重庆市两江中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学模拟试题2（导数、排列组合、二项式定理）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，已知函数的图像在点处的切线为，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）
A．－1 B．0 C．－8 D．1
3. 将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A. B. C. 216 D.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7. 已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
8．，均有成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．所有可能的方法有种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11. 对于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 在处取得极大值
B. 只有一个零点
C.
D. 若在上恒成立，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
13.若的展开式中的系数为70，则实数 ．
14．已知正实数满足，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：．
16.（15分）已知函数，若曲线在处的切线方程为.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值．
17.（15分）已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）记曲线在处的切线为，求证：与有唯一公共点．
18．（17分）已知函数为自然对数的底数）.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若恒成立，求证：实数.
19.（17分）已知函数 ，．
（1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．高二下第一次月考数学模拟试题（导数、排列组合、二项式定理）
答案
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．如图，已知函数 f (x)的图像在点 P(2, f (2))处的切线为 l，则 f (2) f (2) （ ）
A． 3 B． 2 C．1 D． 2
【详解】由图像可得，切线过点 0,4 和 4,0 ，切线斜率为 k 4 0 1， f 2 1，
0 4
x y
切线方程为 1，则切点坐标为 2, 2 ，有 f 2 2，
4 4
所以 f 2 f 2 2 1 1.
故选：C.
2．已知函数 f (x) 1 x3 f (1)x2 3x 10，则 f (3) （ ）
3
A．－1 B．0 C．－8 D．1
【答案】C
1 3 2
【解析】因为函数 f x x f 1 x 3x 10，所以
3 f x x2 2 f 1 x 3，
则 f 1 1 2 f 1 3，解得 f 1 4，
f x 1 x3则 4x2 3x 10，
3
所以 f 3 1 33 4 32 3 3 10 8，故选：C
3
3. 将六位数“124057 ”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A. 152 B. 180 C. 216 D. 312
【答案】D
【详解】由题意，
1 1 4
末尾是 2或4，不同偶数个数为C2C4A4 192，
末尾是 0，不同偶数个数为A 55 120，
所以共有312个.故选：D
4．已知 (x 2)6 a0 a1(x 1) a2 (x 1)
2 a6 (x 1)
6，则 a3 （ ）
A．15 B． 15 C． 20 D． 20
【答案】B
【解析】 (x 2)6 [ 1 x 1 ]6 a0 a1 x 1 a2 (x 1)2 a6 (x 1)6，
a C3 3则 3 6 ( 1) 15 .
故选：B．
5．过坐标原点作曲线 y ex 2 1的切线，则切线方程为（ ）
A． y x B． y 2x C． y 1 x D． y ex
e2
【答案】A
【分析】设切点坐标为 (t, et 2 1)，求得切线方程为 y (et 2 1) et 2 (x t)，把原点 (0,0)代
入方程，得到 (t 1)et 2 1，解得 t 2，即可求得切线方程.
【详解】由函数 y ex 2 1，可得 y ex 2，
设切点坐标为 (t, et 2 1)，可得切线方程为 y (et 2 1) et 2 (x t)，
把原点 (0,0)代入方程，可得0 (et 2 1) et 2 (0 t)，即 (t 1)et 2 1，
解得 t 2，所以切线方程为 y (e0 1) e0 (x 2)，即 y x .
故选：A.
6．将 a,b,c,d ,e5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙 3个班级实习，要求每个班
至少一名，最多两名，其中 a不去甲班，则不同的分配方案有（ ）
A．180种 B．150种 C．90种 D．60种
【答案】D
【详解】根据题意，去甲班实习的教师可以是 1人或 2人.
1 a 4 1 C1有 人去甲班时，因为 不去甲班，可从另外 人中选 人去甲班，有 4 种选法，
再选 2人去乙班，有C24 种选法，剩下 2人去丙班，有C
2
2 种方法，
这是分 3 1 2 2步完成的，故有C4C4C2 4 6 1 24种方案；
有 2 2人去甲班时，因为 a不去甲班，可从另外 4人中选 2人去甲班，有C4 种选法，
再剩余 3 2 2人分配到 2个班的分法有C3A2种方法，
所以这类办法有C24C
2A23 2 6 3 2 36种.
故不同的分配方案有: 24 36 60 .
故选：D
7.已知函数 f (x)在 x 0上可导且满足 f (x) f (x) 0，则下列不等式一定成立的为（ ）
A． f (2) ef (3) B． f (3) ef (2)
C． f (3) ef (2) D． f (2) ef (3)
【答案】C
【详解】构造函数 g(x)
f (x)
x ，e
f (x)ex f (x) ex
g (x) f (x) f (x) 2 x 0在 x 0时恒成立， ex e
g(x) f (x)所以 x 在 x 0时单调递增，e
g(3) g(2) f (3) f (2)所以 ，即 3 2 ，所以 f 3 ef 2 ，故选:C.e e
8． x , x [1,e](x x )，均有 x1lnx2 x2lnx11 2 1 2 a成立，则 a的取值范围为（ ）x2 x1
A． ( ,0] B．[1, ) C．[0,1] D．[0, )
【详解】不妨设1 x1 x2 e，则 x2 x1 0，
x1lnx2 x2lnx1
由 a可得 x1lnx2 x2lnx1 a x2 xx x 1 ，2 1
所以 x1lnx2 ax1 x2lnx1 ax2，
即 x1 lnx2 a x2 lnx1 a ，
lnx2 a lnx a
所以 1x2 x
，
1
f x lnx a令 ，则 f x2 f xx 1 ，
因为1 x x e f x lnx a1 2 ，所以 在区间 1,e 上单调递减，x
1
x lnx a
所以 f x x 0对于 x 1,e 恒成立，
x2
所以1 lnx a 0对于 x 1,e 恒成立，
可得 a 1 lnx对于 x 1,e 恒成立，所以 a (1 lnx)max ，
因为 y 1 lnx在区间 1,e 上单调递减，
所以 (1 lnx)max 1 ln1 1，所以 a 1 .
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．（23-24高二下·河北·开学考试）下列求导运算正确的是（ ）
A．若 y (x 1) ln x，则 y ln x 1 1 B． (cos ) sin
x
C ( x 2x ) 1． 2x ln 2 D．[ln(2x)] 1
x 1 (x 1)2 2x
【答案】AC
x 1 1
【解析】对于 A，若 y x 1 ln x，则 y ln x ln x 1，故 A正确；
x x
对于 B， cos 1 0，故 B错误；
x x 1
对于 C ， 2
x 2
x ln 2 2x ln 2，故 C正确；
x 1 x 1 x 1 2
ln 2x 2 1对于 D， ，故 D错误．故选：AC
2x x
10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到 A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法
正确的有（ ）
A．所有可能的方法有35 种
B．如果社区 A必须有同学选择，则不同的安排方法有 61种
C．如果同学甲必须选择社区 A，则不同的安排方法有 25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有 20种
【答案】BC
【分析】根据分步乘法原理判断 A、C，根据间接法判断 B，根据分类加法原理和乘法原理
判断 D.
【详解】对于选项 A，安排甲、乙、丙三位同学到 A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会
实践活动，
每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，
故有5 5 5 53种选择方案，错误；
对于选项 B，如果社区 A必须有同学选择，则不同的安排方法有53 43 61（种），正确；
对于选项 C：如果同学甲必须选择社区 A，则不同的安排方法有52 25（种），正确；
对于选项 D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有5 +5 4 = 25
（种），
错误.
故选：BC
11. 对于函数 f (x) 2 ln x 2 ，下列说法正确的有（ ）x
A. f (x)在 x e 1处取得极大值
e
B. f (x)只有一个零点
C. f (2) f ( )
1
D. 若 f (x) k 2 在 (0 )上恒成立，则 k ex
【答案】AB
2ln x 2 x2 f (x) 2ln x 2x【详解】对于 A， 函数 ， f (x) x 2 4ln xx2 4 3 (x 0)
，
x x
令 f (x) 0，即 4ln x 2，解得 x e，
当0 x e 时， f (x) 0，故 f (x)在 (0, e)上为单调递增函数，
当 x e时， f (x) 0，故 f (x)在 ( e , )上为单调递减函数，
2ln e 1
f (x)在 x e时取得极大值 f ( e) 2
e ，故 A正确；e
2ln1
对于 B， f (x)在 (0, e)上为单调递增函数， f 1 0， 2 函数 f (x)在 (0, e)上1
有唯一零点，
ln x
当 x e时， f (x) 2 0恒成立，即函数 f (x)在 e , 上没有零点，故 f (x)有唯一x
零点，故 B正确；
对于 C， f (x)在 ( e , )上为单调递减函数， 2 e， f (2) f ( )，故 C错
误；
对与 D，由 f x k 1 0, k f x 1 2ln x 1 2 在 上恒成立，即 2 在 0, 上x x x2
恒成立，
设 g x 2ln x 1 2 ，则 g x
4ln x
3 ，令 g x 0，解得： x 1，x x
当 0 x 1时， g x 0，函数 g x 在(0,1)上单调递增；
当 x 1时， g x 0，函数 g x 在 (1, )上单调递减，
当 x 1时，函数 g x 取得最大值，最大值为 g(1) 1， k 1，故 D错误．
故选：AB
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特
地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节
目顺序，则不同的安排方式有________种．
【答案】720
【详解】原来7个节目，形成8个空位，安排一位老校友；
8个节目，形成9个空位，安排一位老校友；
9个节目，形成10个空位，安排一位老校友.
所以不同的安排方式有8 9 10 720种.
故答案为：720
13.若 (x a)(1 2x)5的展开式中 x2的系数为 70，则实数a ．
【答案】2
【分析】先得到 (1 2x)5的通项公式，进而得到 (x a)(1 2x)5的展开式中含 x2的项为
10 40a x2，从而得到不等式，求出答案.
r
【详解】 (1 2x)5的通项公式为T Cr 15 rr 1 5 2x ，
当 r 2 1时，T 22 10x，当 r 2时，T3 C5 2x 40x，
故 (x a)(1 2x)5的展开式中含 x2的项为 x 10x a 40x 10 40a x2，
由题意知 10 40a 70，解得a 2．
故答案为：2
14 x x．已知正实数 x, y满足 ln x ye ln y ，则 y e 的最大值为______.
1
【答案】
e2
x ln x yex x ln x
x
x ln
【解析】由 ln x ye ln y得 y ，所以
xe
y y ，则 xe
x ln x e y，
y
因为 x 0， ex 0， ln
x ln xe y 0，所以 0 y ，
令 f (x) xe x x 0 ，则 f (x) ex (x 1) 0，所以 f x 在 0, 上单调递增，
x ln xx y x x所以由 xe ln e ，即 f x f ln
x
，得 x ln ，所以 y y x ，y y e
x x 1 x 1
所以 y e x x x ，e e e
x 1
令 g(x) x x 0 ，则 g (x)
2 x
e ex
，
令 g (x) 0，得0 x 2；令 g (x) 0，得 x 2，
所以 g(x)在 0, 2 上单调递增，在 2, 上单调递减，
g x 1 x 1所以 ( )max g(2) 2 ，即 y e 的最大值为 ．e e2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知函数 f (x) x ln x．
(1)求曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
(2)求证： f (x) x2 x．
【详解】（1）因为 f 1 0，所以切点为 1,0 .
又 f x ln x 1，
所以 k f 1 ln1 1 1，
所以切线为 y x 1 .
（2）要证 f x x2 x，只需证： x ln x x2 x，即证： ln x x 1 0 .
令 g x ln x x 1， x 0 ，
g x 1 1 1 x所以 ， x 0 ，
x x
g x 1 x令 0，解得 x 1 .
x
所以当 x 0,1 时， g x 0， g x 为增函数，
当 x 1, 时， g x 0， g x 为减函数.
所以 g x g 1max 2 0，
所以 ln x x 1 0 恒成立，
f x x2所以 x .
16.（15分）已知函数 f (x) ln x ax b ,a,b R，若曲线 y f (x)在 x 1处的切线方程为
x
y x 2 .
(1)求 a，b的值；
(2) y f (x) [1求函数 在区间 ,e]上的最值．
e
f x ln x ax b b【详解】（1）函数 ln x a ， f x = 1 b x b ，
x x x x2 x2
由题意得： f 1 1 b 1, f 1 a b 1 .
解得： a 1,b 2
（2）由（1）知 f x ln x 2 1， f x x 2
x x2
，
令 f x 0，解得： x 2
列表如下：
1 1
x ( ，2) 2 (2，e) e
e e
f x - 0 +
f x 22e－2 ↘ ln2 ↗
e
由上表可知，函 f 1x ln x 2 1 在区间[ , e 上的最大值是 2e 2，最小值是 ln 2 .x e
x2 x
17，（15分）已知函数 f (x) x ．e
（1）求函数 f (x)的极值点；
（2）记曲线C : y f (x)在 x 0处的切线为 l，求证： l与C有唯一公共点．
1 5
【答案】（1） ；（2）证明过程见解析
2
2 2
【解析】（1 f x x x f x x x 1） x e ex ，
x2f x x 1 1 5令 0 x ，
ex 2
x 1 5当 时， f x 0, f x 单调递减，
2
1 5 x 1 5当 时， f x 0, f x 单调递增，
2 2
x 1 5当 时， f x 0, f x 单调递减，
2
所以函数 f x 1 5的极值点为 ；
2
2
（2）由（1 f x x x 1）可知： f 0 0
ex
f 0 1，而 ，
所以切线 l的方程为 y x，
2
由 f x x x x x x 0，或 x 1 ex，e
当 x 0时， y 0，此时， l与C有公共点 0,0 ，
当 x 1 ex时，设 g x ex x 1 g x ex 1，
当 x 0时， g x 0, g x 单调递减，
当 x 0时， g x 0, g x 单调递增，所以 g x g 0 0min ，
g x ex x 1 0 ex即 x 1，当且仅当 x 0时取等号，
所以由 x 1 ex x 0，即 y 0，此时 l与C有公共点 0,0 ，
综上所述： l与C有唯一公共点.
x 1
18.（17 分）已知函数 f (x) ln x xe (e为自然对数的底数）.
x
(1)求函数 f (x)在 x 1处的切线方程；
(2)若 f (x) x 1 1 ae x ln x恒成立，求证：实数 a 1.
x
【详解】（1）由 f x ln x xe x 1 ，定义域为 0, ，
x
f x x 1 1 1 x 1 1 1 则 x 2 x .e x x e x2
所以 f x 在 x 1处的切线 l 的斜率为 k f 1 0，
f 1 1 1又 1 ，则 l 的方程为 y 1 .
e e
（2）
f x x 1 1 ae x lnx
x
2
f x ln x x x 1 a x a x x x 1 x a x 1 ex x恒成立，x e e e
令 h x x 1 ex x，则 h x xex 1，
令u x xex 1， x 0，则u x x 1 ex 0
所以 u x 在 0, 上单调递增，又u 0 1 0，且u 1 e 1 0 ，
x x 1
则 u x 在 0,1 上存在零点 x 且u x 0 00 0 x0e 1 0，即 e x .0
所以 h x 在 0, x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增，
所以 h x hmin x0
x 1 x0 1 e 0 x0 1 x0 ，即 a h xx 0 . 0
1 h x 1 x h x 1 1 x0 1 x0 0 0 ，则 0 1
x0 x
2 x20 0
又 x0 0,1 ，所以 h x0 0，
1
则 h x0 1 x0 在 0,1 上单调递增，因此 h x0 h 1 1
x0
所以 a 1.
x 1
19.（17分）已知函数 f (x) a ln x ， a R．
x 1
（1）若函数 f (x)在定义域上单调递增，求 a的取值范围；
（2）若函数 f (x)有两个极值点 x1, x2 ．
（i）求 a的取值范围；
f (x1) f (x2 ) a 2a
2
（ii）证明： ．
x1 x2 a 1
【小问 1详解】
a 2 2x
由题知， f (x) 0 (0, ) a (0, )x (x 1)2 在 上恒成立，所以 (x 1)2 在 上恒成立，
2x 2 1
2 1 1因为 (x 1) x 2 1 2 ，所以 a ，经检验， a 符合题意.故 a
1
.
x 2 2 2
【小问 2详解】
f (x) a 2 ax
2 2(a 1)x a
(i)由题设 且 x 0，
x (x 1)2 x(x 1)2
若 a 0，则 f (x) 0在 (0, )上恒成立，
即 f (x)单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；
故 a 0，又 f (x)有两个极值点，
则 x1, x2是 ax2 2(a 1)x a 0的两个不同正根，
Δ 4 a 1 2 4a 2 4 1 2a 0
a 1
所以 0 ，
a
a 0
1
可得0 a ，
2
即实数 a的取值范围是 (0, 1) .
2
1 2(1 a)
(ii)由（i）0 a 且 x1 x2 ， x1x2 1，不妨设 0 x1 1 x2 a 2
，
x 1f x1 f x2 a ln x1 1 a ln x
x
2
1
则 x 1 2 x
x x 1 2
1
1 2 x1 x2
a ln x1 2(x 1 x2 )
x2 (x1 1)(x 1) 2
x1 x2
a ln x1
x2 2 a (lnx1 lnx ) 2 a，
x1 x2 x1x2 x1 x2 1 x1 x2
f x 21 f x2 a 2a
要证 ，
x1 x2 a 1
ln x1 ln x2 1 1 2a ln x1 ln x2 a ln x1 ln x 2需证 2，即 x1 x2 a 1 x1 x2 1 a
，只需证
x1 x
，
2 x1 x2
x1 1
1 x1 x2 t x即 ln ，令 1 (0,1) 1 t 1x x ，则证 ln t ，2 x2 1 1 2 2 t 1
x2
a 1 f (x) 1 ln x x 1由（1）可知当 时， 在 (0, )上递增，
2 2 x 1
又0 t 1，故 f (t) f (1) 0
1
，即 ln t t 1 ，
2 t 1
f x1 f x2 a 2a2
综上， .
x1 x2 a 1
