第八章 8.4.1 平面 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第七章
8.4.1 平面
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解平面的概念、三个基本事实（公理）和推论. 1.直观想象素养.
2.会用图形、文字、符号三种语言表述三个基本事实和推论. 2.数学抽象素养.
知新引入
前面我们初步认识了简单几何体的组成元素,知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素.我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系,从而得到了多面体的一些结构特征.为了进一步认识立体图形的结构特征,需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系.
在初中,我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物直观感觉抽象得到的.生活也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌、黑板面、平静的水面等.
知新引入
几何里所说的“平面（plane)”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周___________的.
平面的含义
无限延展　
1.平面的特征：
①平
②无厚薄
③无限延展的
课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但________________，而是______________.
它们都不是平面
平面的一部分
抽象理解：平面是______，平面是__________的，平面 .
平的
无限延展
没有厚薄、没有大小
知新探究
平面的含义
2.平面的画法：
类比用直线的一部分（线段）表示直线，可以用平面的一部分表示平面，用平行四边形表示平面.
在立体几何中，平面通常画成一个____________.当平面水平放置时，通常将平行四边形的______画成45°，且使横边长等于其邻边长的______ (如图①)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图②).
平行四边形
锐角
2倍
如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图③.
水平放置
竖直放置
知新探究
平面的含义
3.平面的表示（记法）：
用希腊字母表示：（标记在角上）平面α、平面β、平面γ等,并写在平行四边形一个角内（如图①②）.
用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC或平面BD（如图①②）.
下列命题正确的是( )
A.画一个平面，使它的长为14cm，宽为5cm.
B.平静的水面是平面.
C.平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分.
D.10个平面重叠起来，要比2个平面重叠起来厚.
C
知新探究
平面的基本性质
我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢
在日常生活中，我们常常可以看到这样的现象：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
α
A
B
C
知新探究
平面的基本性质
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
α
A
B
C
基本事实1给出了确定一个平面的依据.也可以简单说成:
“不共线的三点确定一个平面”.
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定平面，可记为平面ABC.
直线上有无数个点,平面内有无数个点，直线、平面都可以看成是点的集合. 因此，
点A在平面α内,记作A∈α；点P在平面α外,记作P α.
点A在直线l上,记作A∈l;点B在直线l外,记作B l.
α
A
l
P
B
符号表示
存在唯一的平面α
知新探究
平面的基本性质
如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢
在实际生活中，我们有这样的经验:如果一根直尺变异上任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在桌面上，上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实:
α
l
A
B
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
利用基本事实2，可以判断直线是否在平面内.
平面内有无数条直线,平面可以看成是直线的集合.
直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l α；
直线l不在平面α内，记作l α.
知新探究
平面的基本性质
α
l
A
B
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实2也可以用符号语言表示为
A∈l，B∈l,且A∈α, B∈α l α.
基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”,由基本事实1,给定不共线三点A、B、C,它们可以确定一个平面ABC;连接AB、BC、CA，由基本事实2,这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC.组成这个“直线网”的直线的“直"和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.
利用信息技术工具，可以方便地作出这个图形，观察“直线网”的形成和编织成平面的过程，
想象直线和平面的关系.
A
B
C
知新探究
平面的基本性质
如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，
三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交
于一点B？为什么？
B
α
想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面.可以想象，两个平面相交于一条直线.教室里相邻墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线.由此我们又得到一个基本事实:
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
l
P
α
β
如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.
知新探究
平面的基本性质
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
l
P
α
β
平面α与β相交于直线l,记作α∩β=l.
交线
基本事实3可以用符号语言表示为
P∈α，且P∈β α∩β=l,且P∈l.
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面
一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.
在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些(如图).
α
A
B
α
A
B
知新探究
平面的基本性质
上述三个关于平面的基本事实,是人们长期观察与实践总结出来的,是几何推理基本依据,也是我们进一步研究立体图形的基础.
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”， 可以得到下面三个推论（如图）：
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
α
a
A
B
C
α
b
a
P
α
b
a
知新探究
现在，我们来证明一下推论1，如图.
平面的基本性质
α
a
A
B
C
在直线l上任取两点B和C，由基本事实1得，经过A、B、C三点确定一个平面α.
由基本事实2，直线l也在平面α内,则平面α经过直线l和点A，
即一条直线和这条直线外一点确定一个平面.
推论1~3给我们提供了确定“一个平面的另外几种方法.
用类似的方法你能说明推论2和推论3成立吗
问题：如下图,如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内？
可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内,否则就不在同一个平面内,
其依据就是推论2.
不共线的三点、一条直线和这条直线外一点、两条相交直线、两条平行直线，都能唯一确定一个平面，这些结论在后续研究直线和平面之间平行、垂直关系时也会用到.
知新探究
平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
α
a
A
B
C
α
b
a
P
α
b
a
推论1可以用符号语言表示为
推论2可以用符号语言表示为
推论3可以用符号语言表示为
直线a和点A，A a 存在唯一的平面α，使a α,A∈α.
直线a∩b=P 存在唯一的平面α，使a α,b α.
直线a∥b 存在唯一的平面α，使a α,b α.
知新探究
平面的基本性质
【例1】已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确的个数是________个.
①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α；
②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB；
③l α，A∈l A α；
④A∈l，l α A∈α.
解：
利用三个基本事实知①②④正确，
若l∩α＝A，显然有l α，但是A∈α，③错误.
则正确的个数是3个.
3
初试身手
1.如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由.
⑴直线AC1在平面CC1B1B内( )
⑵平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1( )
⑶由A,O,C确定一个平面( )
⑷由A,C1,B1确定的平面是平面ADC1B1( )
⑸由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一平面( )
D
B
C
A
D1
C1
B1
A1
O
O1



知新探究
【例2】用符号语言表示下列语句，并画出图形.
⑴平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
⑵点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解：
⑴用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图①.
①
⑵用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图②.
②
初试身手
2.根据下列语句画出图形，并用符号表示.
⑴点A在平面 内，点B不在平面 内，点A、B都在直线l上；
⑵平面 与平面 相交于直线m，直线n在平面 内，并且平行于直线m.
解：
⑴A∈ ,B ,A∈l且B∈l.如图.
⑵ ∩ =m，n ，且n∥m.

l
A
B


n
m
知新探究
【例3】如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明：
∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∴B∈α.
∵l2∩l3＝B，
∴B∈l2.
又∵l2 α，
同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，
∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
初试身手
3.如图，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
∵PQ∥a，
∴PQ与a确定一个平面β.
∴直线a β，点P∈β.
∵P∈b，b α，
证明：
∴P∈α.
又∵a α，P a，
∴α与β重合.
∴PQ α.
课堂小结
1.平面的含义
⑴平面的特征：
①平
②无厚薄
③无限延展的
⑵平面的画法：
水平放置
竖直放置
⑶平面的表示（记法）：
用希腊字母表示：（标记在角上）平面α、平面β、平面γ等,并写在平行四边形一个角内.
用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC或平面BD.
课堂小结
2.平面的基本性质
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
“不共线的三点确定一个平面”.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
作业布置
作业： P131-132 习题8. 4 第1，6，7题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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