人教九年级数学上册第22章22.3实际问题与二次函数 教案

22.3实际问题与二次函数
（第1课时）
课型：新授课
教学目标
知识与技能：
1.经理探索物体运动中的最大高度等问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受数学的应用价值。
2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值），发展解决问题的能力。
过程与方法：
经理物体运动中的最大高度等问题的探究过程 ( http: / / www.21cnjy.com )，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：
体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。
教学重点：
1、探究运动中的最大高度等问题
2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数学关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值，发展解决问题的能力。
教学难点 运用二次函数解决实际问题
教学方法：讲解、归纳、讨论、分析、练习
教学过程：
一、创设问题情境，引入新课。
前面我们认识了二次函数，研究了二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的图像和性质，掌握了二次函数的表达式，首先我们来回顾二次函数的两种形式y＝a(x-h)2＋k和 y＝ax2＋bx＋c各有怎样的性质：
1．二次函数 y＝a(x-h)2＋k的图象和性质
(1)当 a>0 时，二次函数的图象(抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。
(2)当 a<0 时，二次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
(1)当 a>0 时，二次函数的图象( ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。
(2)当 a<0 时，二次函数的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。
根据上述性质你能尝试解决下面的问题吗？
1、二次函数 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
（A）开口向下，对称轴为x= –3 ，顶点坐标为（3，5），
（B）开口向下，对称轴为x= 3 ，顶点坐标为（3，5）
（C）开口向上，对称轴为x= –3 ，顶点坐标为（-3，5）
（D）开口向上，对称轴为x= 3 ，顶点坐标为（-3，5）
2、抛物线y =x2 –2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是( )
A．x =1，(1，-4) B．x =1，(1，4)
C．x=-1，(-1，4) D．x =-1，(-1，-4)
由此可以看出由二次函数的解析式可以求出相应函数的最大（小）值，这节课我们就来学习用二次函数解决实际问题。
二、新授
问题1：从地面竖直向上抛出一小球， ( http: / / www.21cnjy.com )小球的高度 h（单位： m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析：我们可以借助函数图像解决这个问题。画出函数的图像。
可以看出，这个函数的图像抛物线的一部分。这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值
因此，当 时，h有
最大值 也就是说，
小球运动的时间是 3 s 时，小球最高．
小球运动中的最大高度是 45 m．
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，
当 时，
二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
类比引入，探究问题
探究1：
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
解： ，
整理后得 （0＜l＜30）．
∴　当 时，
S 有最大值为　　　　　　 ．
当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．
归纳探究，总结方法：
1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.
三、运用新知，拓展训练 ：
问题2：为了改善小区环境，某小区决定要在一块 ( http: / / www.21cnjy.com )一边靠墙
（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿
化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如
下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为 y m 2．
　　（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出
自变量 x 的取值范围.
（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
四、课堂小结
（1） 如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？
（2） 在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？
五．布置作业
教科书习题 22.3　第 1，4，5 题．
（第2课时）
教学时间 课题 22.3　实际问题与二次函数（2） 课型 新授课
教学目标 知　识和能　力 1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
过　程方　法
情　感态　度价值观
教学重点 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式
教学难点 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式
教学准备 教师 多媒体课件 学生
课堂教学程序设计
一、复习巩固
1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式
2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函数的关系式，
(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。
答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么
[对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)]
二、范例
例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
分析：二次函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8)2＋9
由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。
请同学们完成本例的解答。
例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
解法1：设所求二次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得
解这个方程组，得： 所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5。
解法二；设所求二次函数的关系式为y ( http: / / www.21cnjy.com )＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到 解这个方程组，得：
所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。
例3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。
解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4
因为抛物线与y轴的一个交点的纵 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。
解法2：设所求二次函数的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系式为y＝ax2＋bx＋c 依题意，得解这个方程组，得： 所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4。
三、课堂练习
1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。
解法1：设所求二次函数关系式为y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到： 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3。
解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x＋3)2－1
因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得a＝
所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3．
小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。
2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。
简解：依题意，得 解得：p＝－10,q＝23
所以，所求二次函数的关系式是y＝x2－10x＋23。
四、小结
1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型
[两种类型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)]
2．如何确定二次函数的关系式
让学生回顾、思考、交流，得出：关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。