人教版八年级下册18.2.3.1　正方形的性质 同步练习(含答案)

第十八章　平行四边形
18.2.3　正方形
第1课时 正方形的性质
一、选择题
1.正方形具有而菱形不一定有的性质是( )
A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角相等 D.邻边相等
2.如图，P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为( )
A.135° B.130° C.125° D.120°
3.如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(－1，0)，点B，C，D分别在坐标轴上，则正方形的周长是( )
A.4 B.3 C.4 D.2
4.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠BED的度数为( )
A.15° B.35° C.45° D.55°
5.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为(　　)
A.8 B.10 C.2 D.8
6.如图,将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形对角线的交点,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为(　　)
…
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
7.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD上一点，且DH＝，连接GH，则GH的最小值为( )
A. B.2 C.1 D.2
二、填空题
8.如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P的度数为　 　.
9.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB＝2，则DE的长为 　 .
10.如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A'满足AA'＝，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是　 　.
11.如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设DE＝d1，点F，G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为　 　.
三、解答题
12.如图，在正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN.求证：CE⊥MN.
13.如图,正方形ABCD,G是BC边上任意一点(不与B,C重合),DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求证:AF-BF=EF.
14.如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，点E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.
(1)求证：∠DAG＝∠EGH；
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由.
15.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段PA与线段CE的数量关系，并说明理由.
1
参考答案
一、选择题
1.正方形具有而菱形不一定有的性质是( B )
A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角相等 D.邻边相等
2.如图，P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为( A )
A.135° B.130° C.125° D.120°
3.如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(－1，0)，点B，C，D分别在坐标轴上，则正方形的周长是( C )
A.4 B.3 C.4 D.2
4.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠BED的度数为( C )
A.15° B.35° C.45° D.55°
5.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为(　B　)
A.8 B.10 C.2 D.8
提示：连接BM交AC于点N(图略),此时DN+MN有最小值,且DN+MN=BM==10.
6.如图,将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形对角线的交点,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为(　C　)
…
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
7.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD上一点，且DH＝，连接GH，则GH的最小值为( C )
A. B.2 C.1 D.2
提示：连接CG.证△ADE≌△CDG，得CG⊥AC，当GH⊥CG时，GH的值最小.
二、填空题
8.如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P的度数为　 　.
【答案】　22.5°　
9.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB＝2，则DE的长为 　 .
【答案】
10.如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A'满足AA'＝，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是　 　.
【答案】4
11.如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设DE＝d1，点F，G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为　 　.
【答案】2
提示：连接AE，CG，CF，AC.易证△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∴d1＋d2＋d3＝AE＋EF＋CF，当点A，E，F，C在同一条直线上时，d1＋d2＋d3最小.
三、解答题
12.如图，在正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN.求证：CE⊥MN.
证明：过点N作NF⊥BC于点F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴NF＝CD＝BC.
易证Rt△BCE≌Rt△FNM(HL)，
∴∠CON＝∠NMF＋∠BCE＝∠NMF＋∠FNM＝90°，∴CE⊥MN.
13.如图,正方形ABCD,G是BC边上任意一点(不与B,C重合),DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求证:AF-BF=EF.
证明 ∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAF+∠DAE=90°.
∵DE⊥AG,∴∠DAE+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
又BF∥DE,∴∠BFA=∠DEG=∠AED=90°,
∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AE=BF,
∴AF-BF=AF-AE=EF.
14.如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，点E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.
(1)求证：∠DAG＝∠EGH；
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由.
解：(1)证明略.
(2)AH⊥EF.
理由：连接GC交EF于点O.
易得△ADG≌△CDG，四边形FCEG为矩形，
∴∠DAG＝∠DCG，OE＝OC，
∴∠OEC＝∠DCG＝∠DAG.
结合(1)得∠EGH＝∠OEC，
∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°，
∴∠GHE＝90°，即AH⊥EF.
15.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段PA与线段CE的数量关系，并说明理由.
解：(1)易证△ABP≌△CBP，∴PA＝PC.
∵PA＝PE，∴PC＝PE.
(2)∠CPE的度数为90°.
(3)PA＝CE.
理由：易证△EPC是等边三角形，
∴PC＝PE＝CE.
∵PA＝PE，∴PA＝CE.