2022~2023学年四川成都金牛区成都外国语学校高三上学期期末文科数学试卷（图片版，含解析）

2022~2023学年四川成都金牛区成都外国语学校高三上学期期末文科数学
试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、设集合 ， ，则以下集合 中，满足 的是
（ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知 ，则 =（ ）
A.3
B.
C.
D.2
3、某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气
温，得到如下图表：
某地区2022年8月份每 天最高气温与最低气温
根据图表判断，以下结论正确的是（ ）
A.8月每天最高气温的平均数低于35℃
B.8月每天最高气温的中位数高于40℃
C.8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差
D.8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差
4、已知直线 是圆 在点 处的切线，则直线 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
,
5、若不等式组 所表示的平面区域被直线 分成面积相等的两部分，则实数m的值为
（ ）
A.1
B.
C.
D.
6、三棱锥 的底面 为直角三角形， 的外接圆为圆 底面 ， 在圆 上或内部，
现将三棱锥的底面 放置在水平面上，则三棱锥 的俯视图不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、将函数 sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
3
的图象，直线 与曲线 仅交于 ， 三点， 为 的等差中
6
项，则 的最小值为（ ）
A.8
B.6
C.4
D.2
8、已知数列 的前 项和 ，且满足 ， （ ）
A.1012
B.1013
C.2021
D.2036
9、若函数 ， 的图象都是一条连续不断的曲线，定义： .若函数
和 的定义域是 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10、把一个三边均为有理数的直角三角形面积的数值称为同余数，如果正整数 为同余数，则称 为整同余数.在
中， ， 绕 旋转一周，所成几何体的侧面积和体积的数值之比为 ，若 的面积
为整同余数，则 的值可以为（ ）
A.
B.
C.
D.
11、已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆 的半径为1，过点 的直线与圆 相切于点 ，
则 的最小值为（ ）
A.7
B.8
C.9
D.10
12、设 ， ， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设向量 ，且 ,则 ．
14、近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，
增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两
大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份序号x 1 2 3 4 5
报考人数y（万人） 1. 1 1.6 2 2.5 m
根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为 ，则m的值为 .
15、 中， ， ， ， 是 上一点且 ，则 的面积为 .
16、已知棱长为8的正方体 中，点E为棱BC上一点，满足 ，以点E为球心，
为半径的球面与对角面 的交线长为 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
为了检测产品质量，某企业从甲、乙两条生产线上分别抽取 件产品作为样本，检测其质量指标值，质量指标
值的范围为 .根据该产品的质量标准，规定质量指标值在 内的产品为“优等品”，否则为“非优等
品”.抽样统计后得到的数据如下：
质量指标值
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
(1)填写下面的 列联表，计算 ，并判断能否有 的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关；
优等品 非优等品 合计
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
合计
(2)由于样本中来自乙生产线“非优等品”的个数多于来自甲生产线的，为找出原因，该厂质量控制部门在抽出
的“非优等品”中，按甲、乙生产线采用分层抽样的方法抽出 件产品，然后再从中随机抽出 件产品进行全面分
析，求其中至少有 件是乙生产线生产的产品的概率.
附： ， .
k
18、（本小题8分）
已知 为数列 的前n项和， .
(1)求数列 的通项公式；
为奇数
(2)记 ，求 前 项的和.
为偶数
19、（本小题8分）
如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， 平面ABC， ，
，E，F分别为棱AB和 的中点.
(1)在棱 上是否存在一点D，使得 //平面EFC？若存在，确定点D的位置，并给出证明；若不存在，试说
明理由；
(2)求三棱 锥 的体积.
20、（本小题10分）
已知椭圆 的离心率为 ，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为 .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点F为E的右焦点， ，直线l交E于P，Q（均不与点A重合）两点，直线 的斜率分别为
， ， ，若 ，求△FPQ的周长
21、（本小题12分）
已知函数 在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求 的取值范围；
(2) 记两个极值点为 ，且 . 若 ，证明：e .
22、（本小题12分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数)，直线 的参数方程
.为参数).若直线 的交点为 ，当 变化时，点 的轨迹是曲线
（1）求曲线 的普通方程；
2 （ ）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线 ： ，已
知点 在曲线 上，点 到直线 和极轴的距离分别为 ，求 的最大值.
23、（本小题12分）
设函数 .
(1)若 的解集为 ，求实数 的值；
(2)若 ，且 ，求 的最小值.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
根据一元二次不等式的解法，结合指数函数的单调性、集合补集、交集、子集的定义进行求解即可.
【详解】
由 ，
所以 ，
由 ，
所以 ，显然只 有选项C中集合 是集合 的子集，
故选：C
2、
【答 案】
D
【分析】
根据复数的运算和复数相等的概念求解.
【详解】
由 可得 ，
所以 解得 ，所以 ，
故选:D.
3、
【答 案】
D
【分析】
由某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温的折线图知，
对于A，8月1日至9日的每天最高气温的平均数大于35℃，25日 至28日的每天最高气温的平均数大于35℃，
29日至31日每天最高气温大于20℃小于25℃，与35℃相差总和小于45℃，而每天最高气温不低于40℃的有7
天，
大于 37℃小于40℃的有8天，它们与35℃相差总和超过45℃，因此8月每天最高气温的平均数不低于35℃，A有
误；
对于B ，8月每天最高气温不低于40℃的数据有7个，其它都低于40℃，把31个数据由小到大排列，中位数必小
于40，
因此8月 每天最高气温的中位数低于40℃，B有误；
对于C，8月前半月每天最高气温的数据极差小，波动 较小，后半月每天最高气温的极差大，数据波动很大，
因此8月前半月每天最高气温的方差小于后半月最高气温的方差，C有误；
对于D，8月每天最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，
每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，因此8月每天最 高气温的方差大于每天最低气温的方
差，D无误.
因此正确答 案为：D
4、
【答 案】
D
【分析】
当直线的斜率不存在时，直线l： ，此时，圆心到直线的距离为3<5,不合题意；
当直线的斜率存在时，可设直线l： ，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即 ，解得： ，
所以直线l： ，即 .
因此正确答案为：D
5、
【答 案】
A
【分析】
如下图所示，不等式组 , 所表示的平面区域为 ，
为 的中点，
解得： 、 、 、
， 此直线过定点 .
只要直线 过点 ，
就可以将 分成面积相等的两部分.
设直线的斜率为 ，
则 ，即 ，解得 .
因此正确答案为：A.
6、
【答 案】
D
【分析】
由三棱锥 的结构特征，底面 为直角三角形，不妨设 ，则 的外接圆圆心 即
为 的中点；
又 在圆 上或 内部，
当 点与 点重合时，三 棱锥如下图所示，
由 底面 可知，此时三棱锥 的俯视图为A选项；
当 点满足 为外接圆直径时，三棱锥如下图所示，
由 底面 可知，此时三棱锥 的俯视图为B选项
当 点与圆心 重合时，三棱锥如下图所示，
由 底面 可知，此时三棱锥 的俯视图为C选项；
因此，选项ABC均有可能，俯视图不可能为选项D.
因此正确答案为：D.
7、
【答 案】
C
【分析】
通过题意将函数 sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，
3
纵坐标不变，得到函数 的图象，则 sin ，
3
因为直线 与曲线 仅交于 ， 三点， 为 的等差中项，
6
由于 ， 在直线 上,故 为 的等差中项，
6 6
不妨设 ，
6 6
则 ，
3 6 3 3
即 ，
6
若 ，则cos ，即 , Z，此时直线 与曲线 不止三个交点，不合题
意；
故 ，结合 sin 的对称性，可得有直线 与曲线 仅有3个交点，
6 3
即 必为函数 的对称中心，
6
即 sin ，故 , Z, , Z，
3 3
因为 ，故 时， 的最小值为4，
因此正确答案为：C
8、
【答 案】
B
【分析】
由 ，推得 ，得到数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，求得 和 ，
进而得到 ，再结合等比数列求和公式，即可求解.
【详解】
由数列 的前 项和 ，且满足 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，解得 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
则 ，所以 ，
所以
.
故选：B
【点晴】
方法点睛 ：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式 法直接求和；
（2）对于 型数列，其中 是等差数列， 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于 型数列，利用分组求和法；
（4）对于 型数列，其中 是公差为 的等差数列，利用裂项相消法求和.
9、
【答 案】
A
【分析】
令 ,求导可得函数的单调性，进而可得 + ，+ ，由 可得 ，即可
得出结果.
【详解】
令 ，则 = ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
， ，+
+ + ， ， ，即 .
“ ”是“ ” 的充分不必要条件.
故选：A.
10、
【答 案】
B
【分析】
绕 旋转一周，所成几何体的为圆锥，求出圆锥侧面积、圆锥的体积，利用 得
，逐项检验可得答案.
【详解】
绕 旋转一周，所成几何体的为圆锥，
则圆锥侧面积为 ，
圆锥的体积为 ，
所以 ，可得 ，
，
对于A，若 ，则 ，可得 ， ，可得
，
由 可得 ，
因为 ，所以 无解，故A错误；
对于B，若 ，则 ，可得 ， ，可得 ，
由 解得 或 ，即 的三边都是有理数，故B正确；
对于C，若 ，则 ，可得 ， ，
可得 ，
由 可得 ，
所以 ，即 ，
解得 ，或 ，
所以 、 是无理数，故C错误；
对于D，若 ，则 ，可得 ， ，可得 ，
由 可得 ，
所以 ，即 ，
解得 ，或 ，
所以 、 是无理数，故D错误.
故选：B.
11、
【答 案】
B
【分析】
由题作图，由图可得 ，根据抛物线定义可得 等于点 到准线 的距离，根据图
形可得最小值情况，从而可得 的最小值.
【详解】
解：因为抛 物线 ，所以焦点坐标为 ，如下图所示：连接 ，过 作 垂直准线
于 ，
则在直角 中， ，
所以
，
由抛物线的定义得： ，
则由图可得 的最小值即抛物线顶点 到准线 的距离，即 ，
所以 .
故选：B.
12、
【答案 】
A
【分析】
构造函数 ，利用导数确定函数的单调性可得
，即可判断 大小关系；估计实数 与
的大小关系及大致倍数关系，构造函数 ，利用导数确
定单调性可得 ，从而结合正弦函数的单调性可比较
大小，即可得结论．
【详解】
解：设 ，则 ，
设 ，则 恒成立，所以 在 上单
调递增，
所以 恒成立，则 在 上单调递增，
故 ，即 ，所以
；
因为 ， ，则 ，
设 ，则 ，又设
，
故 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 恒成立，则 在 上单调递减，
则 ，
又 ，则 ，
即 ；
综上， .
故选：A．
二、填空题
13、
【答案 】
【分析】
由 得 ，根据 得 ，解得
，
因此正确答 案为：
14、
【答 案】
2.8
【分析】
， ，
，
，
解得 .
因此正确答案 为：2.8.
15、
【答 案】
【分析】
由正弦定理得： ，又因为
所以 ，且 ，
即 ，所以 ，又由 且
所以 ，而
所以 ，又因为 ，所以
所以 ，而
又因为 ，所以
又因为 ，且 为锐角，所以
即 ，在直角三角形 中 ,
并且 ，所以 ，
所以 的面积为： .
因此正确答案为：
16、
【答案 】
【分析】
如下图所示：过点 作 于 ， 为球面与对角面 的交线上一点，
平面 ， 平面 ，故 ， ，
且 ， 平面 ，故 平面 ，
，故 ， ，则 ，
故 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆的一部分，如下图所示：
， ，故 ，交线长为： .
因此正确答案为：
三、解答题
17、
【答案 】
(1)答案见解析，理由见解析
(2)
【分析】
（1）根据题中信息完善 列联表，计算出 的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知甲生产线应抽出 件产品，分别记为 、 、 ，乙生产线应抽出 件产品，分 别记为 、 、 、
，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概
率.
【详 解】
（1）解： 依题意可得 列联表如下表所示：
优等品 非优等品 合计
甲生产线生产的产品数量
乙生产线生产的产品数量
合计
所以， ，
所以，没有 的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关.
（2）解：由列联表可知，甲、乙生产的“非优等品”之比为 ，
按甲、乙生产线采用分层抽样的方法抽出 件产品，则甲生产线应 抽出 件产品，分别记为 、 、 ，
乙生产线应抽出 件产品，分别记为 、 、 、 ，
从随机抽出 件产品，所有的情况为： 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种 ，
其中，至少有 件是乙生产线生产的产品所包含的情况有： 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种，
故所求概率为 .
18、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）解：因为 ，
所以，当 时， ，解得 ，
当 时， ， ，
所以 ，即 ，
所以，数列 是等比数列，公比为 ，首 项为 ，
所以，数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知 ，
所以 为奇数 为偶 数 ，
记 前 项的和为 ，
所以，
.
19、
【答 案】
(1)答案见解析；
(2) .
【分析】
（1） 的中点D， 的中点M，可证明 // ， // ，根据面面平行的判定定理可得平面
//平面 ，即可证明 //平面 ；
（2）点 到 的距离为 ，根据等面积法 可求 ，由面面垂直的性质可得点 到 的距离即为点 到平
面 的距离，利用 可求解.
【详解】
（1）存在 点D，使得 //平面EFC.
取 的中点D， 的中点M，连 接 ,则 // .
因为E，F分别为棱AB和 的中点，
所以 // ,所以 // .
连接 ,则 // .
因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 //平面 .
因为 平面 ,所以 //平面 .
所以存在D(D为 中点)，使得 //平面EF C.
（2）求三棱锥 的体积相当于求三棱锥 的体积.
因为 平面ABC， 平面 ，所以平面 平 面ABC.
设点 到 的距离为 ，则有 ，其中 ，
解得 .
因为平面 平面ABC，平面 平面ABC= ,
所以点 到 的距离即为点 到平面 的距离,为 .
在正方形 中， ，则 ，
, .
取 的中点 ，连接 ,则 ，
所以 .
所以 ,
所以 .
所以三棱锥 的体积为 .
20、
【答 案】
(1) ；
(2)
【分析】
（1）因为椭圆的离心率为 ，故 ，故 ，
因为依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为 ，故 ，
所以 ，故 ，
故椭圆方程为： .
（2）设直线 ， ，
则 ， ，故 ，
故
，
由 可得 ，
故 ，
整理得到 ，
又 ，
故
，
故 或 ，此时均满足 .
若 ，则直线 ，此时 直线恒过 ，与题设矛盾，
若 ，则直线 ，此时直线恒过 ，
而 为椭圆的左焦点，设为 ，
故 的周长为 .
21、
【答 案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）将 在 有两个不同根转化为方程 在 有两个不同根，再构造函数
，利用导数研究函数 的单调性和最值，进而求出 的取值范围；
（2）两边取对数，将证明 转化为证明 ，再利用（1）合理转化，将问题转
化为证明 恒成立，再通过求其最值进行证明.
【详解】
（1）由题 意知，函数 的定义域为 ， ，
方程 在 有两个不同根，
即方程 在 有两个不同 根，
即方程 在 有两个不同根，
令 ， ，则 ，
则当 时， ， 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又因为 ，当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围为 ；
（2）要证e ，两边取对数，等价于要证 ，
1 由（ ）可知 ， 分别是方程 的两个根，
即 ，
所以原式等价于 ，因为 ， ，
所以原式等价于要证明 .
又由 ， 作差得， ，即 .
所以原式等价于 ，令 ， ，
则不等式 在 上恒成立.
令 ， ，
又 ，
当 时，可见 时， ，
所以 在 上单调增，
又 ， ，
所以 在 恒成立，所以原不等式恒成立.
【点睛】
方法点睛： 利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数 的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据
要求得所求范围.
（2）函数思想法 ：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构
建不等式求解.
22、
【答 案】
（1） ；（2）最大值 .
【分析】
（1）消参得到直线 直线 普通方程，再联立消参得到交点轨迹方程
（2）求得直线 的直角坐标方程为： ，由 设点 坐标为
，由点到直线距离公式再利用辅助角公式得解.
【详解】
（1） ( 为参数， )，
消去参数 ，得曲线 的普通方程为 整理得
（2）由 ： 得， ；
因为 ，代入直线 的直角坐标方程为： ，
即为
由 得，圆 的参数方程为 ( 为参数，且 + )
（2）设点 坐标为
则
又
那么
当 时， 取得最大值 .
23、
【答案 】
(1) ;
(2)9.
【分析】
（1）解：不等式可化为
，
两边同时平方可得： .
原不等式解集为
，
即 .
；
（2）解：因为
即 ，
因为
关于直线 对称，
，
，即 .
所以 ，
当且仅当 ，即 时取
所以 的最小值为9.