2022~2023学年陕西西安碑林区西安市铁一中学高三上学期期末文科数学试卷（1月）（图片版，含解析）
文档属性
| 名称 | 2022~2023学年陕西西安碑林区西安市铁一中学高三上学期期末文科数学试卷（1月）（图片版，含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-02 10:53:02 | ||
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文档简介
2022~2023学年陕西西安碑林区西安市铁一中学高三上学期期末文科数学
试卷（1月）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、若集合 ，则
A.
B.
C.
D.
2、设命题 ， ；命题 ， ，则下列命题为真的是
A.
B.
C.
D.
3、设 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
4、如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
1
A. <
a
B.ab< 2
C.ac2< 2
D.
5、为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，
xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A.x1，x2，…，xn的平均数
B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值
D.x1，x2，…，xn的中位数
6、已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
7、圆心在坐标原点 的圆上有两点 、 ，点 的坐标为 且 ，若点 在角 的终边上且角
是三角形的一个内角，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为
A.
B.
C.
D.
9、如图所示，正方体 的面A1C1，B1C，CD1的中心分别为O1，O2，O3，则直线 与直
线O2O3所成的角为（ ）
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
10、 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ．则 （ ）
A.1
B.
C.
D.
11、在直四棱柱 中，底面 是边长为6的正方形，点E在线段 上，且满足
，过点E作直四棱柱 外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为
，则直四棱柱 外接球的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知函数 ，若 ，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、曲线 在 处的切线方程为 .
14、如表中给出五组数据 ，从中选出四组使其线性相关最大，且保留第一组 ，那么应去掉
第 组.
1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 4
-3 -2 4 -1 6
15、设等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 ．
16、设定义在区间 上的函数 的图象与 的图象交于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足
为 ，直线 与函数 的图象交于点 ，则线段 的长为 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中x的值；
（2）①求在这些用户中， 用电量在区间[100，250）内的居民数；
②如果按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一 步调查，那么用电量在[150，200）内的居
民数应抽取多少？
18、（本小题8分）
已知等差数列{an}（n∈N+）中，an+1＞an，a2a9＝232，a4+a7＝37
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若将数列{an}
的项重新组合，得到新数列{bn}，具体方法如下：b1＝a1，b2＝a2+a3，b3＝a4+a5+a6+a7，
b4＝a8+a9+a10+…a15，…，依此类推，第n项bn由相应的{an}中 项的和组成，求数列{bn }的前n项和
Tn.
19、（本小题8分）
如图，长方体 中， ， 与底面ABCD所成的角为
.
(1)求四棱锥 的体积；
(2)求异面直线 与 所成角的 大小.
20、（本小题10分）
已知椭圆 经过点 ，离心率 ，其中 分别表示标准正态分布的期望值
与标准差．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为 ．
①试建立 的面积关于m的函数关系；②莆田十中高三（1）班数学兴趣小 组通过试验操作初步推断：“当
m变化，直线 与x轴相交时，交点是一个定点”．你认为此推断是否正确 若正确，请写出定点坐标，并证明
你的结论；若不正确，请说明理由．
21、（本小题12分）
设函数 ,其中常数
(Ⅰ)讨论 的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时， > 0恒成立，求 的取值范围.
22、（本小题12分）
已知圆C的极坐标方程为 ，直线l的方程为 .以极点为坐标原点，极轴为 轴
正半轴建立直角坐标系 .
（1）求圆C的圆心坐标及半 径；
（2）直线l与圆C的交点为A，B， 求三角形ABC的面积.
23、（本小题12分）
已知函数 ，
（1）若 ，求不等式 的解集 ；
（2）若函数 为偶函数，此时 的最小值 为t，若实数a，b，c满足 ，证明：
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
解出集合M，然后和集合N取交集即可.
【详解】
由题意得 ,
则 .
故选C.
【点睛 】
本题考查集 合的交集运算，属于简单题.
2、
【答 案】
C
【分析】
对 赋值为4时，可判断命题 为真命题，
当 赋值为4时，可判断命题 为假命题．由 此可以判断C答案正确．
【详解】
当 时， ，故命题 为真命题，
当 时， ，故命题 为假命题．
由复合命题的真假判断可知，故选C．
【点睛】
本题主要考 查了逻辑联结词联结的两个命题的真假判断．
（1） 中， 有一个是假命题，则 是假命题，
（2） 中， 有一个是真命题，则 是真命题，
（3）若 为真命题，则 为假命题，反之若 为假命题， 则 为真命题．
3、
【答 案】
B
【分析】
根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得 ，进而求模长即可.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 =| .
故选：B.
4、
【答 案】
D
【分析】
【详解】
对于选项A,因为 ，所以 ，所以 即 ，所以选项A错误；对于选
项B， ，所以 ，选项B错误；对于选项C， ，当 时，
，当 ， ，故选项C错误；对于选项D， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，选D.
5、
【答 案】
B
【分析】
评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，因此正确答案为B.
点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水 平；
中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水 平；
平均数：反映一组数据的平均水平；
方差：反映一组数据偏离平均数的程度 ，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在
样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．
6、
【答 案】
D
【分析】
试题分析：双曲线的一条渐近线是 ，则 ①，抛物线 的准线是 ，因此
，即 ②，由①②联立得 ，所以双曲线方程为 ．因此正确答案为
D．
考点 ：双曲线的标准方程．
7、
【答 案】
A
【分析】
由已知得 ，再运用正弦、余弦二倍角、以及辅助角公式化简原式为 ，代入
可求得其值得选项.
【详解】
因为 ， 为等边三角形， ，即\angleBOx ，而 为三角形的内角
，
，
故选：A．
8、
【答 案】
A
【分析】
由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为 ，底面对角线长为 ，球的半径为
，所以几何体的表面积为： ，因此正确答案为A．
9、
【答 案】
A
【分析】
如图，连接 ，设 交 于 ，连接 ，则可得 ∥ ， ∥ ，从而结合已知条件可求
出两异面直线所成的角
【详解】
解：如图， 连接 ，设 交 于 ，连接 ，
因为在正方体 的面A 1C1，B1C，CD1的中心分别为O1，O2，O3，
所以 ∥ ， ∥ ，
所以直线 与直线O 2O3所成的角等于直线 与 所夹的角，
因为 ， 为 的中点，
所以 ，
所以直线 与直 线O2O3所成的角为 ，
故选：A
10、
【答 案】
B
【分析】
解：通过题意
由正弦定理 ，即 ，解得 ；
因此正确答案为：B
11、
【答 案】
B
【分析】
根据题意得，设 ，故当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为 ；当 截面
时，截面圆面积最小，此时截面圆半径为 ，截面面积为 ，进而得 ，故外
接球的半径为 .
【详解】
因为四棱柱 是直棱柱，且底面是正方形，
所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作 ，
过点 向底面 作垂线，垂足为 ，则 ，
连接 ，因为底面 是边长为6的正方形，所以点 为 的中点，
取 中点为 ，连接 ， ， ，如图，
设 ，则 ，所以外接球的半径为 ，
因为点 在线段 上，且满足 ，则 ，
又 ，所以 ，
因为直四棱柱中， 侧面 ， ，所以 侧面 ，
所以 ，又 底面 ，而 底面 ，所以 ，
又 ，故 平面 ，因 平面 ，所以 ，
则 ；
根据球的特征，过点 作直四棱柱 外接球的截面，
当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为 ；
当 截面时，截面圆面积最小，此时截面圆半径为 ，此时截面圆面积为
；
又截面面积的最大值与最小值之差为 ，
所以 ，
因此 ，即 ，所以 .
所以 球
故选：B
【点睛】
关键点点睛 ：本题解题的关键是找准过点 作几何体外接球的截面圆中面积最大为截面圆为过球心的截面圆，
面积最小的截面圆为与 垂直的的截面圆的面积，再根据几何计算即可得答案.
12、
【答 案】
B
【分析】
由题推导函数 关于点（2,1）对称即可求解
【详解】
因为
故函数 关于点（2,1）对称，则 b
故选B
【点睛 】
本题考查函 数的对称性，考查对数的运算，考查推理计算能力，是中档题
二、填空题
13、
【答案 】
【分析】
求导 ，计算 ，得到切线方程.
【详解】
，故 ，
故所求切线方程为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查 导数的几何意义，考查运算求解能力.
14、
【答 案】
3
【分析】
画出散点图，根据线性相关及点偏离程度判断应去掉的点.
【详解】
根据表格 数据，散点图如下图示：
显然 偏离程度最高，故去掉第三组.
故答案为：3
15、
【答 案】
3
【分析】
由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可.
【详解】
设等比数列 的公比为q，由 得 ，所以 ，所以 ， ，则
．
故 答案为：3.
16、
【答案 】
【分析】
设 ，则 ， ，所以线段 的长为 ，根据
结合同角三角函数基本关系可计算 的值，即可求解.
【详解】
设 ，则 ，由题意知 ，
所以 ，
因为 ， 所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
直线 与函数 的图象交于点 ，可得 ，
所以 ，
故答案为： .
三、解答题
17、
【答案 】
（1）x＝0.0044；（2）①70户；②3（户）．
【分析】
（1）由频率分布直方图，列出方程，能求出直方图中 的值．
（2）①先求出用电量在 ， 内的频率为0.7，由此能求出 在这些用户中，用电量在区间 ， 内的居
民数．
②用电 量在 ， 内的户数为30户，由此利用分层抽样的性质能求出用电量在 ， 内的居民数应该
抽取的户数．
【详解】
（1）由频 率分布直方图得：
（0.0012+0.0024×2+0.0036+x+ 0.0060）×50＝1，
解得直方图中x＝0.0044．
（2）①用电量在[100，25 0）内的频率为：
（0.0036+0.0060+0.0044）×50＝0.7，
∴在这些用户中，用电量在区间[100， 250）内的居民数为100×0.7＝70户．
②用电量在[150，200）内的户数为0.0060×50×100＝30 （户），
按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调 查，
用电量在[150，200）内的居民数应该抽取： （户）．
18、
【答 案】
（1） N ；（2） .
【分析】
（1）由an+1＞an，结合a2a9＝232，a4+a7＝a2+a9＝37，利用等差数列的性质可求a2，a9，进而可求公差d，即
可求解通项；
（2）由题意得 ，结合等差数列与等比数列的求和公式可求bn，即可
求解.
【详解 】
解：（1） 由an+1＞an，可得公差d＞0，
∵a2a
9＝232，a4+a7＝a2+a9＝37，∴a9＞a2，
∴ .
设公差为d，则d 3
∴an＝a2+3（n﹣2）＝8+3n﹣6＝3n+2.
2 （ ）由题意得： ，
＝（3 2n﹣1+2）+（3 2n﹣1+5）+（3 2n﹣1+8）+…+[3 2n﹣1+（3 2n﹣1﹣1）]
＝2n﹣1×3 2n﹣1+[2+5+8+…+（3 2n﹣1﹣4）+（3 2n﹣1﹣1 ] ）
而2+5+8+…+（3 2n﹣1﹣4 + ） （3 2n﹣1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的 项的和，
所以2+5+8+…++（3 2n﹣1﹣4）+（3 2n﹣1﹣1）
＝3 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
19、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）连接AC，因为 平面ABCD，
所以 是 与底面ABCD所成的角 .
所以 ，所以 ，
所以 .
（2）联结BD，则 ，
所以 就是异面直线 与 所成的角（或其补角）
中， ， ，
所以 ，
又 0, ，则
所以异面直线 与 所成角的大小为 .
20、
【答案 】
（1） ；（2）① ；②推断正确，定点 ．
【分析】
（1）利用椭圆过点 ，离心率 ，列式计算即得椭圆方程.
（2）①把 与椭圆C的方程联立，借助韦达定理、三角形面积公式即可求解作答；
②利用①中信息求出直线 的方程即可判断作答.．
【详解】
（1）因 分别表示标准正态分布的期望值与标准差，则 ，即椭圆过点 ， ，
又离心率 ，则 ，解得 ，
所以椭圆C的方程是 .
（2）①由（1）及已知得： ，消去x并整理得： ，
设 ，则 ，
于是得 ，直线 过定点
，
所以 面积 ；
②由①知， ，因直线 与x轴相交，则点 与 不重合，即 ，
由 得 ，
直线 的斜率 ， ，
直线 的方程为： ，即 ，
整理得： ，因此，直线 恒过点 ，
所以推断正确，定点坐标是 .
【点睛】
结论点睛： 过定点 的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点 ， ，则 面积
；
过定点 直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点 ， ，则 面积
.
21、
【答案 】
（I）当 时， 在区间 和 是增函数，在区间 是减函数.（II）取值范围是（1，6）
【分析】
【详解】
：因为第( Ⅰ)题中要求函数的单调区间,利用导数的正负即可求出,所以首先要求出函数的导数,然后解不等式
和 即可. 第(Ⅱ)小题是一个恒成立问题,转化为求函数的最值解决,所以要求出函数 在x≥0时
的最小值.
（I）
由 知，当 时， ，故 在区间 是增函数；
当 时， ，故 在区间 是减函数；
当 时， ，故 在区间 是增函数.
综上，当 时， 在区间 和 是增函数 ，在区间 是减函数.
（II ）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值.
由假设知
即 解得
故 的取值范围是（1，6）
22、
【答 案】
（1） ，2；（2）2.
【分析】
（1）将圆C的极坐标方程化为圆的标准方程，即可得出圆C的圆心坐标及半径；
（2）利用极经的应用和三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】
（1）圆 的极坐标方程为 ，
所以 ，
根据 得直角坐标方程为 .
所以圆的圆心坐标为 ，半径为2.
（2）直线 的极坐标方程为 .
所以，整理得 ，
所以 ， .
所以 .
由于 为等腰三角形.
所以弦 上的高 ，
所以 .
23、
【答 案】
（1） （2）证明见解析
【分析】
1 化为分段函数即可求出不等式的解集 2 根据偶函数的性质求出函数m的值，再根据三角绝对值不等式求出t
的值，再根据基本不等式即可证明．
【详解】
（1） ，则
①由 可得 ②由 无解 ③ 可得 ；
综上 的解集为 ，
证明：（2）因为函数 为偶函数，所以 ，此时 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 当且仅当 时，取“ “ ，
所以 ，
即 ．
【点睛】
本考主要 查了利用绝对值三角不等求最小值和基本不等式，考查了转化思想和计算能力，属中档题．
试卷（1月）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、若集合 ，则
A.
B.
C.
D.
2、设命题 ， ；命题 ， ，则下列命题为真的是
A.
B.
C.
D.
3、设 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
4、如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
1
A. <
a
B.ab< 2
C.ac2< 2
D.
5、为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，
xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A.x1，x2，…，xn的平均数
B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值
D.x1，x2，…，xn的中位数
6、已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
7、圆心在坐标原点 的圆上有两点 、 ，点 的坐标为 且 ，若点 在角 的终边上且角
是三角形的一个内角，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为
A.
B.
C.
D.
9、如图所示，正方体 的面A1C1，B1C，CD1的中心分别为O1，O2，O3，则直线 与直
线O2O3所成的角为（ ）
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
10、 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ．则 （ ）
A.1
B.
C.
D.
11、在直四棱柱 中，底面 是边长为6的正方形，点E在线段 上，且满足
，过点E作直四棱柱 外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为
，则直四棱柱 外接球的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知函数 ，若 ，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、曲线 在 处的切线方程为 .
14、如表中给出五组数据 ，从中选出四组使其线性相关最大，且保留第一组 ，那么应去掉
第 组.
1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 4
-3 -2 4 -1 6
15、设等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 ．
16、设定义在区间 上的函数 的图象与 的图象交于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足
为 ，直线 与函数 的图象交于点 ，则线段 的长为 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中x的值；
（2）①求在这些用户中， 用电量在区间[100，250）内的居民数；
②如果按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一 步调查，那么用电量在[150，200）内的居
民数应抽取多少？
18、（本小题8分）
已知等差数列{an}（n∈N+）中，an+1＞an，a2a9＝232，a4+a7＝37
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若将数列{an}
的项重新组合，得到新数列{bn}，具体方法如下：b1＝a1，b2＝a2+a3，b3＝a4+a5+a6+a7，
b4＝a8+a9+a10+…a15，…，依此类推，第n项bn由相应的{an}中 项的和组成，求数列{bn }的前n项和
Tn.
19、（本小题8分）
如图，长方体 中， ， 与底面ABCD所成的角为
.
(1)求四棱锥 的体积；
(2)求异面直线 与 所成角的 大小.
20、（本小题10分）
已知椭圆 经过点 ，离心率 ，其中 分别表示标准正态分布的期望值
与标准差．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为 ．
①试建立 的面积关于m的函数关系；②莆田十中高三（1）班数学兴趣小 组通过试验操作初步推断：“当
m变化，直线 与x轴相交时，交点是一个定点”．你认为此推断是否正确 若正确，请写出定点坐标，并证明
你的结论；若不正确，请说明理由．
21、（本小题12分）
设函数 ,其中常数
(Ⅰ)讨论 的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时， > 0恒成立，求 的取值范围.
22、（本小题12分）
已知圆C的极坐标方程为 ，直线l的方程为 .以极点为坐标原点，极轴为 轴
正半轴建立直角坐标系 .
（1）求圆C的圆心坐标及半 径；
（2）直线l与圆C的交点为A，B， 求三角形ABC的面积.
23、（本小题12分）
已知函数 ，
（1）若 ，求不等式 的解集 ；
（2）若函数 为偶函数，此时 的最小值 为t，若实数a，b，c满足 ，证明：
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
解出集合M，然后和集合N取交集即可.
【详解】
由题意得 ,
则 .
故选C.
【点睛 】
本题考查集 合的交集运算，属于简单题.
2、
【答 案】
C
【分析】
对 赋值为4时，可判断命题 为真命题，
当 赋值为4时，可判断命题 为假命题．由 此可以判断C答案正确．
【详解】
当 时， ，故命题 为真命题，
当 时， ，故命题 为假命题．
由复合命题的真假判断可知，故选C．
【点睛】
本题主要考 查了逻辑联结词联结的两个命题的真假判断．
（1） 中， 有一个是假命题，则 是假命题，
（2） 中， 有一个是真命题，则 是真命题，
（3）若 为真命题，则 为假命题，反之若 为假命题， 则 为真命题．
3、
【答 案】
B
【分析】
根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得 ，进而求模长即可.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 =| .
故选：B.
4、
【答 案】
D
【分析】
【详解】
对于选项A,因为 ，所以 ，所以 即 ，所以选项A错误；对于选
项B， ，所以 ，选项B错误；对于选项C， ，当 时，
，当 ， ，故选项C错误；对于选项D， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，选D.
5、
【答 案】
B
【分析】
评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，因此正确答案为B.
点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水 平；
中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水 平；
平均数：反映一组数据的平均水平；
方差：反映一组数据偏离平均数的程度 ，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在
样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．
6、
【答 案】
D
【分析】
试题分析：双曲线的一条渐近线是 ，则 ①，抛物线 的准线是 ，因此
，即 ②，由①②联立得 ，所以双曲线方程为 ．因此正确答案为
D．
考点 ：双曲线的标准方程．
7、
【答 案】
A
【分析】
由已知得 ，再运用正弦、余弦二倍角、以及辅助角公式化简原式为 ，代入
可求得其值得选项.
【详解】
因为 ， 为等边三角形， ，即\angleBOx ，而 为三角形的内角
，
，
故选：A．
8、
【答 案】
A
【分析】
由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为 ，底面对角线长为 ，球的半径为
，所以几何体的表面积为： ，因此正确答案为A．
9、
【答 案】
A
【分析】
如图，连接 ，设 交 于 ，连接 ，则可得 ∥ ， ∥ ，从而结合已知条件可求
出两异面直线所成的角
【详解】
解：如图， 连接 ，设 交 于 ，连接 ，
因为在正方体 的面A 1C1，B1C，CD1的中心分别为O1，O2，O3，
所以 ∥ ， ∥ ，
所以直线 与直线O 2O3所成的角等于直线 与 所夹的角，
因为 ， 为 的中点，
所以 ，
所以直线 与直 线O2O3所成的角为 ，
故选：A
10、
【答 案】
B
【分析】
解：通过题意
由正弦定理 ，即 ，解得 ；
因此正确答案为：B
11、
【答 案】
B
【分析】
根据题意得，设 ，故当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为 ；当 截面
时，截面圆面积最小，此时截面圆半径为 ，截面面积为 ，进而得 ，故外
接球的半径为 .
【详解】
因为四棱柱 是直棱柱，且底面是正方形，
所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作 ，
过点 向底面 作垂线，垂足为 ，则 ，
连接 ，因为底面 是边长为6的正方形，所以点 为 的中点，
取 中点为 ，连接 ， ， ，如图，
设 ，则 ，所以外接球的半径为 ，
因为点 在线段 上，且满足 ，则 ，
又 ，所以 ，
因为直四棱柱中， 侧面 ， ，所以 侧面 ，
所以 ，又 底面 ，而 底面 ，所以 ，
又 ，故 平面 ，因 平面 ，所以 ，
则 ；
根据球的特征，过点 作直四棱柱 外接球的截面，
当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为 ；
当 截面时，截面圆面积最小，此时截面圆半径为 ，此时截面圆面积为
；
又截面面积的最大值与最小值之差为 ，
所以 ，
因此 ，即 ，所以 .
所以 球
故选：B
【点睛】
关键点点睛 ：本题解题的关键是找准过点 作几何体外接球的截面圆中面积最大为截面圆为过球心的截面圆，
面积最小的截面圆为与 垂直的的截面圆的面积，再根据几何计算即可得答案.
12、
【答 案】
B
【分析】
由题推导函数 关于点（2,1）对称即可求解
【详解】
因为
故函数 关于点（2,1）对称，则 b
故选B
【点睛 】
本题考查函 数的对称性，考查对数的运算，考查推理计算能力，是中档题
二、填空题
13、
【答案 】
【分析】
求导 ，计算 ，得到切线方程.
【详解】
，故 ，
故所求切线方程为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查 导数的几何意义，考查运算求解能力.
14、
【答 案】
3
【分析】
画出散点图，根据线性相关及点偏离程度判断应去掉的点.
【详解】
根据表格 数据，散点图如下图示：
显然 偏离程度最高，故去掉第三组.
故答案为：3
15、
【答 案】
3
【分析】
由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可.
【详解】
设等比数列 的公比为q，由 得 ，所以 ，所以 ， ，则
．
故 答案为：3.
16、
【答案 】
【分析】
设 ，则 ， ，所以线段 的长为 ，根据
结合同角三角函数基本关系可计算 的值，即可求解.
【详解】
设 ，则 ，由题意知 ，
所以 ，
因为 ， 所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
直线 与函数 的图象交于点 ，可得 ，
所以 ，
故答案为： .
三、解答题
17、
【答案 】
（1）x＝0.0044；（2）①70户；②3（户）．
【分析】
（1）由频率分布直方图，列出方程，能求出直方图中 的值．
（2）①先求出用电量在 ， 内的频率为0.7，由此能求出 在这些用户中，用电量在区间 ， 内的居
民数．
②用电 量在 ， 内的户数为30户，由此利用分层抽样的性质能求出用电量在 ， 内的居民数应该
抽取的户数．
【详解】
（1）由频 率分布直方图得：
（0.0012+0.0024×2+0.0036+x+ 0.0060）×50＝1，
解得直方图中x＝0.0044．
（2）①用电量在[100，25 0）内的频率为：
（0.0036+0.0060+0.0044）×50＝0.7，
∴在这些用户中，用电量在区间[100， 250）内的居民数为100×0.7＝70户．
②用电量在[150，200）内的户数为0.0060×50×100＝30 （户），
按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调 查，
用电量在[150，200）内的居民数应该抽取： （户）．
18、
【答 案】
（1） N ；（2） .
【分析】
（1）由an+1＞an，结合a2a9＝232，a4+a7＝a2+a9＝37，利用等差数列的性质可求a2，a9，进而可求公差d，即
可求解通项；
（2）由题意得 ，结合等差数列与等比数列的求和公式可求bn，即可
求解.
【详解 】
解：（1） 由an+1＞an，可得公差d＞0，
∵a2a
9＝232，a4+a7＝a2+a9＝37，∴a9＞a2，
∴ .
设公差为d，则d 3
∴an＝a2+3（n﹣2）＝8+3n﹣6＝3n+2.
2 （ ）由题意得： ，
＝（3 2n﹣1+2）+（3 2n﹣1+5）+（3 2n﹣1+8）+…+[3 2n﹣1+（3 2n﹣1﹣1）]
＝2n﹣1×3 2n﹣1+[2+5+8+…+（3 2n﹣1﹣4）+（3 2n﹣1﹣1 ] ）
而2+5+8+…+（3 2n﹣1﹣4 + ） （3 2n﹣1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的 项的和，
所以2+5+8+…++（3 2n﹣1﹣4）+（3 2n﹣1﹣1）
＝3 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
19、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）连接AC，因为 平面ABCD，
所以 是 与底面ABCD所成的角 .
所以 ，所以 ，
所以 .
（2）联结BD，则 ，
所以 就是异面直线 与 所成的角（或其补角）
中， ， ，
所以 ，
又 0, ，则
所以异面直线 与 所成角的大小为 .
20、
【答案 】
（1） ；（2）① ；②推断正确，定点 ．
【分析】
（1）利用椭圆过点 ，离心率 ，列式计算即得椭圆方程.
（2）①把 与椭圆C的方程联立，借助韦达定理、三角形面积公式即可求解作答；
②利用①中信息求出直线 的方程即可判断作答.．
【详解】
（1）因 分别表示标准正态分布的期望值与标准差，则 ，即椭圆过点 ， ，
又离心率 ，则 ，解得 ，
所以椭圆C的方程是 .
（2）①由（1）及已知得： ，消去x并整理得： ，
设 ，则 ，
于是得 ，直线 过定点
，
所以 面积 ；
②由①知， ，因直线 与x轴相交，则点 与 不重合，即 ，
由 得 ，
直线 的斜率 ， ，
直线 的方程为： ，即 ，
整理得： ，因此，直线 恒过点 ，
所以推断正确，定点坐标是 .
【点睛】
结论点睛： 过定点 的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点 ， ，则 面积
；
过定点 直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点 ， ，则 面积
.
21、
【答案 】
（I）当 时， 在区间 和 是增函数，在区间 是减函数.（II）取值范围是（1，6）
【分析】
【详解】
：因为第( Ⅰ)题中要求函数的单调区间,利用导数的正负即可求出,所以首先要求出函数的导数,然后解不等式
和 即可. 第(Ⅱ)小题是一个恒成立问题,转化为求函数的最值解决,所以要求出函数 在x≥0时
的最小值.
（I）
由 知，当 时， ，故 在区间 是增函数；
当 时， ，故 在区间 是减函数；
当 时， ，故 在区间 是增函数.
综上，当 时， 在区间 和 是增函数 ，在区间 是减函数.
（II ）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值.
由假设知
即 解得
故 的取值范围是（1，6）
22、
【答 案】
（1） ，2；（2）2.
【分析】
（1）将圆C的极坐标方程化为圆的标准方程，即可得出圆C的圆心坐标及半径；
（2）利用极经的应用和三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】
（1）圆 的极坐标方程为 ，
所以 ，
根据 得直角坐标方程为 .
所以圆的圆心坐标为 ，半径为2.
（2）直线 的极坐标方程为 .
所以，整理得 ，
所以 ， .
所以 .
由于 为等腰三角形.
所以弦 上的高 ，
所以 .
23、
【答 案】
（1） （2）证明见解析
【分析】
1 化为分段函数即可求出不等式的解集 2 根据偶函数的性质求出函数m的值，再根据三角绝对值不等式求出t
的值，再根据基本不等式即可证明．
【详解】
（1） ，则
①由 可得 ②由 无解 ③ 可得 ；
综上 的解集为 ，
证明：（2）因为函数 为偶函数，所以 ，此时 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 当且仅当 时，取“ “ ，
所以 ，
即 ．
【点睛】
本考主要 查了利用绝对值三角不等求最小值和基本不等式，考查了转化思想和计算能力，属中档题．