山东省泰安市新泰市2023-2024学年高二下学期第一次质量检测数学试题（含答案）

新泰市2023-2024学年高二下学期第一次质量检测
数 学 试 题 2024.03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
3．的展开式中常数项为（ ）
A． B．-15 C．15 D．135
4．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（）个．
A．600 B．360 C．300 D．180
6．已知函数有极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．已知函数，，点与分别在函数与的图象上，若的最小值为，则（ ）
A．或3 B．3 C． D．1或3
8．函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（ ）
A． B．50 C．49 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（ ）
A．若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法
B．若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案
C．若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案
D．若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案
10．已知的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则（ ）
A．n=7 B．第4项为 C．第3项系数最大 D．展开式中有理项有2项
11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若只有一个极值点，则或
B．当时，是减函数
C．当时，有唯一零点
D．当时，对任意实数，总存在实数，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为 ．
13.已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是 .
14．设函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题13分）在二项式的展开式中，
（1）求展开式中含项的系数：
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，求的值.
16．（本题15分）已如曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
17．（本题15分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
(1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
(2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
18．（本题17分）已知函数，．
(1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(2)记函数，若的最小值是，求的值．
19．（本题17分）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
新泰市2023-2024学年高二下学期第一次质量检测
数学参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D A C B C D ABD ACD BCD
三、填空题
12．2 13. 或 14．
四、解答题
15．【详解】(1)设第项为，
令解得，
故展开式中含项的系数为. ...........................................6分
(2)∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
∵ ，故，得
或，得
综上：或............................................13分
16．【详解】（1）由于的斜率为，所以，
又,故，解得，...........................................7分
（2）由（1）知，所以，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范围为...........................................15分
17．【详解】（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为.
因此本年度的年利润
.....................7分
（2）本年度的年利润为
，则，
令，解得或(舍去)
当时，，当时，，所以时，有最大值.
所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元............................................15分
【详解】（1）解：因为，则，
由题意知在区间内恒成立，所以，在区间内恒成立．
令，，因为恒成立，
所以在区间内单调递减，
所以，所以，即实数的取值范围为．...........................................8分
（2）解：，其中．
所以，
①当时，对任意的恒成立，
所以在区间内单调递增，此时，无最小值，不合题意；...........................................11分
②当时，令，则或（舍去），
当时，；当时，.
所以，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，
则是函数的极小值点，也是最小值点，
所以，
解得，合乎题意
综上所述，............................................17分
19．【详解】（1）令，，
则，，
，，
当时，恒成立，
∴函数在区间上具有性质；...........................................4分
（2）∵，
∴，
∵在处取得极值，且为奇函数，
∴在处也取得极值，
∴，解得，
∴， ，
当时，令，解得；令，解得；
故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值，
∴，
当时，恒成立，
∴存在实数，使在区间上恒成立，
∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；................10分
（3）∵，
∴，
令，
则，
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
又∵，，
∴存在，使，
∴当时，，，在区间上单调递减，
当时，，，在区间上单调递增，
∴当时，的最小值为，
由，有，
∴，
∵，∴，
又∵恒成立，
∴，
∵且，
∴的最大值为............................................17分