江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含解析）

南昌市部分中学2023-2024学年高二下学期3月月考
数学试卷
考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．已知是等比数列的前项和，且，，则（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（ ）
A．51 B．70 C．92 D．117
4．已知函数在处的导数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3
7．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，，且它的二阶商数列是常数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列的前项和为，数列的前项和为，且，则使得恒成立的实数的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则，
10．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列为单调数列 D．数列为单调数列
11．设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且为数列的唯一最大项，则
D．若，且，则使得成立的的最大值为20
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为 .
13．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为 .
14．若数列满足，（），则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知数列的前n项和，且的最大值为．
(1)确定常数，并求；
(2)求数列的前15项和．
16．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．
17．已知数列满足，，其中.
(1)设，求证：数列是等差数列.
(2)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
18．已知正项数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使得，成等差数列，设数列，求数列的前项和．
19．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求：；
(3)求证：．
南昌市部分中学2023-2024学年高二下学期3月月考
数学答案
一、单选题
1．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
2．已知是等比数列的前项和，且，，则（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】C
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（ ）
A．51 B．70 C．92 D．117
【答案】C
【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.
【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为，
所以五边形数依次为，即第8个数为92.
4．已知函数在处的导数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的定义即可求出．
【详解】
故选：A．
5．数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据为递增数列，得到，进而求出，得到答案.
【详解】，为递增数列，
故，
故，
由于，故，
因为，，
故“为递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3
【答案】C
【分析】复利计息问题，逐年分析寻找规律，根据等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为万元，
2024年存的2万元共存了9年，本息和为万元，
2032年存的2万元共存了1年，本息和为万元，
所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为万元，
故选：C.
7．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，，且它的二阶商数列是常数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数列的二阶商数列是常数列可知数列的一阶商数列是等比数列，再利用累乘法求得，即可得解.
【详解】设数列的一阶商数列为，二阶商数列为，
则，，，
又数列的二阶商数列是常数列，
则，
则满足，
所以数列是为首项，为公比的等比数列，
则，
所以，
则，，，，，，
等式左右分别相乘可得，
所以，
则，
故选：C.
8．已知数列的前项和为，数列的前项和为，且，则使得恒成立的实数的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出数列的通项，再利用等比数列前项和公式求出即可得解.
【详解】数列中，，，当时，，两式相减得，
即，整理得，而，
因此数列是首项为3，公比为2的等比数列，，不满足上式，
则，当时，，，
而，依题意，，所以实数的最小值为.
故选：C
二、多选题
9．等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则，
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得.
【详解】等差数列中，，
对于A，，，A正确；
对于B，，则，，
则，，因此，即，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，设的公差为，由，得，解得，
则，，D正确.
故选：ACD
10．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列为单调数列 D．数列为单调数列
【答案】BC
【分析】根据条件得到或，再对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.
【详解】设数列的首项为，公比为，
由题有，解得或，
对于选项A，当，为奇数时，，所以选项A错误，
对于选项B，因为，当，显然有，当时，
，所以，故选项B正确，
对于选项C，当时，数列是首项为，公比为的递增数列，
当时，数列是首项为，公比为的递减数列，所以选项C正确，
对于选项D，由选项B知，所以，
当时，，此时不具有单调性，所以选项D错误，
故选：BC.
11．设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且为数列的唯一最大项，则
D．若，且，则使得成立的的最大值为20
【答案】BCD
【分析】根据前项积的定义和性质即可结合等比数列的性质即可逐一求解.
【详解】若，则，可得，即选项A错误；
而，即选项B正确.
若，且是数列的唯一最大项.
当时，，不合题意；
当时，由，可得，
即，解得，即选项C正确.
若，当时，，
又，不满足，不合题意；
当时，由可得，，，
所以，，
则为单调递减数列，
因此当时，故，当时，故，
因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，
又，，，
所以使得成立的的最大值为20，即选项D正确.
故选：BCD
三、填空题
12．已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为 .
【答案】6
【详解】因为，
所以，又，
所以0，所以，则，
故答案为：6.
13．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为 .
【答案】240
【详解】由题意知，，
故数列的前30项和为
，
故答案为：240
14．若数列满足，（），则 .
【答案】3268
【详解】由题意可得，作差得，
故
，
故答案为：3268
四、解答题
15．已知数列的前n项和，且的最大值为．
(1)确定常数，并求；
(2)求数列的前15项和．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）
解：由数列的前n项和，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，
即，解得，--------------2分
所以，
当时，，
当时，（符合上式），
所以数列的通项公式为.---------------------------------------6分
（2）解：由（1）知，可得，-----------8分
且当且时，可得；当且时，可得，
所以数列的前15项和：．-------------13分
16．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．
【答案】(1)；
(2)10.
【详解】（1）当时，，
所以，则，而，
所以，故是首项、公比都为2的等比数列，
所以.-------------------------------------6分
（2）由，----------------10分
所以，
要使，即，
由且，则.
所以使得成立的的最小值为10.----------------15分
17．已知数列满足，，其中.
(1)设，求证：数列是等差数列.
(2)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明：因为且，
所以
，
又，所以，
∴数列是首项为，公差为的等差数列；-------------6分
（2）由（1）可得，---------------8分
存在，理由如下：，，
则，
若对任意的，都有，则等价于恒成立，
即恒成立，
因为，当n为偶数时，，则，
当n为奇数时，时，则，
综上，存在，使得对任意的，都有.---------------15分
18．已知正项数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使得，成等差数列，设数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，即，
又数列各项为正，且，可得，即；
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
即；--------------------4分
又，所以，
两式相减可得，
所以；
当时，也符合上式，故；
所以数列和的通项公式；----------------8分
（2）设等差数列，的公差为，
则；
所以；
可得，
；
两式相减可得
；
所以.----------------------------------17分
19．已知数列满足：，正项数列满足：，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)已知，求：；
(3)求证：．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，设公差为，
因为，所以数列为等比数列，设公比为，且，
因为，，，
所以，即，
解得，
所以，---------------------2分
.------------------------4分
（2）由（1）可知，由，
记
作差, 得:
所以,
∴.--------10分
（3）令，
因为，且，所以成立；
因为，
所以
，
因为，所以，故，
综上，所以.-----------------17分