人教版八年级下册第十八章 平行四边形 章末复习题(含答案)

第十八章　平行四边形
章末复习题
一、选择题
1.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A.AB∥CD B.AD＝BC C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，AC为一条对角线，且∠BAC＝90°，E为BC的中点，连接AE.下列结论不正确的是( )
A.AE＝BE B.AE∥DC C.AB＝DC D.AE＝DC
3.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是( )
A. B.3 C. D.6
4.已知四边形ABCD为菱形，该菱形的周长为16，面积为8，则∠ABC的度数为( )
A.30° B.150° C.30°或150° D.30°或120°
5.如图，在 ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE.若AE＝2ED，则CE的长为( )
A.6 B.4 C.4 D.2
6.如图，在 ABCD中，∠ABC＝60°，BD为对角线，将△BCD沿CD方向平移，使得BC与AD重合，点D的对应点为E，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，则下列说法正确的是( )
A.AE＝BF B.BD平分∠ABC C.∠DAE＝30° D.CF＝DE
7.如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则( )
A.S1＋S2＞ B.S1＋S2＜ C.S1＋S2＝ D.S1＋S2的大小与P点位置有关
8.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( )
图1 图2
A.1和1 B.1和2 C.2和1 D.2和2
二、填空题
9.已知第1个三角形的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……依此类推，第2024个三角形的周长是 　.
10.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为　 　.
11.如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，AB的中点，两条平行线AK，CL分别经过菱形EGFH的顶点H，G和边FG，EH的中点M，N.已知菱形EGFH的面积为S，则图中阴影部分的面积和为 .(用含S的代数式表示)
12.将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图1；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE，DF，如图2.解决下列问题：
(1)四边形AEDF　 　菱形；(填“是”或“不是”)
(2)当∠BAC＝60°时，＝ 　.
图1 图2
三、解答题
13.如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使
CF＝，连接CD，EF.
(1)求证：四边形DEFC是平行四边形；
(2)求EF的长；
(3)求四边形DEFC的面积.
14.定义：若P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB＋∠CPD＝180°，则称P为四边形ABCD的一个“互补点”.
(1)如图1，P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD＝63°，求∠BPC的度数.
(2)如图2，P是菱形ABCD对角线上的任意一点.求证：P为菱形ABCD的一个“互补点”.
图1 图2
15.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形.
16.已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE.
(1)如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形.
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC.
(ⅰ)求∠CED的大小；
(ⅱ)若AF＝AE，求证：BE＝CF.
图1 图2
17.如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积.
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参考答案
一、选择题
1.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( C )
A.AB∥CD B.AD＝BC C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，AC为一条对角线，且∠BAC＝90°，E为BC的中点，连接AE.下列结论不正确的是( C )
A.AE＝BE B.AE∥DC C.AB＝DC D.AE＝DC
3.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是( D )
A. B.3 C. D.6
4.已知四边形ABCD为菱形，该菱形的周长为16，面积为8，则∠ABC的度数为( C )
A.30° B.150° C.30°或150° D.30°或120°
5.如图，在 ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE.若AE＝2ED，则CE的长为( C )
A.6 B.4 C.4 D.2
6.如图，在 ABCD中，∠ABC＝60°，BD为对角线，将△BCD沿CD方向平移，使得BC与AD重合，点D的对应点为E，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，则下列说法正确的是( D )
A.AE＝BF B.BD平分∠ABC C.∠DAE＝30° D.CF＝DE
7.如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则( C )
A.S1＋S2＞ B.S1＋S2＜ C.S1＋S2＝ D.S1＋S2的大小与P点位置有关
8.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( D )
图1 图2
A.1和1 B.1和2 C.2和1 D.2和2
二、填空题
9.已知第1个三角形的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……依此类推，第2024个三角形的周长是 　.
【答案】
10.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为　 　.
【答案】2
11.如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，AB的中点，两条平行线AK，CL分别经过菱形EGFH的顶点H，G和边FG，EH的中点M，N.已知菱形EGFH的面积为S，则图中阴影部分的面积和为 .(用含S的代数式表示)
【答案】
12.将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图1；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE，DF，如图2.解决下列问题：
(1)四边形AEDF　 　菱形；(填“是”或“不是”)
(2)当∠BAC＝60°时，＝ 　.
图1 图2
【答案】是
三、解答题
13.如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使
CF＝，连接CD，EF.
(1)求证：四边形DEFC是平行四边形；
(2)求EF的长；
(3)求四边形DEFC的面积.
解：(1)证明略.
(2)EF＝2.
(3)S四边形DEFC＝2.
14.定义：若P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB＋∠CPD＝180°，则称P为四边形ABCD的一个“互补点”.
(1)如图1，P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD＝63°，求∠BPC的度数.
(2)如图2，P是菱形ABCD对角线上的任意一点.求证：P为菱形ABCD的一个“互补点”.
图1 图2
解：(1)∠BPC＝117°.
(2)连接AP，CP.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.
易证△ADP≌△CDP，∴∠APD＝∠CPD.
∵∠APB＋∠APD＝180°，
∴∠APB＋∠CPD＝180°，
∴P为菱形ABCD的一个“互补点”.
15.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即BD⊥AC.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形.
(2)∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°.
由(1)知，EO⊥AC，OA＝OC，
∴∠AED＝∠CED＝30°，∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝60°.
∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO－∠EAD＝45°.
∵ ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形.
16.已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE.
(1)如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形.
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC.
(ⅰ)求∠CED的大小；
(ⅱ)若AF＝AE，求证：BE＝CF.
图1 图2
解：(1)∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD.
∵BC＝CD，∴∠BDC＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠BDC.
又∵BD⊥CE，∴CD＝DE，
∴BC＝CD＝DE.
∵BC∥DE，∴四边形BCDE是平行四边形.
又∵BC＝CD，∴四边形BCDE是菱形.
(2)(ⅰ)∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，∴∠AED＝∠CED，
同理可得∠CED＝∠BEC，
∴∠AED＝∠CED＝∠BEC.
∵∠AED＋∠CED＋∠BEC＝180°，
∴∠CED＝×180°＝60°.
(ⅱ)由(ⅰ)得∠BED＝∠AEC＝∠AED＋∠CED＝120°，
且∠EDB＝∠EBD＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠AFB＝120°，∴∠AEC＝∠AFB，
∴△ACE≌△ABF(ASA)，∴AC＝AB.
又∵AE＝AF，∴AB－AE＝AC－AF，
即BE＝CF.
17.如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积.
解：(1)易得∠ADB＝∠CBD.
∵∠ODE＝∠ADB，∠OBF＝∠CBD，
∴∠ODE＝∠OBF，∴DE∥BF.
易证△ODE≌△OBF(ASA)，∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，∴∠1＝∠2.
(2)由(1)知四边形BEDF是平行四边形，
∵AC⊥BD，即EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形.
∵AD∥BC，∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°.
∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°，
∴OD＝＝1.
∵∠ODE＝∠ADO＝30°，∴DE＝2OE，
∴由DE2＝OD2＋DE2，得OE＝(负值舍去)，
∴EF＝2OE＝，
∴S菱形BEDF＝·EF＝.