2022~2023学年陕西渭南合阳县合阳县合阳中学高二下学期期末数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年陕西渭南合阳县合阳县合阳中学高二下学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2、由曲线 ， ， ， 轴围成的图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、若关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
4、有 人报名足球俱乐部， 人报名乒乓球俱乐部， 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐
部，则其报乒乓球俱乐部的概率为
A.
B.
C.
D.
5、已知曲线 的方程为 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知随机变量 的分布列为：则 （ ）
A.3
B.9
C.27
D.11
7、如图，某系统由A，B两个零件组成，零件A中含1个元件，零件B中含2个元件，每个零件中的元件只要有一
个能正常工作，该零件就能正常工作；两个零件都正常工作，该系统才能正常工作，每个元件能正常工作的概
率都是 ，且各元件是否正常工作相互独立，则该系统能正常工作的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、 的展开式中不含 项的各项系数之和为
A.
B.
C.
D.
9、学校准备在周二上午第1、2、3、4节举行化学、生物、政治、地理共4科选考科目讲座，要求生物不能排在
第1节，政治不能排在第4节，则不同的安排方案的种数为（ ）
A.12
B.14
C.20
D.24
10、已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
11、为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取. 包食盐，并测量其质量
（单位： ）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差，已
知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布 .假设生产状态正常，记 表示每天抽取的
包食盐中质量在 之外的包数，若 的数学期望 ，则 的最小值为（ ）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 .
A.12
B.13
C.14
D.16
12、已知 是定义在R上的函数 的导函数，对于任意的实数x，都有 ，当 时，
．若 ，则实数a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知函数 ，在 时有极大值，则 的极大值为
14、现有A，B两艘轮船同时到达码头等待卸货，A轮船至少需要3名卸货工人，B轮船至少需要4名卸货工人.若
码头有8名工人可以挑选，且每名工人只能去一艘轮船卸货，则这两艘轮船卸货的人选共有 种不同的选
法.
15、已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴.建立极坐
标系，曲线 的极坐标方程为 .设点 在 上，点 在 上，当 取最小值时点 的直角
坐标 .
16、已知函数 （ ， 为自然对数的底数）与 的图象上存在关于 轴对称的
点，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
为了推动智慧课堂的普及和应用， 市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查.统计数据如下表：从
城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 .
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村学校 40
城市学校 60
总计 100 60 160
(1)补全上面的列联表，并判断能否有 的把握认为智慧课堂的应用与区域有关.（相关计算精确到 ）
(2)从经常应用智慧课堂的学校中，采用分层抽样的方法抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽 取
3个学校到所在的地域进行核实，记其中农村学校的个数为 ，求 的分布列和数学期望.
附：
18、（本小题8分）
已知函数 e ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
19、（本小题8分）
某公司对其产品研发的年投资额 （单位：百万元）与其年销售量 （单位：千件）的数据进行统计，整理后得
到如下统计表：
(1)求变量 和 的样本相关系数 （精确到 ），并推断变量 和 的线性相关程度；（若 ，则线性相
关性程度很强；若 ，则线性相关性程度一般，若 ，则线性相关性程度很弱.）
(2)求年销售量 关于年投资额 的经验回归方程.并预测投资额为700万无时的销售量.（参考： ）
参考： ，
， .
20、（本小题10分）
本次数学考试中共有12个选择题，每小题5分，共60分，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．本次考试的12个选择题中，甲同学会其中的10个，另外2个题只能随意猜；乙同学会其中的9
个，其它3个题中有2个题各能排除2个错误选项，另外1个题能排除1个错误选项．
(1)设甲同学在本次考试中选择题得分为 ，求 的分布列及均值；
(2)设乙同学在本次考试中选择题得分为 ，求 的分布列及均值；
(3)求甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率．
21、（本小题12分）
已知函数
(1)若 ，讨论 的单调性.
(2)当 时，都有 成立 ，求整数 的最大值.
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
(2)已知点 ，若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值.
23、（本小题12分）
已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)记函数 的最小值为 ， 若 ， ， 均为正实数，且 ，求 的最小值.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
B
【分析】
根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】
因为 ，
所以 在复平面内对应的点为 ，位于第二象限.
故选：B
2、
【答 案】
C
【分析】
根据定积分的几何意义，得到旋转体的体积为 ，即可求解.
【详解】
由曲线 ， ， ， 轴围成的图形绕 轴旋转一周，
根据定积分的几何意义，可得所得旋转体的体积为：
.
故选：C.
3、
【答 案】
D
【分析】
【详解】
由题意得 （ ） ,因为（ ）
所以 ，解得实数 的取值范围为 ，选D.
4、
【答 案】
A
【分析】
报名两个俱乐部的人数为 ，
记“某人报足球俱乐部”为事件 ,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件 ，
，
.
所以答案为A.
5、
【答 案】
A
【分析】
利用导数求出所求切线的斜率，然后利用斜截式可得出所求切线的方程.
【详解】
对函数 求导得 ，所求切线的斜率为 ，
因此，曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查 导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于基础题．
6、
【答 案】
B
【分析】
根据均值和方差公式求出 与 ，再利用方差的性质进行求解即可．
【详解】
由题意可得 ，
此时 ，
所以 ．
故选：B．
7、
【答 案】
B
【分析】
求出零件 和 能正常工作的概率即得解.
【详解】
解：由题得零件B不能正常工作的概率是 ，所以零件B能正常工作的概率是 ，零
件A能正常工作的概率为 .
所以该系统能正常工作的概率为 ．
故选：B．
8、
【答 案】
D
【分析】
采用赋值法，令 得：求出各项系数之和，减去 项系数即为所求
【详解】
展开式中，令 得展开式的各项系数和为
而 展开式的的通项为 则 展开式中含 项系数为 故
的展开式中不含 项的各项系数之和为
故选D.
【点睛 】
考查对二 项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．
9、
【答 案】
B
【分析】
解：若生物排在第4节，则其它3节任意排，则有 种，
若生物不排在第4节，则生物排在第2节或第3节，然后将政治 排在前3节中的剩下的2节，最后化学、地理排在剩
下的2节，则有 种，
所以根据分类计数原理可知共有 种，
因此正确答案为：B
10、
【答 案】
C
【分析】
试题分析：当 时， ，函数 有两个零点 和 ，不满足题意，舍去；当
时， ，令 ，得 或 ． 时， ； 时，
； 时， ，且 ，此时在 必有零点，故不满足题意，舍去；
当 时， 时， ； 时， ； 时， ，且
，要使得 存在唯一的零点 ，且 ，只需 ，即 ，则 ，选C．
考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．
11、
【答 案】
A
【分析】
由题意得到 ，从而根据 得到不等式，求出解集，得到答案.
【详解】
因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，解得 ，
因为 ，故 的最小值为12.
故选：A
12、
【答 案】
B
【分析】
解：因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 为偶函数，
当 时， ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递增，
根据偶函数对称区间上单调性相反的性 质可知 在 上单调递减，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
即 ，则 ，
解得 .故数a的取值范围为：
因此正确答案为：B.
二、填空题
13、
【答案 】
【分析】
先求导函数根据极大值点求参，再根据极大值舍去不合题意的参数，最后计算极大值即可.
【详解】
由 得 ，
∵ 在 处取得极大值，∴ ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，令 ，得 或 ，令 得 ，
∴ 在 ， 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数，
∴ 在 处取得极小值，故 不满足题意舍去，
当 时， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
∴ 在 上是增函数，在 上是减函数，∴ 在 处取得取大值，符合题意．综上， ．
则 的极大值为
故答案为: .
14、
【答案 】
406
【分析】
若A轮船选择3名工人卸货，则B轮船分选择4名或5名，若A轮船选择4名工人卸货，则B轮船选择4名求解.
【详解】
解：若A轮 船选择3名工人卸货，则有 种选法；
A 若 轮船选择4名工人卸货，则有 种选法.
故这两艘轮船卸货的人选共有336+70=406种不同的选 法.
故答案为：406
15、
【答 案】
【分析】
由 ，则 ，
又 ，
所以 ，即 的直角坐标方程为 ，
曲线 的参数方程为 为参数），点 在 上，
设 ， 曲线 是直线，
最小值，即为点 到直线 的距离 的最小值，
，
当 ，即 ， Z，
解得 Z 时， 取得最小值 ，
故 ， ，
故当 取最小值时点 的直角坐标为 ．
故答案为： ．
16、
【答案 】
【分析】
根据题意，可知 ，在 上有解，令 ，
根据导数求出函数 在区间 上的值域，由此即可求出结果.
【详解】
因为函数 （ ， 为自然对数的底数）与 的图象上存在关于 轴对称的点，
等价于 ，在 上有解，
设 ，所以 ，
令 ，得 ，
因为 ，所以
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以
又 ， ，
所以 的值域为 ，
故方程 在 上有解等价于 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
三、解答题
17、
【答案 】
(1)列联表见解析，有 的把握认为智慧课堂的应用与区域有关；
(2)分布列见解析，期望为 .
【分析】
（1）根据题意补全列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想下结论；
（2）由题设知农村学校个数 ，进而求其分布列，再求期望值即可.
【详解】
（1）由题设，城市学校中偶尔应用或者不应用智慧课堂有 个，
所以列联表如下：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村学校 40 40 80
城市学校 60 20 80
总计 100 60 160
，
所以有 的把握认为智慧课堂的应用与区域有关.
（2）由题意，5个学校中2个是农村学校，3个是城市 学校，
所以农村学校个数 ，且 ， ，
，
分布列如下：
0 1 2
期望 .
18、
【答 案】
(Ⅰ) ；（Ⅱ）最大值1；最小值 .
【分析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式 中即可；
（Ⅱ）设 ，求 ，根据 确定函数 的单调性，根据单调性求函数的最大值为
，从而可以知道 恒成立，所以函数 是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：（Ⅰ）因为 e cos ，所以 e cos sin .
又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（Ⅱ）设 e cos sin ，则 e cos sin sin cos e sin .
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
所以对任意 有 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递减.
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导
数，因为通过 不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求 ，一般
这时就可求得函数 的零点，或是 ( )恒成立，这样就能知道函数 的单调性，再根据
单调性求其最值，从而判断 的单调性，最后求得结果.
19、
【答 案】
(1) ，变量 和 的线性相关程度很强；
(2) ，投资额为700万时的销售量 为 千件.
【分析】
（1）计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出；
（2）根据公式即可求出 与 的值，即可得出回归方程．
【详解】
（1）由题意， ， ，
，
，
，
，
， 变量 和 的线性相关程度很强；
（2） ， ，
年销售量 关于年投资额 的线性回归方程为 ．
当 时， ，
所以研发的年投资额为700万元时，产品 的年销售量约为 千件．
20、
【答 案】
(1)分布列见解析， ；
(2)分布列见解析， ；
(3) .
【分析】
(1)由条件求随机变量 的所有可能取值，确定取各值的概率，即可确定其分布列和均值；
(2)由条件求随机变量 的所有可能取值，确定取各值的概率，即可确定其分布列和均值；
(3)利用概率乘法公式和加法公式求概率.
【详解】
（1）由已 知随机变量 的可能取值为50,55,60，
， ，
，
所以随机变量 的分布列为
50 55 60
；
（2）由已知随机变量 的可能取值为45,50,55,60，
，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为
45 50 55 60
；
（3）因为 ，
，
，
所以甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率 .
21、
【答 案】
(1)答案见解析
(2)1
【分析】
（1）求定义域，求导，分 与 两种情况，得到 的单调性；
（2）变形得到 ，令 ， ，只需 ，求导，结合
隐零点得到 的单调性和极值，最值情况，得到 ，从而求出整数 的最大
值.
【详 解】
（1） ，定义域为R，
且 ，
当 时， 恒成立，故 在R上单调递增，
当 时，令 得， ，此时 单调递增，
令 得， ，此时 单调递减，
综上：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 上单调递减 ，在 上单调递增；
（2）由题意得， 在 上恒成 立，
因为 ，所以 ，故 ，
令 ， ，只需 ，
，
令 ， ，
则 在 上 恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，
故存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
，
所以 ，故整数 的最大值为1.
【点睛】
隐零点的处 理思路：
第一步：用零点存在 性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，
有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点 方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，
利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
22、
【答 案】
(1)直线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ；
(2)
【分析】
（1）直线 的参数方程为 （ 为参数）消去参数 可得 ，即直线 的普通方程为
，
由曲线 的极坐标方程为 ，
可得 ，
又 ，
所以 ，即曲线 的直角坐标方程为 ；
（2）直线 的参数方程为 为参数）
可化为 为参数），
代入到即 可得 ，
显然成立，
设直线与曲线 交点对应的参数分别为 ， ，
则 ， ，
所以 ，
所以 ．
23、
【答 案】
(1) 或
(2)
【分析】
（1）根据题意，将函数 化为分段函数的形式，然后分类讨论求解不等式即可；
（2）根据题意，由柯西不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】
（1）由题意可得， ，则 ，
即 或 或 ，解得 或 或 ，
所以 或 ，所以不等式的解集为 或 .
（2）由（1）可知， ，所以 ，则 ，
由柯西不等式可得， ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .