初中数学人教版八年级下册18.2.2.2 菱形的判定 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级下册18.2.2.2 菱形的判定 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 161.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-31 11:03:04 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
一、选择题
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( )
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线互相平分且相等
2.在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
3.在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是( )
A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量四条边是否相等
4．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是( )
A．AD＝BC B．AC＝BD C．AB＝CD D．AD＝CD
6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( )
A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB＝AC D.BF∥CE
二、填空题
7.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD.请你添加一个适当的条件 ，使四边形ABCD成为菱形.
8.如图，聪聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点C，D，则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 .(填“矩形”“菱形”或“正方形”)
9.如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则 ABCD的周长为 .
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BG，DH分别平分∠ABC，∠ADC，交AD，BC于点G，H.要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为 .
11.如图，A，B两点的坐标分别为(5，0)，(1，3)，C是平面直角坐标系内一点.若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为 .
12.在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(6，0)，点C在第一象限，且AC＝BC＝6.若存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_________________________________.
三、解答题
13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.
14.如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点.将△CDE绕点E旋转180°得到△AFE.试判断四边形ABDF的形状，并证明.
15.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，四边形ABFD是平行四边形，DF交BC于点E，连接AE，CF，CF＝BF.
(1)求证：△ADE≌△FCD.
(2)连接DB交AE于点G，连接CG，若AG＝DC.求证：四边形BFCG是菱形.
16.如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB.
(1)四边形ADPE的周长为 .(用含a的式子表示)
(2)当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？请说明理由.
(3)如果△ABC不是等腰三角形，如图2，其他条件不变，当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？(不必说明理由)
图1 图2
17.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
1
参考答案
一、选择题
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( C )
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线互相平分且相等
2.在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( C )
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
3.在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是( D )
A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量四条边是否相等
4．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( B )
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是( A )
A．AD＝BC B．AC＝BD C．AB＝CD D．AD＝CD
6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( C )
A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB＝AC D.BF∥CE
二、填空题
7.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD.请你添加一个适当的条件 ，使四边形ABCD成为菱形.
【答案】 OA＝OC(答案不唯一，合理即可)
8.如图，聪聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点C，D，则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 .(填“矩形”“菱形”或“正方形”)
【答案】菱形
9.如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则 ABCD的周长为 .
【答案】12
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BG，DH分别平分∠ABC，∠ADC，交AD，BC于点G，H.要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为 .
【答案】1＋
11.如图，A，B两点的坐标分别为(5，0)，(1，3)，C是平面直角坐标系内一点.若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为 .
【答案】(－4，3)
12.在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(6，0)，点C在第一象限，且AC＝BC＝6.若存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_________________________________.
【答案】(9，3)
三、解答题
13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.
证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.
由题可知OB＝OD，MN⊥BD.
易证△MOD≌△NOB，∴OM＝ON，
∴四边形BNDM是平行四边形.
∵MN⊥BD，∴平行四边形BNDM是菱形.
14.如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点.将△CDE绕点E旋转180°得到△AFE.试判断四边形ABDF的形状，并证明.
解：四边形ABDF是菱形.
证明：由旋转的性质知EF＝DE，AF＝CD.
∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴BD＝CD，AB＝2DE＝DF.
∵BC＝2AB，∴BD＝DF＝AF＝AB，
∴四边形ABDF是菱形.
15.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，四边形ABFD是平行四边形，DF交BC于点E，连接AE，CF，CF＝BF.
(1)求证：△ADE≌△FCD.
(2)连接DB交AE于点G，连接CG，若AG＝DC.求证：四边形BFCG是菱形.
证明：(1)证明略.
(2)由(1)知∠AED＝∠FDC，∴AG∥DC.
∵AG＝DC，∴四边形AGCD是平行四边形，
∴CG∥DA，CG＝DA.
∵BF∥DA，BF＝DA，∴CG∥BF，CG＝BF，
∴四边形BFCG是平行四边形.
∵CF＝BF，∴四边形BFCG是菱形.
16.如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB.
(1)四边形ADPE的周长为 .(用含a的式子表示)
(2)当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？请说明理由.
(3)如果△ABC不是等腰三角形，如图2，其他条件不变，当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？(不必说明理由)
图1 图2
解：(1)2a
(2)当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形.
理由略.
(3)点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱形.
17.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
(1)证明：根据折叠，∠DBC＝∠DBE, 又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形；
(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FB∥DG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形； ②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴OB＝BD＝5.假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.∴在直角△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝，即BF＝，∴FO＝＝＝，∴FG＝2FO＝.
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
一、选择题
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( )
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线互相平分且相等
2.在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
3.在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是( )
A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量四条边是否相等
4．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是( )
A．AD＝BC B．AC＝BD C．AB＝CD D．AD＝CD
6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( )
A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB＝AC D.BF∥CE
二、填空题
7.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD.请你添加一个适当的条件 ，使四边形ABCD成为菱形.
8.如图，聪聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点C，D，则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 .(填“矩形”“菱形”或“正方形”)
9.如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则 ABCD的周长为 .
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BG，DH分别平分∠ABC，∠ADC，交AD，BC于点G，H.要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为 .
11.如图，A，B两点的坐标分别为(5，0)，(1，3)，C是平面直角坐标系内一点.若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为 .
12.在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(6，0)，点C在第一象限，且AC＝BC＝6.若存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_________________________________.
三、解答题
13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.
14.如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点.将△CDE绕点E旋转180°得到△AFE.试判断四边形ABDF的形状，并证明.
15.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，四边形ABFD是平行四边形，DF交BC于点E，连接AE，CF，CF＝BF.
(1)求证：△ADE≌△FCD.
(2)连接DB交AE于点G，连接CG，若AG＝DC.求证：四边形BFCG是菱形.
16.如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB.
(1)四边形ADPE的周长为 .(用含a的式子表示)
(2)当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？请说明理由.
(3)如果△ABC不是等腰三角形，如图2，其他条件不变，当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？(不必说明理由)
图1 图2
17.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
1
参考答案
一、选择题
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( C )
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线互相平分且相等
2.在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( C )
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
3.在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是( D )
A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量四条边是否相等
4．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( B )
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是( A )
A．AD＝BC B．AC＝BD C．AB＝CD D．AD＝CD
6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( C )
A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB＝AC D.BF∥CE
二、填空题
7.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD.请你添加一个适当的条件 ，使四边形ABCD成为菱形.
【答案】 OA＝OC(答案不唯一，合理即可)
8.如图，聪聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点C，D，则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 .(填“矩形”“菱形”或“正方形”)
【答案】菱形
9.如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则 ABCD的周长为 .
【答案】12
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BG，DH分别平分∠ABC，∠ADC，交AD，BC于点G，H.要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为 .
【答案】1＋
11.如图，A，B两点的坐标分别为(5，0)，(1，3)，C是平面直角坐标系内一点.若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为 .
【答案】(－4，3)
12.在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(6，0)，点C在第一象限，且AC＝BC＝6.若存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_________________________________.
【答案】(9，3)
三、解答题
13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.
证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.
由题可知OB＝OD，MN⊥BD.
易证△MOD≌△NOB，∴OM＝ON，
∴四边形BNDM是平行四边形.
∵MN⊥BD，∴平行四边形BNDM是菱形.
14.如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点.将△CDE绕点E旋转180°得到△AFE.试判断四边形ABDF的形状，并证明.
解：四边形ABDF是菱形.
证明：由旋转的性质知EF＝DE，AF＝CD.
∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴BD＝CD，AB＝2DE＝DF.
∵BC＝2AB，∴BD＝DF＝AF＝AB，
∴四边形ABDF是菱形.
15.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，四边形ABFD是平行四边形，DF交BC于点E，连接AE，CF，CF＝BF.
(1)求证：△ADE≌△FCD.
(2)连接DB交AE于点G，连接CG，若AG＝DC.求证：四边形BFCG是菱形.
证明：(1)证明略.
(2)由(1)知∠AED＝∠FDC，∴AG∥DC.
∵AG＝DC，∴四边形AGCD是平行四边形，
∴CG∥DA，CG＝DA.
∵BF∥DA，BF＝DA，∴CG∥BF，CG＝BF，
∴四边形BFCG是平行四边形.
∵CF＝BF，∴四边形BFCG是菱形.
16.如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB.
(1)四边形ADPE的周长为 .(用含a的式子表示)
(2)当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？请说明理由.
(3)如果△ABC不是等腰三角形，如图2，其他条件不变，当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？(不必说明理由)
图1 图2
解：(1)2a
(2)当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形.
理由略.
(3)点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱形.
17.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
(1)证明：根据折叠，∠DBC＝∠DBE, 又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形；
(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FB∥DG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形； ②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴OB＝BD＝5.假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.∴在直角△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝，即BF＝，∴FO＝＝＝，∴FG＝2FO＝.