2022~2023学年四川凉山高二下学期期末数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023学年四川凉山高二下学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知集合 ，则 （ ）
A. 或
B. 或
C.
D.
2、复数 的虚部为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、下列函数中，满足对任意的 ，都有 的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A.2
B.
C.
D.
5、在正方体 中， 分别为 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为
（ ）
A． B． C． D．
6、已知 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
7、将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度后，得到的图象关于 轴对称，则 的可能取值为
（ ）
A． B． C． D．
8、已知向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
9、已知 是函数 的一个零点，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A.1012
B.
C.2023
D.
11、已知直线 与抛物线 交于 两点，与圆 交于 两点， 在 轴
的同侧，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12、设 ，且满足 ，则下列判断正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 ，则 的值为 .
14、若向量 ，则 的面积为 .
15、曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 .
16、已知函数 .给出下列四个结论：①函数 的图象存在对称中心；②函数 是 上的
偶函数；③ ；④若 ，则函数 有两个零点.其
中，所有正确结论的序号为 .
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17、（本小题8分）
已知 是等差数列，且 .
(1)求 的通项公式；
(2) 设 ，求数列 的前 项和 .
18、（本小题8分）
某高速交警分局为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初一上午9：00~10：40这一时
间段内有1000辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：00~9：20记作区间
，时间段9：20~9：40记作区间 ， 记作 记作
记作 ，例如：10点03分，记作时刻63.
(1)估计这1000辆车在9：00~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值 （同一组中的数据
用该组区间的中点值代表）；
(2)为了对数据进行分析，现采 用分层抽样的方法从这1000辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰
有1辆为9：00~10：00之间通过的概率是多少？
19、（本小题8分）
如图，在棱长为2的正方体 中，点 为线段 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
20、（本小题10分）
已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 交 椭圆 于 两点，求 的取值范围.
21、（本小题12分）
已知函数 .
(1)当 时，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 存在极大值点 ，且 ，求 的取值 范围.
22、（本小题12分）
cos
在平面直角标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为
sin
极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 cos .
(1)求曲线 的普通方程；
(2)若 为曲线 上一动点 ，求点 到直线 距离的取值范围.
23、（本小题12分）
已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为 ，求 的最小值 .
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
根据题意利用集合的并集运算求解.
【详解】
由题意可 得： .
故选：C.
2、
【答 案】
D
【分析】
由题得 ,即得复数 的虚部.
【详解】
由题得 .
所以复数 的虚部为 .
故选：D
【点睛】
本题主要考 查复数的乘法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3、
【答 案】
A
【分析】
根据给定的条件可判断函数在 上是增函数，依次判断选项在该区间内的单调性即可得解.
【详解】
对任意的 ，有 ，
则函数 在区间 上是增函数，
对于A，由 在定义域 单调 递增，故A正确；
对于B，由 在定义域 单调递减，故B错误；
对于C， 在定义域R上单调递减，故C错误；
对于D，设 ，则 ，所以 ，
可得 ，则 在 上单调递增，
设 ，则 ，所以 ，
可得 ，则 在 上单调递减，故D错误.
故选：A.
4、
【答 案】
B
【分析】
根据渐近线方程可得 ，再由 可求得结果.
【详解】
因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B
5、
【答 案】
B
【分析】
略
6、
【答 案】
B
【分析】
根据对数函数和指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】
因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上单调递增， ，
所以 ，即 ，
因为 在 上单调 递增，且 ，
所以 ，得 ，即 ，
所以 ，
故选：B
7、
【答 案】
B
【分析】
略
8、
【答 案】
A
【分析】
由共线向量基本定理进行判断.
【详解】
若 ， 则 ，
此时 ，所以 ；
若 ，由共线向量定理，得 ，
解得 ，
所以，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：A
9、
【答 案】
B
【分析】
依题意可得 ，再根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】
依题意 ，所以 ，
所以 .
故选：B
10、
【答 案】
D
【分析】
根据数列 的通项公式，可求得 ，依此类推，即可求解.
【详解】
∵ ，
故
故
.
故选：D.
11、
【答 案】
A
【分析】
略
12、
【答案 】
D
【分析】
直接比较 ， 的大小不好比较，可以作差比较 和 的大小，求得 ，构造函数
，利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，
，
构造函数 ；
；
；
在 单调递增．且 ；
当 时， ，当 时 ；
， 当 时， 即 ，
，
当 时， 即 ，
，
综上可得， 大小关系不确定， 一定成立，
故选：D．
【点睛】
本题出题意 图在于通过构造函数，并判断其单调性，进而比较代数式的大小.其中恰当的构造函数是解答本题的
关键.
二、填空题
13、
【答 案】
1
【分析】
由 ，得到 ，再利用对数运算求解.
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
，
所以 ，
故答案为：1
14、
【答 案】
1
【分析】
根据条件，利用数量积求出 的余弦值，再利用平方关系得出 ，再利用面积公式即可求
出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，所以
，
所以 ，
故答案为：1.
15、
【答 案】
/
【分析】
由题意可得 ，从而可求出 的值.
【详解】
由 ，得 ，
因为曲线 在点 处的切线与直线 平行，
所以 ，得 ，
故答案为：
16、
【答案 】
②③
【分析】
略
三、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）直接根据等差数列公式计算得到答案;
（2）确定 ，再根据等比数列求和公 式计算即可.
【详解】
（1）设等 差数列 的公差为 ，且 ，
则 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
即数列 的前 项和为 .
18、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）运用频率分布直方图中平均数公式计算即可;
（2）运用分层抽样比计算各段所抽取的车辆数，再 运用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】
（1）这10 00辆车在9：0010：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为
，
即： .
（2）由题意知， 时间段内抽取车辆数为 ，
分别记为： ，
时间段内抽 取车辆数为 ，分别记为： ，
所以从这5辆车中随机抽取3辆的基本事件有： ，
共10个，
恰有1辆为9：00~10：00之间通过的基本事件有： ，
共有6个，
所以恰有1辆为 之间通过的概率为 .
19、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）首先证出 ，由线面平行的判断定理即可证出.
（2）记点 到平面 的距离为 ，利用 ，结合锥体的体积公式即可求解.
【详解】
（1）在正 方体 中， 且 ，
且
所以 且 ，
则 .为平行四边形，
所以 ，又 平 面 平面 ，
所以 平面 .
（2）记点 到平面 的距离为 的面积为S，则由题意可知 .
在 中，由余弦定理得cos ，
则sin
所以 ，
则 ，又 ，
所以 ，
即点 到平面 的距离为 .
20、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
略
21、
【答案 】
(1)0
(2)
【分析】
（1）对函数求导后，可求得函数在 上单调递增，从而可求出其最大值；
（2）分 ， ， 和 四种情况讨论，求出函数的单调区间 和极值，再由极大值点 ，且
，可求出 的取值范围.
【详解】
（1）当 时， ，
则 ，
当 时， ，
所以函数 的在区间 上单调递增，
即当 时，函数 在区间 上的最 大值为 .
（2） ，
当 时，令 ，得 ，
则 时， ； 时， ，
所以函数 仅有唯一极小值点 ，不合题意 ；
当 时，令 ，得 或 ，
若 ，即 时，由（1）小题可知，不合 题意；
若 ，即 时， ， ； ， ，
所以函数的极大值点 ，则 符合题意；
若 ，即 时， ， ； ， ，
所以函数的极大值点 ，则 ，得 ；
综上所述， 的取值范围为 .
【点睛】
关键点点 睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值点问题，解题的关键是对函数求导后，分
类讨论函数的极值，考查分类思想和计算能力，属于较难题.
22、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）利用 求得 的普通方程；
（2）将直线 的极坐标方程化为普通方程，设点 ，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数
的有界性可求得点 到直线 距离的范围．
【详解】
（1）由 得 ，
再由 可得 ，
所以 的普通方程为 ；
（2）直线l可化简为 ，
将 代入直线l方程可得 ，
设 ，
则 ，
，
∴ ．
23、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
略