以 ．
23、
【答案 】
（1） ；（2） + .
【分析】
（1）当 时，函数 ，
由 ，可得 ，
当 时，不等式可化为 ，解得 ；
当 时，不等式可化为 ，解得 ；
当 时，不等式可化为 ，解得 ，
综上所述不等式的解集为 .
（2）由 ，所以 ，
又由 ， ，即 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴ 的最小值为 .