2022~2023学年山东青岛黄岛区杜威实验学校高一下学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年山东青岛黄岛区杜威实验学校高一下学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知复数 ，则 的虚部是（ ）
A.2
B.
C.
D.
2、已知向量 ， ，若 与 垂直，则实数t的值为（ ）
A.0
B.
C.
D.
3、如图所示，在三棱台 中，沿平面 截去三棱锥 ，则剩余的部分是（ ）
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.三棱台
4、在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ， ，则 （ ）
A.1
B.
C.3
D.1或3
5、已知 ， ，复数 ， ， 在复平面内对应的点为 ， ， ，若 ，
， 三点共线，则 的最小值为（ ）
A.9
B.8
C.6
D.4
6、在矩形ABCD中，M是BC的中点，N是CD的中点，若 ，则 （ ）
A.
B.1
C.
D.
7、在 中，CD为角C的平分线，若 ， ，则 等于（ ）
A.0
B.
C.
D.
8、在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若复数 满足 ，则（ ）
A.
B. 是纯虚数
C.
D.若 是关于x的实系数方程 的一个复数根，则
10、下列说法正确的是（ ）
A.向量 ， 能作为平面内所有向量的一组基底
B.已知 中，点P为边AB的中点，则必有
C.若 ，则P是 的垂心
D.若G是 的重心，则点G满足条件
11、已知 ，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A.若 ，则 为等腰三角形
B.若 ，则 为等腰或直角三角形
C.若 为锐角三角形，若 ，则
D.若 ， ， ，则 有两解
12、已知函数 在 上单调，且 的图象关于点 对称，则
（ ）
A. 的周期为
B.若 ，则
C.将 的图象向右平移 个单位长度后对应的函数为奇函数
D.函数 在 上有1个零点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、如图所示，等腰直角三角形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ，则原图形的周长
为 .
14、已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 ， 的夹角为 .
15、化简： ＝ .
16、某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径A、B两点间的距离，现在人工湖岸边取C、D两
点，测得 m， ， ， ，则A、B两点的距离
为 m.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 ， 都是锐角， ， .
(1)求 和 的值；
(2)求 的值.
18、（本小题12分）
已知半圆圆心为O，直径 ，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原
点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
(1)求 在 上投影向量的坐标；
(2)若 ，当y取得最小值时，求点P的坐标及y的最小值.
19、（本小题12分）
在复平面内，O是原点，向量 对应的复数 ， .
(1) 若点A位于第四象限，求m的取值范围；
(2)若点A关于实轴的对称点为点B，求向量 对应的复数；
(3)若 ，且 ，求 的取值范 围.
20、（本小题12分）
在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.
问题：在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________.
(1)求角C；
(2)若 的内切圆半径 ， ，求 的外接圆半径R.
21、（本小题12分）
已如向量 ， ，记函数 .
(1)将 化为 形式，并求最小正周期T；
(2)求函数 在区间 上的值域；
(3)将函数 图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍得到
的图象，若 在区间 上至少有100个最大值，求a的取值范围.
22、（本小题12分）
对于函数 ，若存在非零常数M，使得对任意的 ，都有 成立，我们称函数
为“M函数”；对于函数 ，若存在非零常数M，使得对任意的 ，都有 成
立，我们称函数 为“严格M函数”.
(1)求证： ，是“M 函数”；
(2)若函数 ，是“ 函数”，求k的取值范围；
(3)对于定义域为R的函数 对任意的正实数M， 均是“严格M函数”，若 ，求实数a
的最小值.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
，∴z的虚部为：2
因此正确答案为：A
2、
【答 案】
D
【分析】
，且 ，
通过题意可知， ，得 .
因此正确答案为：D
3、
【答 案】
B
【分析】
三棱台 中，沿平面 截去三棱锥 ，剩余的部分是以 为顶点，四边形 为
底面的四棱锥 ．
因此正确答案为：B．
4、
【答 案】
C
【分析】
由余弦定理， ，即 ， ，解得 .
因此正确答案为：C
5、
【答 案】
B
【分析】
通过题意， ， ， ，
由三点共线可得， ，化简可得 ，
又 ， ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
因此正确答案为：B
6、
【答 案】
D
【分析】
以 为原点，分别以 为 轴的正半轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设 ，
则 ，
则 ，
因为 ，
可得 ，
即 ，解之得 ，所以 .
因此正确答案为：D.
7、
【答 案】
C
【分析】
因为 为角 的平分线，所以
因为 ，所以
所以不妨设 ，
因为在 中， ，
所以
因为在 中， ，
所以
所以 .
因此正确答案为：C
8、
【答 案】
D
【分析】
不妨设 ， 中点为 ，则 即 ，故
，即 ， .
故
，因为 ，故
，则 ，故
，故 的取值范围为 .
因此正确答案为：D
二、多选题
9、
【答 案】
A;C;D
【分析】
对A， ，则 ，故 ，A无误；
对B， 不为纯虚数，故B有误；
对C， ， ，故C无误；
对D，通过题意， 的复数根分别为 与 ，故
，故D无误；
因此正确答案 为：ACD
10、
【答案 】
B;C
【分析】
对A， ，故 共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A有误；
对B，根据平面向量基本定理可得 中，点P为边AB的中点，则必有 ，故B无误；
对C，由 可得 ，即 ，故 ，同理 ，
，故P是 的垂心，故C无误；
对D，若G是 的重心，则点G满足条件 ，则 ，故D有误；
因此正确答案为：BC
11、
【答 案】
C;D
【分析】
， ， 或 ，即 或 ，故A有
误；
， ，即 ，由 知 ，故 为等腰三角
形，故B有误；
为锐角三角形， ，由正弦函数的单调性知 ，故C无误；
， ， ， ，故 有两解，故D无误.
因此正确答案为：CD
12、
【答案 】
B;C;D
【分析】
对于A，因为函数 在 上单调，所以 的最小正周期T满足 ，
即 ，所以 ，
因为 的图象关于点 对称，所以 ，得 ，
所以当 时， ，所以 ，故A有误；
对于B， ， ，
则 分别为 ，则 为半周期，即 ，故B无误；
对于C，将 的图象向右平移 个单位长度后得 的图象， 为奇
函数，故C无误；
对于D， ，即 ，
令 ，当 时， ，故仅有 ，故D无误．
因此正确答案为：BCD.
三、填空题
13、
【答 案】
/
【分析】
通过题意， ，则 ，故原图形中 ， ， ，周长为
.
因此正确答案为：
14、
【答 案】
/
【分析】
设 与 的夹角为 ， ，
则 ，解得 ，
，故 .
因此正确答案为：
15、
【答 案】
－1
【分析】
sin sin sin
原式＝sin － )＝ sin － cos ＝ ( sin － cos
cos cos cos
sin sin
＝ cos ＝ ＝－ .因此正确答案为－
cos cos
16、
【答 案】
【分析】
在 中，因为 ，故 ， ，
所以 ，则 ．
在 中，因为 ，
所以由正弦定理 ，
得 ．
在 中，因为 ，
所以由余弦定理得 ，
故 m．
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答案 】
(1) ,
(2)
【分析】
（1） 是锐角， ，
，
，
，
，
.
（2） ， 都是锐角，
，
又 ，
，
.
18、
【答案 】
(1)
(2)最小值为 ，此时点 的坐标为
【分析】
（1）因为半圆的直径 ，所以 ， ，
又 ， ，则 ，即 ．
故 ， ， 在 上投影为 ，故 在 上投影向量的坐标为
（2）设 ，
由（1）知， ，
故 ，
∴ ，
又∵ ，∴当 时， 有最小值为 ，
此时点 的坐标为
19、
【答 案】
(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）通过题意 对应点A位于第四象限，
故 ，解得 ，
即m的取值范围 .
（2）点A对应的复数为 ，则关于实轴的对称点B对应的复数为 ，
则 对应的复数为 ，
（3） ，
，即 ，
由 ，可知 ，
故 的取值范围为 .
20、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）选择①：由已知得 ，
所以 ，
在 中， ，所以 ．
选择②：通过题意 ，故 ，由正弦定理
，即 ，又
，故 ，因为 ，故
选择③：由已知及正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由余弦定理得 ，①
由等面积公式得 ．
即 ．
整理得 ，②
联立①②，解得 ，由正弦定理 ，即
21、
【答案 】
(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）
,
（2）当 时， ，
，
，
即函数 在区间 上的值域为 .
（3）将函数 图象向右平移 个单位，得到 ，
再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍得到 的图象,
其周期 ，
在区间 上至少有100个最大值，则在区间 上至少有 个周期，
因此， ，解得 ，
又 ， .
22、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】
（1）取 ，则 ，此时对任意的 ，都有 成立，故
是“ 函数”.
（2）因为函数 ，是“ 函数”，故 恒成
立，即 ，即 恒成立.
又 ，故 ， ，即k的取值范围为
（3）通过题意，对任意的 ，对任意的正实数M，都有 成立，故 在R上为减函数，
又 ，故 ，易得 ，可令 ，
则
，
即 ，故实数a的最小值为