RJ数学八下专题课堂(二) 利用勾股定理解决问题（含答案）
文档属性
| 名称 | RJ数学八下专题课堂(二) 利用勾股定理解决问题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-31 16:35:27 | ||
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文档简介
RJ数学八下专题课堂(二) 利用勾股定理解决问题
一、利用勾股定理解决折叠问题
【例1】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，则AM的长为 ____．
分析：连接BM，B′M，设AM＝A′M＝x，在△ABM和△B′DM中，由折叠的性质得BM＝B′M，则有x2＋92＝(9－x)2＋(9－3)2，解方程即可得解．
【对应训练】
1．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为 ( )
A．20 B．22 C．24 D．30
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ( )
A． B． C．4 D．5
4．如图，在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°.在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为 ( )
A．6 B．3 C．2 D．
5．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于 ( )
A．4 B．3 C．4 D．8
第4题图 第5题图 第7题图
6．如图①是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为 ( )
A． cm B．2 cm C．2 cm D．3 cm
7．如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则△BED的面积为 ____．
二、利用勾股定理探究规律
【例2】如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2023的值为 ( )
A．()2020 B．()2021 C．()2020 D．()2021
【对应训练】
8．如图，已知∠AOB＝45°，点A1，A2，A3……在射线OA上，点B1，B2，B3……在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…，AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，A3B2⊥OB，…，An＋1Bn⊥OB(n＝1，2，3，4，5，6……).若OA1＝1，则A6B6的长是 ______．
三、利用勾股定理解决最短路径问题
【例3】如图①，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为 ____ cm.
【对应训练】
9．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形场地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 _____ m.
第9题图 第10题图
10．如图①的正方体木块棱长为6 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短路程为 ____________ cm.
四、利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状
【例4】已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数 ____ 时，这三条线段能围成一个直角三角形.
【对应训练】
11．若三角形的三边长为a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是 _______ 三角形．(填“直角”“锐角”或“钝角”)
12．若边长为a的正方形的面积等于长为b＋c，宽为b－c的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 ______ 三角形．
13．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
一、利用勾股定理解决折叠问题
【例1】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，则AM的长为 ____．
分析：连接BM，B′M，设AM＝A′M＝x，在△ABM和△B′DM中，由折叠的性质得BM＝B′M，则有x2＋92＝(9－x)2＋(9－3)2，解方程即可得解．
【答案】2
【对应训练】
1．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为 ( C )
A．20 B．22 C．24 D．30
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为 ( D )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ( C )
A． B． C．4 D．5
4．如图，在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°.在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为 ( C )
A．6 B．3 C．2 D．
5．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于 ( A )
A．4 B．3 C．4 D．8
第4题图 第5题图 第7题图
6．如图①是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为 ( A )
A． cm B．2 cm C．2 cm D．3 cm
7．如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则△BED的面积为 ____．
【答案】10
二、利用勾股定理探究规律
【例2】如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2023的值为 ( C )
A．()2020 B．()2021 C．()2020 D．()2021
分析：由题意和图形可知S1＝22＝4，S2＝S1＝×4，S3＝S2＝()2×4，…，Sn＝()n－1×4.
【对应训练】
8．如图，已知∠AOB＝45°，点A1，A2，A3……在射线OA上，点B1，B2，B3……在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…，AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，A3B2⊥OB，…，An＋1Bn⊥OB(n＝1，2，3，4，5，6……).若OA1＝1，则A6B6的长是 ______．
【答案】32
三、利用勾股定理解决最短路径问题
【例3】如图①，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为 ____ cm.
【答案】15
分析：如图②，将圆柱展开，得到一个长方形，在上面找到A，C两点的位置，根据轴对称的性质和“两点之间，线段最短”可得A′C即为蚂蚁到达蜂蜜处的最短“路线”，再利用勾股定理求出A′C的长度即可．
【对应训练】
9．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形场地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 _____ m.
【答案】2.6
第9题图 第10题图
10．如图①的正方体木块棱长为6 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短路程为 ____________ cm.
【答案】(3＋3)
四、利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状
【例4】已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数 ____ 时，这三条线段能围成一个直角三角形.
分析：由于直角三角形的斜边不能确定，故应分15为直角边和斜边两种情况进行讨论．
【答案】17
【对应训练】
11．若三角形的三边长为a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是 _______ 三角形．(填“直角”“锐角”或“钝角”)
【答案】直角
12．若边长为a的正方形的面积等于长为b＋c，宽为b－c的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 ______ 三角形．
【答案】直角
13．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
解：△ABC是直角三角形．理由：
∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
∴(a2－6a＋9)＋(b2－8b＋16)＋(c2－10c＋25)＝0，
即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，a＝3，b＝4，c＝5.
∵a2＋b2＝32＋42＝25＝c2.
∴△ABC是直角三角形
一、利用勾股定理解决折叠问题
【例1】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，则AM的长为 ____．
分析：连接BM，B′M，设AM＝A′M＝x，在△ABM和△B′DM中，由折叠的性质得BM＝B′M，则有x2＋92＝(9－x)2＋(9－3)2，解方程即可得解．
【对应训练】
1．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为 ( )
A．20 B．22 C．24 D．30
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ( )
A． B． C．4 D．5
4．如图，在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°.在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为 ( )
A．6 B．3 C．2 D．
5．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于 ( )
A．4 B．3 C．4 D．8
第4题图 第5题图 第7题图
6．如图①是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为 ( )
A． cm B．2 cm C．2 cm D．3 cm
7．如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则△BED的面积为 ____．
二、利用勾股定理探究规律
【例2】如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2023的值为 ( )
A．()2020 B．()2021 C．()2020 D．()2021
【对应训练】
8．如图，已知∠AOB＝45°，点A1，A2，A3……在射线OA上，点B1，B2，B3……在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…，AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，A3B2⊥OB，…，An＋1Bn⊥OB(n＝1，2，3，4，5，6……).若OA1＝1，则A6B6的长是 ______．
三、利用勾股定理解决最短路径问题
【例3】如图①，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为 ____ cm.
【对应训练】
9．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形场地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 _____ m.
第9题图 第10题图
10．如图①的正方体木块棱长为6 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短路程为 ____________ cm.
四、利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状
【例4】已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数 ____ 时，这三条线段能围成一个直角三角形.
【对应训练】
11．若三角形的三边长为a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是 _______ 三角形．(填“直角”“锐角”或“钝角”)
12．若边长为a的正方形的面积等于长为b＋c，宽为b－c的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 ______ 三角形．
13．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
一、利用勾股定理解决折叠问题
【例1】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，则AM的长为 ____．
分析：连接BM，B′M，设AM＝A′M＝x，在△ABM和△B′DM中，由折叠的性质得BM＝B′M，则有x2＋92＝(9－x)2＋(9－3)2，解方程即可得解．
【答案】2
【对应训练】
1．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为 ( C )
A．20 B．22 C．24 D．30
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为 ( D )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ( C )
A． B． C．4 D．5
4．如图，在三角形纸片ABC中，BC＝3，AB＝6，∠BCA＝90°.在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为 ( C )
A．6 B．3 C．2 D．
5．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于 ( A )
A．4 B．3 C．4 D．8
第4题图 第5题图 第7题图
6．如图①是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为 ( A )
A． cm B．2 cm C．2 cm D．3 cm
7．如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则△BED的面积为 ____．
【答案】10
二、利用勾股定理探究规律
【例2】如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2023的值为 ( C )
A．()2020 B．()2021 C．()2020 D．()2021
分析：由题意和图形可知S1＝22＝4，S2＝S1＝×4，S3＝S2＝()2×4，…，Sn＝()n－1×4.
【对应训练】
8．如图，已知∠AOB＝45°，点A1，A2，A3……在射线OA上，点B1，B2，B3……在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…，AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，A3B2⊥OB，…，An＋1Bn⊥OB(n＝1，2，3，4，5，6……).若OA1＝1，则A6B6的长是 ______．
【答案】32
三、利用勾股定理解决最短路径问题
【例3】如图①，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为 ____ cm.
【答案】15
分析：如图②，将圆柱展开，得到一个长方形，在上面找到A，C两点的位置，根据轴对称的性质和“两点之间，线段最短”可得A′C即为蚂蚁到达蜂蜜处的最短“路线”，再利用勾股定理求出A′C的长度即可．
【对应训练】
9．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形场地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 _____ m.
【答案】2.6
第9题图 第10题图
10．如图①的正方体木块棱长为6 cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短路程为 ____________ cm.
【答案】(3＋3)
四、利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状
【例4】已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数 ____ 时，这三条线段能围成一个直角三角形.
分析：由于直角三角形的斜边不能确定，故应分15为直角边和斜边两种情况进行讨论．
【答案】17
【对应训练】
11．若三角形的三边长为a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是 _______ 三角形．(填“直角”“锐角”或“钝角”)
【答案】直角
12．若边长为a的正方形的面积等于长为b＋c，宽为b－c的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 ______ 三角形．
【答案】直角
13．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
解：△ABC是直角三角形．理由：
∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
∴(a2－6a＋9)＋(b2－8b＋16)＋(c2－10c＋25)＝0，
即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，a＝3，b＝4，c＝5.
∵a2＋b2＝32＋42＝25＝c2.
∴△ABC是直角三角形