2022~2023学年山东青岛市北区青岛第十七中学高二上学期期中数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年山东青岛市北区青岛第十七中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、直线 的倾斜角是（ ）
A.
B.
C.
D.
2、设 ， R，向量 =( ,1,1)， =(1, ,1)， =(2, 4,2)， ， ，则 + =（ ）
A.2
B.1
C. 1
D.4
3、如图的平行六面体 中，点 在 上，点 在 上，且
，若 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知从点 发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆： 的圆周，则
反射光线所在的直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、过直线 上的点作圆 的切线，则切线长的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，且点 到双曲线 的一条渐近线的距离为1，
则双曲线 的离心率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7、如图，已知正方体 的棱长为 分别是棱 上的动点，若 ，则线
段 的中点 的轨迹是（ ）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.一部分球面
D.两条平行线段
8、已知圆 ： 和两点 ， ，若圆 上存在点 ，满足 ，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知直线 和圆 ，则（ ）
A.直线l恒过定点
B.存在k使得直线l与直线 垂直
C.直线l与圆O相交
D.若 ，直线l被圆O截得的弦长为4
10、已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A.当 时，曲线 为圆
B.当 时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为
C.“ ”是“曲线 为焦点在 轴上的椭圆”的充分而不必要条件
D.存在实数 使得曲线 为双曲线，其离心率为
11、如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭
圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点 第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点 第
三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 和 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 和 分
别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12、在长方体 中， ， ，动点 在体对角线 上（含端
点），则下列结论正确的有（ ）
A.顶点 到平面 的最大距离为
B.存在点 ，使得 平面
C. 的最小值
D.当 为 中点时， 为钝角
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 的长轴长为 .
14、已知直线 被圆 截得的弦长为2，则 的值为 .
15、已知四面体 棱长均为 ，点 ， 分别是 、 的中点，则 .
16、已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，如图 是过 且垂直于长轴的弦，则 的
内切圆半径是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 ，两直线 和 ，
（1）求 的值
（2）求过 的交点且纵截距是横截距两倍的直线方程
18、（本小题12分）
阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（ ， ）
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点 ， ，动点P满足 .
(1)求点P的轨迹方程.
(2)若圆C： ，且点P的轨迹与圆C相交于M，N两点，求线段MN的长度.
19、（本小题12分）
如图，在 中， ， ，以 的中线 为折痕，将 沿 折起，构成二面
角 ，在平面 内作 ，且 ，连接 、 、 ，如图所示.
(1)求证； //平面 ；
(2)若二面角 的 大小为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
20、（本小题12分）
已知椭圆 ： ，离心率为 ，两焦点分别为 、 ，过左焦点 的直线 交椭圆 于
、 两点， 的周长为8.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率为 ，求 的面积.
21、（本小题12分）
如图， 是以 为直径的圆 上异于 ， 的点，平面 平面 为正三角形， ， 分别是
上的动点.
(1)求证： ；
(2)若 ， 分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的交线
为直线 ，点 为直线 上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
22、（本小题12分）
已知点 为椭圆C： 上一点，且直线 过椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）不经过点 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线 的斜率分别为 ，若
，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
，化简得 ，设倾斜角为 ， ，
又 ， ，即 ，
因此正确答案为：B.
2、
【答 案】
C
【分析】
， =0，则2 4+2=0，解得 =1；
1= 2
= 1
// ， R，使得 = ，则 = 4 ，解得 2 ；
1= 2 = 2
即 + =1 2= 1.
因此正确答案为： C.
3、
【答 案】
B
【分析】
因为 ， ， ，所以
，又因为 ，所以
.所以 .
因此正确答案为：B
4、
【答 案】
A
【分析】
设点 的坐标为 ，圆 的圆心坐标为 ，
设 是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆 的圆周，
所以反射光线经过点 ，
由反射的性质可知： ，
于是 ，所以反射光线所在的直线方程为：
，
因此正确答案为：A
5、
【答 案】
B
【分析】
圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆心 到直线 的距离 ，
所以切线长最小值为 .
因此正确答案为：B
6、
【答 案】
A
【分析】
因为双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，
且渐近线方程为 ，
所以焦点 到渐近线的距离 ，
化简得 ，
所以双曲线的离心率 ．
因此正确答案为：A．
7、
【答 案】
B
【分析】
通过题意，连接 ， ， ， ，取 中点为 ，连接 ，如下图：
在正方体 中，易知 为直角三角形，
为 的中点， 在Rt 中， ；在Rt 中， ，
，且 为 的中点， ，
在Rt 中， ，
分别为 上的动点， 点 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的圆的一部分，
因此正确答案为：B.
8、
【答 案】
C
【分析】
， ， ，
所以 在以 为直径的圆上，其圆心为坐 标原点 ，半径为
又点 在圆 上，所以以 为直径的圆与圆 有公共点，
圆 ： ，圆心 ，半径为 ，
所以 ，解得 .
因此正确答案为：C.
二、多选题
9、
【答 案】
B;C
【分析】
利用直线系方程求出直线 所过定点坐标判断A、C；求出使得直线 与直线 垂直的 值判断B；
根据弦长公式求出弦长可判断D.
【详解】
解：对于A、C，由 ，得 ，令 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 ，故A错误；
因为直线 恒过定点 ，而 ，即 在圆 内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线 的斜率为 ，则当 时，满足直线 与直线 垂直，故B正
确；
对于D， 时，直线 ，圆心到直线的距离为 ，
所以直线l被圆O截得的弦长为 ，故D错误.
故选：BC.
10、
【答 案】
A;B
【分析】
通过题意，曲线 的方程为 ，
对于A总，当 时，曲线 的方程为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，所以是正确
的；
对于B中，当 时，曲线 的方程为 ，可得 ，此时双曲线 渐近线方程为
，所以是正确的；
对于C中，当曲线 的方程为 表示焦点在 轴上的双曲线时，则满足 ，解
得 ，所以 “ ”是“曲线 为焦点在 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；
对于D中，当曲线 的方程为 表示双曲线，且离心率为 时，此时双曲线的实半轴长等于虚
半轴长，此时 ，解得 ，此时方程表示圆，所以不正确.
因此正确答案为：AB.
11、
【答 案】
A;D
【分析】
观察给定图形，由 及 得 ，A无误；
由 ，得 ，B有误；
因 ，即 ，有 ，得
，
令 ， ，即有 ，由给定轨道图知， ，
因此， ，D无误；而 ，C有误.
因此正确答案为：AD
12、
【答 案】
A;B;C
【分析】
如下图所示，以点 为原点建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
则 ，故 ，
则 ，
，
对于A， ，
设平面 的法向量 ，
\minus
则有 ，
\minus\lambdax \minus \lambdaz
可取 ，
则点 到平面 的距离为 ，
当 时，点 到平面 的距离为0，
当 时，
，
当且仅当 时，取等号，
所以点 到平面 的最大距离为 ，故A无误.
当 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
\minus
则 ，解得 ，
\minus
故存在点 ，使得 平面 ，故B无误；
对于C，当 时， 取得最小值，
由B得，此时 ，
则 ， ，
所以 ，
即 的最小值为 ，故C无误；
对于D，当 为 中点时，
则 ， ，
则 ， ，
所以 ，
所以 为锐角，故D有误；
因此正确答案为：ABC.
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
解：通过题意可知，椭圆的焦点在 轴上，且 ，所以 ，且 ，
，解得 ，
所以椭圆的标准方程为： ，所以 ，即 ，所以长轴长 ，
因此正确答案为： .
14、
【答 案】
【分析】
通过题意，圆 ，故圆心 ，半径 ，故圆心到直线 的距离为
，故 ，即 ，解得 ，即
因此正确答案为：
15、
【答 案】
【分析】
根据数量积的运算律及定义计算可得.
【详解】
解：因为 点 ， 分别是 、 的中点，
所以 ， ，
，
，
所以 .
故答案为：
16、
【答 案】
【分析】
解：设 内切圆的半径为 ，由椭圆的方程 ，
其中 ， ， ， .
因为 是过 且垂直于长轴的弦，
则有 ， ，
解得 ， .
的周长 .
面积 ，
由内切圆的性质可知，有 ，解得 .
故 内切圆的半径为 .
因此正确答案为： .
四、解答题
17、
【答 案】
（1） ；（2）
【分析】
（1）直接根据一般式的垂直结论列式求解即可得答案；
（2）结合（1）联立两直线方程得 的交点坐标为 ，再结合题意即可得解.
【详解】
解：（1） 因为两直线 和 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍）
所以 .
（2）由（1 ）知 和 ，
所以联立方程 ，解得 ，
所以 的交点坐标为 ，
因为纵截距是横截距两倍，所以该 直线过点
所以所求直线的方程为
18、
【答 案】
(1) .
(2) .
【分析】
（1）设 且 ，即 ，
即 ， ，
整理可得： ，
P 即点 的轨迹方程为 .
（2）圆C ： ， ，
又圆C与P的轨迹相交于MN两点，
故两圆联立 的方程： ，
圆C的圆心： ， ，
所以点 到MN的距离 ，
故 .
19、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）证明：翻折前， ， 的中线为 ，则 ，
在平面 内， ，又因为 ，所以， // ，
因为 平面 ， 平面 ， //平面 .
（2）解：翻折前， ，翻折后，则有 ， ，
所以，二面角 的平面角为 ，则 ，即 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的 空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，取 ，可得 ，
，
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
20、
【答 案】
（1） ；（2） .
【分析】
（1）通过题意可得 ，由椭圆的定义可得
，解得 ， ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）若直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
设
联立方程 ，消 ，整理可得 ，
则 ， ，
所以
21、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）证明：因为 是以 为直径的圆 上异于 ， 的点，
所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 平面 .
所以
（2）由 ， 分别是 的中点，连结 ，
所以 ，
由（1）知 ，所以 ，
所以在 中， 就是异面直线 与 所成的角．
因为异面直线 与 所成角的正切值为 ，
所以 ，即 又 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 所以在平面 中，过点 作 的平行线即为直线 .
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，过 且垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标
系，设 .
因为 为正三角形所以 ，从而 由已知 ， 分别是 的中点，
所以 则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以可设 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，得 ，
又 ，
则 .
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
所以直线 与平面 所成角的取值范围为 .
22、
【答案 】
（1） ；（2）
【分析】
（1）点 为椭圆C： 上一点，
则 ，解得 ，
直线 过椭圆C的一个焦点，
令 ，可得 ，即 ，
所以 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，
设 ， ，（ 且 ），
则 ，解得 ，直线恒过点 ；
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，
直线与椭圆的交点 ， ，
联立方程 ，消 可得 ，
则 ， ，
所以 ，
整理可得 ，
所以 ，
即 ，
因为直线 不过点 ，所以 ，
所以 ，即 ，
直线 ，
当 时，则 ，
所以直线恒过定点