菏泽外国语学校22023-2024学年度第二学期第一次月考
高三年级数学试题
满分：150分 时间：100分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量.若，则实数（ ）
A．1 B． C．9 D．
3．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
5．在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．圆台的上、下底面半径分别是，，圆台的高为4，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
7．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
8．在的展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
10．下列说法中正确的是（ ）
A．线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好
B．已知随机变量服从二项分布，若，，则
C．已知随机变量服从正态分布，若，则
D．已知随机事件，满足，，则
11．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则
B．若，则函数在上的值域为
C．将函数图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为
D．若函数在上恰有一个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设集合，，若，则实数的取值范围是 ．
13．某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为 .
14．函数的单调递增区间是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．求角的大小．
16.（15分）已知函数．
(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；
(2)讨论的单调性．
17．(15分)为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区10万人中随机抽取了200人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，按，，，，分组，得到该项指标值频率分布直方图如图所示.同时发现这200人中有120人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于60的有80人.
(1)填写下面的列联表，判断是否有95%的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于60有关”.
指标值小于60 指标值不小于60 合计
有抗体
没有抗体
合计
(2)以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，求产生抗体的人数的分布列及期望.
附：，其中n=a+b+c+d.
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.（17分）已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
19.（17分）已知椭圆经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.菏泽外国语学校2023-2024学年度第二学期第一次月考
高三年级数学试题答案
参考答案：
一、单选题
1-5：BBBDB
6-8：CCC
二、多选题
9．ABC 10．BC 11．ACD
三、填空题
12． 13．10.8 14．
四、解答题
15．(1)(2)
【分析】
（1）根据余弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，结合正弦型函数单调性进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合正弦定理、两角差的正弦公式进行求解即可.
【详解】（1）
，
令，，
得，，，
所以的单调递增区间为；
（2）
由（1）知，，
又，∴，所以，，
由正弦定理及，得，，
∴，整理得，，
又，∴，所以角B的大小为.
16．(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解.
【详解】（1），则
即解得，经验证满足题意，
（2）
令解得或
1°当时，在上单调递增
2°当时，在，上单调递增，上单调递减
3°当时，在，（上单调递增，上单调递减
17．(1)列联表答案见解析，有的把握认为“注射疫苗后人体产生抗体与指标值不小于60有关”
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）由频率分布直方图求出样本中指标值不小于60和标值小于60的人数，即可完成列联表，计算出卡方，即可判断；
（2）首先求出注射疫苗后产生抗体的概率，依题意可得，根据二项分布的概率公式得到分布列，即可求出数学期望；
【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，样本中指标值不小于60的人数为，则标值小于60的人数为80.
所以列联表如下：
指标值小于60 指标值不小于60 合计
有抗体 40 80 120
没有抗体 40 40 80
合计 80 120 200
.
所以有的把握认为“注射疫苗后人体产生抗体与指标值不小于60有关”.
（2）解：注射疫苗后产生抗体的概率，
由题可知，，
∴，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
所以.
18．(1)
(2)
【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可；
(2)利用裂项相消求和.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，，成等比数列，所以，
即，所以，
联立解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程；
（2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积.
【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，
把点的坐标代入方程，得，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）联立方程组消去，得.
解得或不妨设，，则.
