九年级数学月练习 ( 2024.3 )
（120 分钟，满分 100 分）
一、选择题（每题 2 分，共 16 分）
1．南水北调工程在保障城市供水安全、增加首都水资源战略储备、改善居民生活用水条件、促进 水资源涵养和恢复等方面，取得了重大的社会、经济、生态等综合效益. 自 2008 年 9 月至 2018
年 5 月，北京已累计收水超过 5 000 000 000 立方米.将 5 000 000 000 用科学记数法表示为
（A）0.5 根1010 （B）5 根1010 （C）5 根109 （D）50 根108
2 ．右图是某个几何体的三视图，该几何体是
A ．圆锥 B ．四棱锥 C ．圆柱 D ．四棱柱
3 ．如图，△ABC 中， ∠A=90 ° , 点 D 在 AC 边上，DE∥BC，
若∠1=35 ° , 则∠B 的度数为
A . 25° B. 35° C. 55° D. 65°
4. 实数 a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示. 下列式子正确的是
1
A ． a ＞ b
B ．a ＜-b C ． a b＜0 D ．ac＞bc
(
k
1
)5 ．已知反比例函数的表达式为y =
x
, 它的图象在各自象限内具有y 随 x 增大而减小的特点，那
么 k 的取值范围是
A ．k＞1 B ．k＜1 C ．k＞0 D ．k＜0
6 ．如图，在△ABC 中，点D、E 分别在AB、AC 边上，DE ∥BC ，
若 AD ＝1 ，BD ＝2 ，则 BC (DE) 的值为
A ． 1 B ． 1 C 1 D 1
2 3 ． 4 ． 9
7.如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD（不是直径）交于点 E，且 CE=DE， ∠A=30° , OC = 4 ，那么 CD
的长为
A ． 2
B ．4
C ． 4
D ．8
8 ．如图，△ABC 中，∠ACB=90。，∠A=30。，AB= 16 ．点 P 是斜边 AB 上一点．过点 P 作 PQ⊥AB， 垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q ，设 AP=x ，△APQ 的面积为y ，则y 与 x 之间的函数图象
大致是
A ． B ． C ． D.
二、填空题（每题 2 分，共 16 分）
9 ．若代数式有意义，那么x 的取值范围是 .
10.分解因式：ax2 - 10ax + 25a = .
11．若把代数式x2 - 2x + 3 化为(x - m )2 + k 的形式，其中 m ，k 为
常数，结果为 ． .
12 ．如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区
的点的坐标为（0, 1），表示慕田峪长城的点的坐标为（ -5 ，- 1），
则表示雁栖湖的点的坐标为 .
13.如果 x+y- 1=0,那么代数式(||（x - 政 的值是__________.
14 ．如图，正方形 ABCD 由四个矩形构成，根据图形，
写出一个含有 a 和 b 的正确的等式 .
15 ．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周 长是 12，其中一条边长为 3，求另两条边的长 ”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲： “ 另两条边长为 3 、6 或 4.5 、4.5 ” ，你认为 小 明 回答是 否正确 ： ，理 由
是 .
16. 某商场在端午节前以 1 元/个的价格购进 1000 个粽子，现有以下三种销售方式:不加工直接卖， 对产品进行粗加工再卖，精加工后再卖.受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工 200 个，细
加工一天只能加工 100 个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天.
2
加工方式 加工成本 销售单位 售价
直接卖 0 个 2 元/个
粗加工 1 元/个 包装袋（一袋 5 个） 30 元/袋
精加工 2.5 元/个 礼盒（一盒 10 个） 85 元/盒
假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是 .
方案一：不加工直接销售；方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖；
方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖；
方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖.
三、解答题（12 道题，共 68 分）
17.（5 分）计算：(1- )0 + - - 2 cos 30。+ ()-1 ． 18 ．（5 分）解不等式组： 〈x (3)x (2),
19 ．（5 分）已知x2 + 4x - 1 = 0 ，求代数式(x + 2)2 - (x + 2)(x - 2) + x2 的值.
20 ．（5 分）列方程解应用题
某学校组织学生到离校 20 千米的国家博物馆进行实践教育活动，同学们统一从学校乘车前 往．小明在去学校的途中遇上堵车，比同学们晚 15 分钟从学校出发，由他的家长开车沿相同路线 送小明赶往国家博物馆，结果小明和同学们同时到达．已知小明的速度是同学们的速度的 2 倍，求 同学们的速度是每小时多少千米？
3
21 ．（5 分）已知：关于 x 的一元二次方程mx2 4x +1 = 0 (m 0) 有实数根.
（1）求 m 的取值范围；（2 分）
（2）若方程的根为有理数，求正整数 m 的值．（3 分）
22 ．（5 分） 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O ，分别过点 C、D 作 CE∥BD，
DE∥AC，CE 和 DE 交于点 E.
（1）求证：四边形 ODEC 是矩形；（2 分）
（2）当∠ADB=60 ° , AD= 2 时，求 tan∠EAD 的值.（3 分）
4
23.（6 分）如图， ΔABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E.过 D 作 DF⊥AC ，垂足为 F.
（1）求证：DF 是⊙O 的切线 （3 分）
（2）若 CD=3 ，CE= ，求⊙O 的半径.（3 分）
24. （6 分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，点 A（-1 ，2）在函数y = x<0)的图象上.
（1）m 的值为 ；（1 分）
（2）过点 A 作y 轴的平行线l ，直线y = -2x + b 与直线l 交于点 B ，与函数y = x<0)的图象交
于点 C，与y 轴交于点 D .
①当点 C 是线段 BD 的中点时，求 b 的值；（3 分）
②当 BC5
25 ．（5 分）如图，AB = 6cm ， ∠CAB = 25 ° , P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PM⊥AB 交射线 AC 于点 M ，连接 MB ，过点 P 作 PN⊥MB 于点 N．设 A ，P 两点间的距离为 xcm ，P，N 两点
间的距离为ycm ．（当点 P 与点 A 或点 B 重合时，y 的值均为 0）小海根据学习函数的经验，
对函数y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小海的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与y 的几组值，如下表：
x/cm 0.00 0.60 1.00 1.51 2.00 2.75 3.00 3.50 4.00 4.29 4.90 5.50 6.00
y/cm 0.00 0.29 0.47 0.70 1.20 1.27 1.37 1.36 1.30 1.00 0.49 0.00
（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（1 分）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的
图象；（2 分）
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 y=0.5 时，与之对应的 x 值的个数是 （2 分）
6
26（7 分）.在平面直角坐标系xOy 中，点A(x1 , y1 ) ,B (x2 , y2 ) 在抛物线y = -x2 + (2a - 2)x - a2 +2a上，
其中x1＜x2 .
（1）求抛物线的对称轴（用含 a 的式子表示）；（2 分）
（2） ①当x = a 时，y 的值是 ；（1 分）
②若y1 = y2 = 0 ，求x1 的值（用含 a 的式子表示）；（2 分）
（3）若对于x1 +x2 ＜-4 ，都有y1＜y2 ， 求a 的取值范围.（2 分）
7
27. （7 分）已知，点 P 是△ABC 边 AB 上一动点（不与 A，B 重合）分别过点 A，B 向直线 CP 作
垂线，垂足分别为 E，F，Q 为边 AB 的中点.
（1）如图 1 ，当点 P 与点 Q 重合时，QE 与 QF 的数量关系是 ；（1 分）
（2）如图 2 ，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系是 ；
（1分）
（3）如图 3 ，当点 P 在线段 BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予
证明. （5 分）
8
图 1
图 2
图 3
28 ．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为A(2, 2) ，B(2, -2) ．对于给定的线 段 AB 及点 P，Q ，给出如下定义：若点 Q 关于 AB 所在直线的对称点Q 落在△ABP 的内部（不
含边界），则称点 Q 是点 P 关于线段 AB 的内称点.
（1）已知点P(4, - 1) .
①在Q1 (1, -1) ，Q2 (1, 1) 两点中，是点 P 关于线段 AB 的内称点的是 ；（1 分）
②若点 M 在直线y = x - 1 上，且点 M 是点 P 关于线段 AB 的内称点，求点 M 的横坐标xM 的取值
范围；（2 分）
（2）已知点C(3, 3) ，⊙C 的半径为 r，点D(4, 0) ，若点 E 是点 D 关于线段 AB 的内称点，且满足直
线 DE 与⊙C 相切，求半径 r 的取值范围．（4 分）
93 月月练答案
C; 2B ;3C; 4C; 5A; 6B; 7C; 8D
1;10.a(x-5)2; 11.(x-1)2+2; 12.(1,-3); 13.x+y; 14.(a+b)2 =a2+2ab+b2（不唯一）
15.不正确；三角形两边的和大于第三边； 16.方案四
17 ．解：原式=1+ - 2 x + 4 ………………………………………………4 分（每个 1 分）
= 5 . ……………………………………………………………………………5 分
18.〈,
解： 由①得：x>- 1
(
x
<
)由②得：
(
1
5
)∴ - 1< x <
(
1
)
②
----------------2 分
----------------4 分
----------------5 分
19.(x + 2)2 - (x + 2)(x - 2) + x2
= x2 + 4x + 4 - x2 + 4 + x2
= x2 + 4x + 8
∵ x2 + 4x - 1 = 0 ∴ x2 + 4x = 1 ∴原式=9
----------3 分
----------4 分
-----------5 分
20.
21.解：（1）原方程为一元二次方程.
Δ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 x m x 1 = 16 - 4m
∵原方程有实数根，
………………
1 分
∴16 一 4m ≥0 .
∴ m ≤4 .
∴m 的取值范围是 m ≤4 且m 子 0 ． ………………………… 2 分
（2）解： ∵m 为正整数，
∴m 可取 1 ，2 ，3 ，4 ． ……………………………………… 3 分
当 m= 1 时， Δ = 16 一 4m = 12 ；当 m=2 时， Δ = 16 一 4m = 8 ； 当 m=3 时， Δ = 16 一 4m = 4 ；当 m=4 时， Δ = 16 一 4m = 0 ；
∵方程为有理根，
∴m=3 或 m=4 ． ……………………………………………… 5 分
22 ．（1）证明： ∵ CE∥BD ，DE∥AC，
∴ 四边形 ODEC 是平行四边形 . … …… …… …… … …… …… ……1 分
又 ∵菱形 ABCD，
∴ AC⊥BD ， ∴ ∠DOC=90 °.
∴ 四边形 ODEC 是矩形. ………………………………………………2 分
（2）如图，过点 E 作 EF⊥AD ，交 AD 的延长线于 F.
∵ AC⊥BD ， ∠ADB=60 ° , AD= 2 ，
∴ OD= ，AO=OC=3.……………3 分
∵ 四边形 ODEC 是矩形，
∴ DE=OC=3 ， ∠ODE=90 °.
又∵ ∠ADO+∠ODE +∠EDF= 180 ° ,
∴ ∠EDF=30 °.
在 Rt△DEF 中， ∠F=90 ° , ∠EDF=30 °.
∴ EF= DE = .
(
2
)∴ DF= 3
. ………………………………………………………………………4 分
在 Rt△AFE 中， ∠DFE=90 ° ,
∴ tan ∠EAD=
3
EF EF 2
= = =
.
(
2
+
2
)AF AD + DF 3 7
………………………………
5 分
23. (1)证明：连结 AD,连结 OD.
∵以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D
∴∠ADB=90 °
∵AB=AC
∴BD=DC
又∵O 是 AB 中点
∴OD 是△BCA 的中位线
∴OD∥AC
∵DF⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF 是⊙O 的切线
（2）连结 DE，则 BE⊥AC.
∵DF⊥AC, BE⊥AC
∴DF∥BE
∵BD=CD
∴EF=CF
∵CE=
2
∴CF=
9
5
∵∠ADC= ∠DFC= 90 °, ∠DCF= ∠DCA
∴
∴
△DCF- △ACD
CD CF
=
AC CD
∵CD=3,CF=
∴AC=5
∵AB=AC
∴AB=5
9
5
∴⊙O 的半径为 5
24 ．解：（1）把 A（-1 ，2）代入函数y = (x<0)中，
∴ m= -2 ． ………………………………… 1 分
（2）① 过点 C 作 EF⊥ y 轴于 F，交直线 l 于 E，
∵直线 l∥y 轴，
∴EF⊥直线 l .
∴∠BEC=∠DFC=90° .
∵点 A 到 y 轴的距离为 1 ， ∴EF= 1 .
∵直线 l∥y 轴， ∴∠EBC=∠FDC .
∵点 C 是 BD 的中点， ∴CB=CD .
∴ ΔEBC≌ΔFDC（AAS）
∴ EC=CF 即 CE=CF= .
∴点 C 的横坐标为 - .
把x = - 代入函数y =- 中，得y = 4 .
∴点 C 的坐标为（ - ，4）.
把点 C 的坐标为（ - ，4）代入函数 y= - 2x+b 中，
得 b=3 ． ……………………………………………………………… 4 分
② b> -3 ． ………………………………………………………… 6 分
25. 解：（1） 0.91 （答案不唯一） … … … … … 1 分
（2）
……………
… … … … … … … …2 分
（3）两个. … … … … … … … …2 分
26.解：（1）抛物线的对称轴为直线x = -2(a-1) = a-1. ………………………2 分
2
（2）①当x = a 时，y = -a 2 + 2a2 - 2a - a 2 + 2a=0 ； ………………………3 分
② x1 =a - 2 . ……………………………………………5 分
（3）①当 a≥-1时，
∵ x1＜x2 ， x1 +x2 ＜-4，
∴ x1＜-2 ，只需讨论x1＜a - 1 的情况.
若 x1＜x2 ＜a - 1，
∵ x＜a - 1时，y 随着 x 的增大而增大，
∴ y1＜y2 ，符合题意；
若 x1＜a - 1＜x2 ，
∵ a - 1≥- 2 ，
∴ 2(a - 1)≥- 4 .
∵ x1 +x2 ＜-4，
∴ x1 +x2＜2(a - 1) .
∴ x1＜2(a - 1) - x2 .
∵ x=2(a - 1) - x2 时， y=y2 ， x＜a - 1时，y 随着 x 的增大而增大，
∴ y1＜y2 ，符合题意.
②当 a＜-1时，
令 x1 =a - 1 ， x2 = - 2 ，
此时 x1 +x2 ＜-4 ，但 y1＞y2 ，不符合题意；
综上所述， a 的取值范围是 a≥-1. ……………………………………7 分
（2）如图 3 .
27.解：
（1）QE=QF，
（2）QE=QF，
----------- 1 分
-----------2 分
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图 3 ，(补图 3 分）
延长 EQ 、FB 交于 D，
∵AE∥BF，
∴∠AEQ=∠D ， -----------4 分
在△AQE 和△BQD 中
(
图
3
)〈(| ，
|lAQ = BQ
(
-----------6
分
)∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD
∵BF⊥CP，
(
-----------7
分
)∴FQ 是 Rt△DEF 斜边 DE 上的中线，
∴QE=QF .
28 ．解：（1）① Q1 ．（见图 1） ……………………………………………………………… 1 分
②如图 1 ，点P(4, -1) 关于 AB 所在直线的对称点为P,(0, -1) ， ………… 2 分
此时点P, 恰好在直线 y = x - 1上.
∵ 点 M 是点 P 关于线段 AB 的内称点，
∴ 点 M 关于 AB 所在直线的对称点M, 落在△ABP 的内部（不含边界）. 又∵点 M 在直线 y = x - 1上，
∴ 点 M 应在线段P,G 上（点 G 为线段 AB 与直线 y = x - 1的交点），且不 与两个端点P, ，G 重合.
∴ 0 < xM < 2 ． ………………………………………………………… 3 分
图 1
图 2
图 3
∵ 点 E 是点 D 关于线段 AB 的内称点，
∴ 点 E 关于 AB 所在直线的对称点E , 应在△ABD 的内部（不含边界） .
∵ 点 D 关于 AB 所在直线的对称点为原点 O，
∴ 点 E 应在△ABO 的内部（不含边界） ． ……………………………… 4 分
∵ A(2, 2) ， C(3, 3) ， D(4, 0) ，
可得 AC = ， AD = 2 ， CD = .
∴ AC2 + AD2 = CD2 .
∴ 经CAD = 90。.
∴ AC⊥AD .
此时直线 DA 与以 AC 为半径的⊙C 相切，半径 AC = ． ……………… 5 分
当直线 DE 与以 CD 为半径的⊙C 相切，D 为切点时， ⊙C 的半径最大，最大值
为 .
∴ 符合题意的⊙C 的半径 r 的取值范围是√2＜r ≤ √10 ．………………… 7 分
