2022~2023学年宁夏石嘴山大武口区石嘴山市第三中学高三上学期理科期末数学试卷（图片版，含解析）
文档属性
| 名称 | 2022~2023学年宁夏石嘴山大武口区石嘴山市第三中学高三上学期理科期末数学试卷（图片版，含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-02 10:48:44 | ||
图片预览
文档简介
2022~2023学年宁夏石嘴山大武口区石嘴山市第三中学高三上学期理科期
末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合 ，集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知 i ，则 的虚部为（ ）
A.
B.2
C. i
D. i
3、设 ，b= ，c=ln ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＞b＞c
B.b＞a＞c
C.b＞c＞a
D.a＞c＞b
4、中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人
才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统
计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中
不一定正确的是（ ）
A.芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B.芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前“的总人数多
5、与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积为3
升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）
A.1升
B. 升
C. 升
D. 升
cos
7、函数 的图像大致如下（ ）
A.
B.
C.
D.
8、若 、 是两条不重合的直线， 垂直于平面 ，则“ // ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9、已知 为等比数列， 为其前 项和，若 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知抛物线 ，过焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点（点 在第一象限），若直线 的倾斜角为
，则 等于( )
A.
B.
C.
D.
11、已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，把 的
图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合，当 且 时， ，则
A.
B.
C.
D.
12、定义在R上的偶函数 满足 ，且当 ]时，
，若关于x的方程 至少有8个实数解，则实数m的取值范围是
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 ， ， ，则 与 的夹角是 .
14、五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、
羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若微、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的
种数为 .（用数字作答）.
15、已知 ， ，则 ．
16、已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC， ， ， ，
，则球O的体积是 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知向量 ， ，且
．
（ 1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 面积．
18、（本小题8分）
如图的多面体是由一个直四棱柱被平面 所截后得到的，其中 ， ，
．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角 的正切值．
19、（本小题8分）
某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组： ， ， ， ， ，
得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间 内的人数为400.
(1)求出直方图中a，b，c的值；
(2)估计中位数（精确到0.1）和平 均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间 内的学生人数为 X，求X的数学期望.
20、（本小题10分）
如图，点A是椭圆 的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点
B，P在y轴上，且 轴， .
(1)若点P的坐标为（0，1），求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为（0，t），求t的取值范围.
21、（本小题12分）
已知函数 e .
(1)若 ，求 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上恰有一个极小值点，求实数 的取值范围；
(3)若对于任意 ， e 恒成立，求实数 的取值范围.
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数， 为常数且 ），在以原
点 为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为： ．
(1)求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
(2)点 ，直线 与曲线 交于 两点，若 ，求直线 的斜率．
23、（本小题12分）
已知函数f（x）＝2|x＋1|＋|x－3|．
(1)求不等式f（x）>10的解集；
(2)若函数 的最小值为M，正数a，b，c满足a＋b＋c＝M，证明 ．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
解一元二次不等式化简集合 ，利用交集定义计算即可得解．
【详解】
， ，
所以 ．
故选：B．
2、
【答 案】
A
【分析】
因为 i ，所以 i，所以 的虚部为 .
i
因此正确答案为:A.
3、
【答 案】
B
【分析】
,a= ,b>a>0,
c=a>c
因此正确答案为：B.
4、
【答 案】
C
【分析】
根据图表信息，整合数据，逐项判断即可得解.
【详解】
对于选项 A，芯片、软件行业从业者中“90后”占总人数的55%，故选项A正确；
对于选项B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的（37% +13%）×55%=27.5%，故选项B
正确；
对于选项 C，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”占总人数的37%×55%＝20.35%，“80后”占总人数的
40%，但从事技术的“80后”占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项C错误；
对于选项D，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”占总人数的14%×55%＝7.7%、“80前”占总人数的5%，故
选项D正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了 统计图的应用，考查了数据整合的能力，属于基础题．
5、
【答 案】
A
【分析】
设与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程为 ，
∵所求双曲线过点 ，
∴ 代入 ，
得 ，即 ，
∴与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线方程是 ，
即 .
因此正确答案为：A.
6、
【答 案】
B
【分析】
设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和
公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容
积．
【详 解】
解：设竹 子自上而下各节的容积分别为： ， ， ， ，且为等差数列，
根据题意得： ， ，
即 ①， ②，② ① 得： ，解得 ，
把 代入①得： ，
则 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查 学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，属于中档题．
7、
【答 案】
A
【分析】
因为 ，
所以 为奇函数，
由奇函数的图像性质 可知C、D选项不正确；
因为 ，
所以B选项不正确.
因此正确答案为： A.
8、
【答 案】
A
【分析】
若 、 是两条不重合的直线， 垂直于平面 ，
则由 // ，可以得到 ，即“ // ”是“ ”的充 分条件；
由 ，可得 // 或 ，即“ // ”不是“ ” 的必要条件 .
故“ // ”是“ ”的充分不必要条件
因此正确答案为：A
9、
【答 案】
C
【分析】
设等比数列 的公比为 ，则 ，则 ，所以， ，
因为 ，即 ， ，解得 ，
因此， .
因此正确答案为：C.
10、
【答案 】
A
【分析】
$$设出直线 ，联立直线方程与抛物线方程，即可解得 ，则根据抛物线性质通过 即可求
【详解】
设 ， ，抛物线 ，焦点为 ，则直线 为 ，即 ，
将直线方程代入抛物线方程消x整理得 ，解得 ，
根据抛物线的性质可得， ，
故选：A．
11、
【答 案】
B
【分析】
代入 点求出 ，根据平移关系和在 上单调，确定 ，从而得到 ；找到 区间内 的
对称轴，由对称性可得 的值，进而代入求得结果.
【详解】
sin 过点 ，即
又
又 的图象向右平移 个单位后与原图象重合
在 上单调
令 ， ，解得 ，
当 时， 为 的一条对称轴
又
当 ， 且 时，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查 三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利
用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.
12、
【答 案】
B
【分析】
根据条件可得出函数 是以4为周期的周期函数，作出 ， 的图象，根据函数为偶函数，原
问题可转化为当 时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.
【详解】
因为 ，且 为偶函数
所以 ，即 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，
作出 ， 在同一坐标系 的图象，如图，
因为方程 至少有8个实数解，
所以 ， 图象至少有8个交 点，
根据 ， 的图象都为偶函数可知 ，图象在y轴右侧至少有4个交点，
由图可知，当 时，只需 ，即 ，
当 时，只需 ，即 ，
当 时，由图可知显然成立，
综上可知， .
故选：B
【点睛】
已知函数有 零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定 参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平 面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解．
二、填空题
13、
【答 案】
【分析】
，
因为 ，所以 ，
与 的夹角是 .
因此正确答案为： .
14、
【答案 】
24
【分析】
先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即.
【详解】
解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有A ，然后与宫、商、角进行全排有A ，考虑到顺序问题,
A A
则可排成不同的音序的种数为 .
A
故答案为：24．
15、
【答 案】
/
【分析】
解：由 ， ，得 ，
所以 ．
因此正确答案为：
16、
【答案 】
【分析】
先由余弦定理求得 ，再由正弦定理求得 ，从而求得 ，由此即可求得球
的体积.
【详解】
根据余弦定 理得 ，故 ，
根据正弦定理得 ，故 ，其中 为三角形 外接圆半径，
设 为三棱锥 外接球的半径，则 ，故 ，
则球的表面积 .
故答案为：
三、解答题
17、
【答案 】
（1） （2)
【分析】
（1）由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦
函数公式化简，根据 不为0，求出 的值，即可求出 的度数；
（2）由 , 与 的值，利用正弦定理列出关系式，求出 值进而得C角， 再由三角形 面积公式即可求值．
【详解】
解：（1） 由 得， ，
由正弦定理可得， ，
可得： ，即： ，
由 ，可得： ，
又 ，
可得： ．
（2）由已知及正弦定理得 即 可得
即B= 故C=
6 2
的面积 = ．
【点睛】
此题考查 了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解
本题的关键，属于基本题．
18、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）在 中，由余弦定理可得 ，由勾股定理 ，可证明 ，再由
平面 ，可得 ，由线线垂直证明线面垂直，从而可证面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，计算平面 的法向量，利用线面角的向量公式，即得 解.
【详解】
（1）证明 ：在 中，因为 ， ，
所以由余弦定理得， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
在直四棱柱中， 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）因为 ， ， 两 两相互垂直，
所以以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由 ，得 ， ，
所以有 ， ， ， ，
， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，
令 ，解得 ，
因为 ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，且 ，
所以 ，从而 ，
所以 ．
所以直线 与平面 所成角的正切值为 ．
19、
【答 案】
(1)
(2)中位数 ，平均数 .
(3)
【分析】
（1）通过题意可得： ，
又a，b，c成等差数列，所以 且 ，
解得：
所以 .
（2）因为 ，设中位数为 ，
则 ，所以 ，
解得： ，即中位数为 ，
平均数为 .
（3）通过题意可知：得分在区间 内概率为 ，
根据条件可知： 的所有可能值为 ，且 ，
所以 .
20、
【答案 】
(1) ；
(2)
【分析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质、椭圆标准方程 中 关系进行求解即可.
【详解】
（1）由 ， ，因为过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，所以直线 的方程为
，因为P的坐标为（0，1）， 轴，
所以 ，因而 ， ，
由 （舍去），即 ，
又因为 在该椭圆上，所以有 ，
所以该椭圆的标准方程为 ；
（2）由（1）可知： ， ，点P的坐标为（0，t），显然 ，
所以 ， ， ，
由 ，即 ，代入椭圆标准方程中，得
，
因为 ，所以有 ，
所以t的取值范围为 .
【点睛】
关键点睛： 运用代入法，结合椭圆标准方程中 的关系是解题的关键.
21、
【答 案】
(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率及方程；（2）求导，可得函数单调区间与极值点，再根据极值
点范围可得参数范围；（3）由不等式恒成立可知 恒成立， ，即
，求函数 的最值即可.(1)当 时， e ， e ，所以 ，
，所以切线方程为 .(2)由 e ，得 e .令
，得 ， .①若 ，则 ， 在 上恒成立，因此， 在
上单调递增，无极值，不符合题意.②若 ，则 ， 与 的情况如下：
极大值 极小值
因此， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．若 在 上有且只有
一个极小值点，则需 ，所以 .综上， 的取值范围是 .
(3)因为e ，所以 e e ，即 .又因为 ，所以
，即 .令 ，所以
.因为 ，所以 ，又 ，所以
，所以 为 上减函数，所以 ，所以 综上，实数 的取值范围为 .
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数
的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用
导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值（极值），解决生活中
的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22、
【答案 】
(1) ；
(2)±1
【分析】
（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方
程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解 ，进而可求 .
【详解】
（1）
，
；
（2）将 代入 得 ， ，因为点
在圆内，故 在点 两侧，由题意知， ，因此 ，即 ，
故 ，解得 ，进而 因此斜率为±1．
23、
【答 案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）分段讨论去绝对值即可求解；
（2）利用绝对值不等式可求得 ，再利用基本不等式即可证明.
【详解】
（1）当 时，由 ，解得 ，此时 ；
当 时，由 ，解得 ，此时 ；
当 时，由 ，解得 ，此时 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
（2）证明：因为 ，
所以M＝8，所以a＋b＋c＝8．
因为 ， ， ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
故 ．
末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合 ，集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知 i ，则 的虚部为（ ）
A.
B.2
C. i
D. i
3、设 ，b= ，c=ln ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＞b＞c
B.b＞a＞c
C.b＞c＞a
D.a＞c＞b
4、中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人
才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统
计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中
不一定正确的是（ ）
A.芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B.芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前“的总人数多
5、与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积为3
升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）
A.1升
B. 升
C. 升
D. 升
cos
7、函数 的图像大致如下（ ）
A.
B.
C.
D.
8、若 、 是两条不重合的直线， 垂直于平面 ，则“ // ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9、已知 为等比数列， 为其前 项和，若 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知抛物线 ，过焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点（点 在第一象限），若直线 的倾斜角为
，则 等于( )
A.
B.
C.
D.
11、已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，把 的
图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合，当 且 时， ，则
A.
B.
C.
D.
12、定义在R上的偶函数 满足 ，且当 ]时，
，若关于x的方程 至少有8个实数解，则实数m的取值范围是
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 ， ， ，则 与 的夹角是 .
14、五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、
羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若微、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的
种数为 .（用数字作答）.
15、已知 ， ，则 ．
16、已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC， ， ， ，
，则球O的体积是 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知向量 ， ，且
．
（ 1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 面积．
18、（本小题8分）
如图的多面体是由一个直四棱柱被平面 所截后得到的，其中 ， ，
．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角 的正切值．
19、（本小题8分）
某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组： ， ， ， ， ，
得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间 内的人数为400.
(1)求出直方图中a，b，c的值；
(2)估计中位数（精确到0.1）和平 均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间 内的学生人数为 X，求X的数学期望.
20、（本小题10分）
如图，点A是椭圆 的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点
B，P在y轴上，且 轴， .
(1)若点P的坐标为（0，1），求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为（0，t），求t的取值范围.
21、（本小题12分）
已知函数 e .
(1)若 ，求 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上恰有一个极小值点，求实数 的取值范围；
(3)若对于任意 ， e 恒成立，求实数 的取值范围.
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数， 为常数且 ），在以原
点 为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为： ．
(1)求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
(2)点 ，直线 与曲线 交于 两点，若 ，求直线 的斜率．
23、（本小题12分）
已知函数f（x）＝2|x＋1|＋|x－3|．
(1)求不等式f（x）>10的解集；
(2)若函数 的最小值为M，正数a，b，c满足a＋b＋c＝M，证明 ．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
解一元二次不等式化简集合 ，利用交集定义计算即可得解．
【详解】
， ，
所以 ．
故选：B．
2、
【答 案】
A
【分析】
因为 i ，所以 i，所以 的虚部为 .
i
因此正确答案为:A.
3、
【答 案】
B
【分析】
,a= ,b>a>0,
c=
因此正确答案为：B.
4、
【答 案】
C
【分析】
根据图表信息，整合数据，逐项判断即可得解.
【详解】
对于选项 A，芯片、软件行业从业者中“90后”占总人数的55%，故选项A正确；
对于选项B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的（37% +13%）×55%=27.5%，故选项B
正确；
对于选项 C，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”占总人数的37%×55%＝20.35%，“80后”占总人数的
40%，但从事技术的“80后”占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项C错误；
对于选项D，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”占总人数的14%×55%＝7.7%、“80前”占总人数的5%，故
选项D正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了 统计图的应用，考查了数据整合的能力，属于基础题．
5、
【答 案】
A
【分析】
设与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程为 ，
∵所求双曲线过点 ，
∴ 代入 ，
得 ，即 ，
∴与双曲线 有共同渐近线，且过点 的双曲线方程是 ，
即 .
因此正确答案为：A.
6、
【答 案】
B
【分析】
设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和
公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容
积．
【详 解】
解：设竹 子自上而下各节的容积分别为： ， ， ， ，且为等差数列，
根据题意得： ， ，
即 ①， ②，② ① 得： ，解得 ，
把 代入①得： ，
则 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查 学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，属于中档题．
7、
【答 案】
A
【分析】
因为 ，
所以 为奇函数，
由奇函数的图像性质 可知C、D选项不正确；
因为 ，
所以B选项不正确.
因此正确答案为： A.
8、
【答 案】
A
【分析】
若 、 是两条不重合的直线， 垂直于平面 ，
则由 // ，可以得到 ，即“ // ”是“ ”的充 分条件；
由 ，可得 // 或 ，即“ // ”不是“ ” 的必要条件 .
故“ // ”是“ ”的充分不必要条件
因此正确答案为：A
9、
【答 案】
C
【分析】
设等比数列 的公比为 ，则 ，则 ，所以， ，
因为 ，即 ， ，解得 ，
因此， .
因此正确答案为：C.
10、
【答案 】
A
【分析】
$$设出直线 ，联立直线方程与抛物线方程，即可解得 ，则根据抛物线性质通过 即可求
【详解】
设 ， ，抛物线 ，焦点为 ，则直线 为 ，即 ，
将直线方程代入抛物线方程消x整理得 ，解得 ，
根据抛物线的性质可得， ，
故选：A．
11、
【答 案】
B
【分析】
代入 点求出 ，根据平移关系和在 上单调，确定 ，从而得到 ；找到 区间内 的
对称轴，由对称性可得 的值，进而代入求得结果.
【详解】
sin 过点 ，即
又
又 的图象向右平移 个单位后与原图象重合
在 上单调
令 ， ，解得 ，
当 时， 为 的一条对称轴
又
当 ， 且 时，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查 三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利
用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.
12、
【答 案】
B
【分析】
根据条件可得出函数 是以4为周期的周期函数，作出 ， 的图象，根据函数为偶函数，原
问题可转化为当 时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.
【详解】
因为 ，且 为偶函数
所以 ，即 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，
作出 ， 在同一坐标系 的图象，如图，
因为方程 至少有8个实数解，
所以 ， 图象至少有8个交 点，
根据 ， 的图象都为偶函数可知 ，图象在y轴右侧至少有4个交点，
由图可知，当 时，只需 ，即 ，
当 时，只需 ，即 ，
当 时，由图可知显然成立，
综上可知， .
故选：B
【点睛】
已知函数有 零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定 参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平 面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解．
二、填空题
13、
【答 案】
【分析】
，
因为 ，所以 ，
与 的夹角是 .
因此正确答案为： .
14、
【答案 】
24
【分析】
先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即.
【详解】
解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有A ，然后与宫、商、角进行全排有A ，考虑到顺序问题,
A A
则可排成不同的音序的种数为 .
A
故答案为：24．
15、
【答 案】
/
【分析】
解：由 ， ，得 ，
所以 ．
因此正确答案为：
16、
【答案 】
【分析】
先由余弦定理求得 ，再由正弦定理求得 ，从而求得 ，由此即可求得球
的体积.
【详解】
根据余弦定 理得 ，故 ，
根据正弦定理得 ，故 ，其中 为三角形 外接圆半径，
设 为三棱锥 外接球的半径，则 ，故 ，
则球的表面积 .
故答案为：
三、解答题
17、
【答案 】
（1） （2)
【分析】
（1）由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦
函数公式化简，根据 不为0，求出 的值，即可求出 的度数；
（2）由 , 与 的值，利用正弦定理列出关系式，求出 值进而得C角， 再由三角形 面积公式即可求值．
【详解】
解：（1） 由 得， ，
由正弦定理可得， ，
可得： ，即： ，
由 ，可得： ，
又 ，
可得： ．
（2）由已知及正弦定理得 即 可得
即B= 故C=
6 2
的面积 = ．
【点睛】
此题考查 了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解
本题的关键，属于基本题．
18、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）在 中，由余弦定理可得 ，由勾股定理 ，可证明 ，再由
平面 ，可得 ，由线线垂直证明线面垂直，从而可证面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，计算平面 的法向量，利用线面角的向量公式，即得 解.
【详解】
（1）证明 ：在 中，因为 ， ，
所以由余弦定理得， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
在直四棱柱中， 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）因为 ， ， 两 两相互垂直，
所以以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由 ，得 ， ，
所以有 ， ， ， ，
， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，
令 ，解得 ，
因为 ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，且 ，
所以 ，从而 ，
所以 ．
所以直线 与平面 所成角的正切值为 ．
19、
【答 案】
(1)
(2)中位数 ，平均数 .
(3)
【分析】
（1）通过题意可得： ，
又a，b，c成等差数列，所以 且 ，
解得：
所以 .
（2）因为 ，设中位数为 ，
则 ，所以 ，
解得： ，即中位数为 ，
平均数为 .
（3）通过题意可知：得分在区间 内概率为 ，
根据条件可知： 的所有可能值为 ，且 ，
所以 .
20、
【答案 】
(1) ；
(2)
【分析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质、椭圆标准方程 中 关系进行求解即可.
【详解】
（1）由 ， ，因为过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，所以直线 的方程为
，因为P的坐标为（0，1）， 轴，
所以 ，因而 ， ，
由 （舍去），即 ，
又因为 在该椭圆上，所以有 ，
所以该椭圆的标准方程为 ；
（2）由（1）可知： ， ，点P的坐标为（0，t），显然 ，
所以 ， ， ，
由 ，即 ，代入椭圆标准方程中，得
，
因为 ，所以有 ，
所以t的取值范围为 .
【点睛】
关键点睛： 运用代入法，结合椭圆标准方程中 的关系是解题的关键.
21、
【答 案】
(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率及方程；（2）求导，可得函数单调区间与极值点，再根据极值
点范围可得参数范围；（3）由不等式恒成立可知 恒成立， ，即
，求函数 的最值即可.(1)当 时， e ， e ，所以 ，
，所以切线方程为 .(2)由 e ，得 e .令
，得 ， .①若 ，则 ， 在 上恒成立，因此， 在
上单调递增，无极值，不符合题意.②若 ，则 ， 与 的情况如下：
极大值 极小值
因此， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．若 在 上有且只有
一个极小值点，则需 ，所以 .综上， 的取值范围是 .
(3)因为e ，所以 e e ，即 .又因为 ，所以
，即 .令 ，所以
.因为 ，所以 ，又 ，所以
，所以 为 上减函数，所以 ，所以 综上，实数 的取值范围为 .
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数
的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用
导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值（极值），解决生活中
的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22、
【答案 】
(1) ；
(2)±1
【分析】
（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方
程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解 ，进而可求 .
【详解】
（1）
，
；
（2）将 代入 得 ， ，因为点
在圆内，故 在点 两侧，由题意知， ，因此 ，即 ，
故 ，解得 ，进而 因此斜率为±1．
23、
【答 案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）分段讨论去绝对值即可求解；
（2）利用绝对值不等式可求得 ，再利用基本不等式即可证明.
【详解】
（1）当 时，由 ，解得 ，此时 ；
当 时，由 ，解得 ，此时 ；
当 时，由 ，解得 ，此时 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
（2）证明：因为 ，
所以M＝8，所以a＋b＋c＝8．
因为 ， ， ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
故 ．