山东省胶州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

胶州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学
一．单选题（每小题5分）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
3．设，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度（当地是半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）
A．北纬 B．北纬 C．南纬 D．南纬
5．已知，则角的终边在（ ）
A．第二象限 B．第三象限 C．第二象限或第四象限 D．第四象限
6．已知，则（ ）
A．3 B． C． D．2
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．零向量与任意向量共线
C．互为相反向量的两个向量的模相等
D．若向 ，满足，则
10．如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈。则该质点到x轴的距离y是关于运动时间t的函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数y的最小正周期是 B．函数y的最小正周期是
C． D．
11．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图像关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．可能等于6 B．为偶函数
C．的一个周期为 D．在上单调递减
三、填空题（每小题5分）．
12．______．
13．若是方程的两个实数根，则______．
14．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则______．
四、解答题
15．（13分）已知均为锐角，且，
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（15分）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，求函数的值域．
17．（15分）如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设．
（1）设，求的取值范围及，
（2）求面积的最小值．
18．（17分）已知函数．
（1）求的对称轴方程；
（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
19．（17分）已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对．
（1）若，求函数的“平衡”数对；
（2）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（3）若，且均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
胶州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学答案
一、单选题
1．B 2．B 3．B 4．C 5．D 6．A 7．A 8．A
二、多选题
9．BCD 10．AD 11．AD
三、填空题
12．4 13． 14．3
四、解答题
15．【详解】解：（1）
（2）
16．【详解】（1）令，则，
由，待，即，解得，
即，解得，所以的取值范围是．
（2）当时，，叨，
当时，，
当时，，
所以函数的值域为．
17．【详解】（1）因为为等腰直角三角形，为线段的中点，
所以．
因为点在线段上运动，所以，
因为，所以，
所以．
（2）因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为．
18．【详解】（1）易知
令得
所以的对称轴方桯为．
（2）因为，则，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0，如下图所示，
令，则
依题意得在上仅有一个实根，此根应该在区间上，
令，因为
则需或
解得或；
可得实数的取值范围是或．
19．【详解】（1）根据题意可知，对于任意实数，
即，即对于任意实数恒成立，
只有，故函数的“平衡”数对为，
（2）若，则，
，
要使得为“可平衡”函数，需使对于任意实数均成立，只有，
此时，故存在，所以是“可平衡”函数．
（3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有成立，
则
，
均为函数的“平衡”数对，
，
，设，函数单调递增，
，即的取值范围为．