人教版八年级下册18.2.3.2　正方形的判定 同步练习(含答案)

第十八章　平行四边形
18.2.3　正方形
第2课时 正方形的判定
一、选择题
1.四个角相等,四条边也相等的四边形一定是(　　) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
2.下列命题正确的是( )
A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线垂直的平行四边形是正方形
3.下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是( )
4.添加下列一个条件，不能使矩形ABCD成为正方形的是( )
A.AB＝AD B.AC⊥BD C.∠BAC＝45° D.AC＝2CD
5.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.从下列四个条件①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使 ABCD成为正方形,如图,现有下列四种选法,你认为其中错误的是(　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
6.用对折的方法证明一个四边形是正方形，则对折次数最少是( )
A.1次 B.2次 C.3次 D.4次
7.若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是( )
A.当∠ABC＝90°时，它是矩形 B.当AB＝BC时，它是菱形
C.当AC⊥BD时，它是菱形 D.当AC＝BD时，它是正方形
二、填空题
8.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，∠B＝60°，AB＝2.当边AD＝ 　时，四边形AECF是正方形.
9.如图，将长方形纸片折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原是　 　.
10.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点.当△ABC是　 三角形时，四边形DAEF是正方形.
11.如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.要使四边形EFGH是正方形，AC与BD应满足的关系是　 　.
三、解答题
12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形CEDF是正方形.
13.已知线段AB，直线l垂直平分AB且交AB于点O，以点O为圆心，OA长为半径作弧，交直线l于C，D两点，分别连接AC，AD，BC，BD.
(1)根据题意，补全图形；
(2)求证：四边形ACBD为正方形.
14.如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BE⊥EF，∠ABE＋∠CEF＝45°.
(1)求∠1＋∠2的度数；
(2)求证：四边形ABCD是正方形.
15.如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
(2)已知AE＝5，BC＝13，求BH的长．
16.如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数.
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参考答案
一、选择题
1.四个角相等,四条边也相等的四边形一定是(　A　) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
2.下列命题正确的是( C )
A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线垂直的平行四边形是正方形
3.下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是( B )
4.添加下列一个条件，不能使矩形ABCD成为正方形的是( D )
A.AB＝AD B.AC⊥BD
C.∠BAC＝45° D.AC＝2CD
5.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.从下列四个条件①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使 ABCD成为正方形,如图,现有下列四种选法,你认为其中错误的是(　B　)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
6.用对折的方法证明一个四边形是正方形，则对折次数最少是( B )
A.1次 B.2次 C.3次 D.4次
7.若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是( D )
A.当∠ABC＝90°时，它是矩形 B.当AB＝BC时，它是菱形
C.当AC⊥BD时，它是菱形 D.当AC＝BD时，它是正方形
二、填空题
8.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，∠B＝60°，AB＝2.当边AD＝ 　时，四边形AECF是正方形.
【答案】＋1
9.如图，将长方形纸片折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原是　 　.
【答案】　邻边相等的矩形是正方形　
10.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点.当△ABC是　 三角形时，四边形DAEF是正方形.
【答案】等腰直角
11.如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.要使四边形EFGH是正方形，AC与BD应满足的关系是　 　.
【答案】　AC＝BD且AC⊥BD　
三、解答题
12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形CEDF是正方形.
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形.
∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形.
13.已知线段AB，直线l垂直平分AB且交AB于点O，以点O为圆心，OA长为半径作弧，交直线l于C，D两点，分别连接AC，AD，BC，BD.
(1)根据题意，补全图形；
(2)求证：四边形ACBD为正方形.
解：(1)如图所示.
(2)∵直线l垂直平分AB，
∴OA＝OB，CD⊥AB.
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AB＝CD，∴四边形ACBD是矩形.
∵CD⊥AB，∴矩形ACBD为正方形.
14.如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，BE⊥EF，∠ABE＋∠CEF＝45°.
(1)求∠1＋∠2的度数；
(2)求证：四边形ABCD是正方形.
解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠1＝90°.
∵BE⊥EF，∴∠CEF＋∠2＝90°.
∵∠ABE＋∠CEF＝45°，
∴∠1＋∠2＝90°＋90°－45°＝135°.
(2)易知∠ACB＝180°－(∠1＋∠2)＝45°.
∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形.
15.如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
(2)已知AE＝5，BC＝13，求BH的长．
解：(1)四边形AFHE是正方形．理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°＝∠AFH，
∠DAF＝∠BAE，
又∵∠DAF＋∠FAB＝90°，
∴∠BAE＋∠FAB＝90°，∴∠FAE＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形．
(2)在Rt△ABE中，
BE＝＝＝12，
由(1)知EH＝AE，
∴BH＝BE－EH＝12－5＝7.
16.如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数.
解：(1)过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，则四边形PEQC为矩形，∴∠QEP＝90°.
∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP.
∵∠QEF＋∠FEP＝∠PED＋∠FEP＝90°，
∴∠QEF＝∠PED，
∴△EQF≌△EPD(ASA)，
∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形.
(2)在Rt△ABC中，AC＝＝2.
∵CE＝，∴AE＝CE，∴DE⊥AC，
∴点F与点C重合，∴CG＝CE＝.
(3)∠EFC的度数为120°或30°.