人教A版（2019）数学高中二年级下学期期中复习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）数学高中二年级下学期期中复习题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 9.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-01 00:33:34 | ||
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文档简介
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人教A版（2019）数学高中二年级下学期期中复习题
一、单选题
1．在等差数列 和 中， ， ， ，则数列 的前100项和为 （ ）
A．0 B．100 C．1000 D．10000
2．在等比数列 中， ，公比 ，则 （ ）
A．5 B．7 C．9 D．12
3．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
4．已知数列 ，则 是这个数列的第（ ）项
A．20 B．21 C．22 D．23
5．数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、多选题
6．下列是递增数列的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列 的前 项和为 ,则下列说法正确的是（ ）
A．若 则 是等差数列
B．若 则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
D．若 是等比数列，且 则
三、填空题
8．已知 为等比数列， ， ，那么数列 的公比为 ，数列 的前5项的和为 ．
9．已知等比数列 ， ， ，则 ．
10．已知数列 为等比数列， ，则 .
11．已知数列 满足 ，数列 满足 ，则 ．
12．已知复数，对于数列，定义为的“优值”．若某数列的“优值”，则数列的通项公式 ；若不等式对于恒成立，则k的取值范围是 ．
四、解答题
13．已知等比数列{an}的公比q＞1，a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（1）求q的值；
（2）设数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n，且b1＝1，求数列{bn}的通项公式．
14．已知等差数列和等比数列满足，设数列的公比为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求.
15．观察下列等式：
……
（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
16．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求等差数列的首项和公差；
（2）求证数列是等差数列，并求出其前项和.
17．在① ；② ；③ 是 与 的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 为等比数列，其前 项和 为常数， ，
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 其中 表示不超过 的最大整数，求 的值.
18．已知 是无穷数列.给出两个性质：①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使得 ；②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ，使得 .
（1）若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
（2）若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（3）若 是递增数列， ，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等差数列.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】由题可知数列 是以 为首项，以等差数列 和 的公差和为公差的等差数列，故 ，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，推出数列 是以 为首项，以等差数列 和 的公差和为公差的等差数列，再利用已知条件结合等差数列前n项和公式，从而求出数列 的前100项和。
2．【答案】D
【解析】【解答】根据已知条件，容易得
故可得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由等比数列代入数值计算出结果即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则=2，，
因为，所以，即得.
故答案为：C
【分析】根据题意转化为等差数列问题，利用等差数列通项公式和前n项和公式基本量运算，即可求解出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】由 ，得
即 ，
解得 ，
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法找出规律，从而求出数列通项公式，从而求出 是这个数列的第23项。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵数列 是递增的整数数列 ，
∴n要取最大，d尽可能为小的整数，
故可假设d=1
∵a1=3，d=1
∴an=n+2
∴
则S11=88<100，S12=102>100，
故n的最大值为11.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.
6．【答案】B,C
【解析】【解答】解：对于A中，数列，可得，
所以数列为摆动数列，不符合题意；
对于B中，数列，可得，符合题意；
对于C中，数列，可得，
当时，可得，符合题意；
对于D中，数列，可得，
当时，可得不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据数列单调性性的定义，逐项判定，即可求解.
7．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A选项，若 ，当 时， ， 不满足 ，故A错误；
对于B选项，若 ，则 ，由于 满足 ，所以 是等比数列，故B正确；
对于C选项，若 是等差数列，则 ，故C正确.
对于D选项，当 时， ，故当 时不等式不等式，故 不成立，所以D错误.
故答案为：BC
【分析】 对于选项A，由题设求得数列的前3项即可判断其正误；对于选项B，先利用求得数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断其正误即可；利用等差数列的前n项和公式与性质可判断选项C的正误；对于选项D，可用当 时求得的 与 判断其正误．
8．【答案】；31
【解析】【解答】解：由题意得，则,
则 数列 是以为首项，以为公比的等比数列，
则所求前5项之和为
故答案为：，31
【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式直接求解即可.
9．【答案】64
【解析】【解答】等比数列 ， ， ，设公比为q，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：64
【分析】直接根据等比数列的通项公式即可求出．
10．【答案】81
【解析】【解答】设数列 的公比为q，由题意知，
因为 ，由等比数列通项公式可得，
，解得 ，
由等比数列通项公式可得，
.
故答案为：
【分析】设数列 的公比为q，利用等比数列通项公式求出 ，代入等比数列通项公式即可求解.
11．【答案】
【解析】【解答】由题设 ，当 时， ．
，
又 满足， ， ．
当 为奇数时， ；当 时， ；当 时，
．
故答案为：
【分析】 由题设可知当 时，，两式作比，可求出数列 的通项公式为， 进而求得，由余弦函数的特点可知当 为奇数时， ；当 时， ；当 时， ，再利用等比数列求和公式即得结果。
12．【答案】n+1；
【解析】【解答】由得，所以，进而可得，当时，，两式相减得，当时，也符合.故
，即可
当为偶数时， (当时等号成立)，故
当为奇数时， (当时等号成立)，故，故对于恒成立，则
故答案为：n+1，
【分析】根据题意结合复数的运算性质整理化简，由此得出数列的通项公式结合已知条件即可得出不等式，再对n分情况讨论即可得出k的取值范围，由此即可得出答案。
13．【答案】（1）解：因为a3+2是a2，a4的等差中项，所以 ，
因为a2+a3+a4＝28，所以
因此 ；
（2）解：
因为数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n，
所以
当 时，
因为 时也满足 ，因此
从而
相减得
即
当 时也满足 ，所以
【解析】【分析】 （1）由等差中项的定义和等比数列的通项公式，解方程可得q；
（2）运用等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的恒等式、数列的错位相减法求和，化简整理计算可得所求通项公式．
14．【答案】（1）设的公差为，
由，得，
又，得，
联立解得，或，
因为，
故舍去，
所以，
.
（2）由（1）有，
因为
所以数列是以首项为4，公比为的等比数列
【解析】【分析】（1）利用等差、等比数列通项公式列方程组，求出公差、公比，代入相应通项公式即可.
(2)代入求得数列是以首项为4，公比为的等比数列，利用等比数列求和公式即可.
15．【答案】（1）解： ．
（2）证明：①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边
∴当 时，等式成立；
②假设当 时等式成立，即
则当 时
左边
右边
∴当 时，等式也成立
由①②可知，对一切 ，等式都成立
【解析】【分析】 （1）直接由已知等式归纳得结论；
（2）验证n=1时结论成立；归纳假设n=k时结论成立，利用归纳假设证明n=k+1时结论成立，最后下结论．
16．【答案】（1）解：由题意可得，解得.
（2）证明：由（1）可知，所以，故.
当时，；当时，，
因此数列是等差数列，首项为，公差为.
所以等差数列的前项和.
【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式可得，即可解得；
（2） 由（1）可知，所以，故， 数列是等差数列，首项为，公差为，再利用等差数列的求和公式可求得.
17．【答案】（1）解：若选 ：由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则
解得 所以
若选 ：由已知 ， ，
通项
故 .
不妨设 的公差为 ，则 ，
解得 所以
若选 ：由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则 ，
因为 解得 所以
（2）解：若选 ：由 ，则 ，
，
所以
若选 ：由 ，则 ，
，
所以
若选 ：由
则
，
所以
【解析】【分析】 （1）设 的公差为d，d不为零，{bn}的公比为q，结合等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；
（2）由 的通项公式和[x]的定义，求得cn的特点，计算可得所求和．
18．【答案】（1）解：由 ，性质①是任意 ，存在 ，
令 ，则 要满足 ，
可得 ，可得 ，
其中 为偶数， 为奇数，所以不成立，
如：当 时， ，不存在这样的 .
（2）解：当 时， ，所以 ，
所以存在 使得数列 满足性质①；
对性质②，取 ， ，
则 成立，所以满足性质②.
综上可得，数列 同时满足性质①②.
（3）解：由 是递增数列， ，所以，当 时， ，
因为满足性质①和性质②，所以 ，即 ，
当 时， ，
已知 ，所以 ，
又由 ，所以 ，即数列 前三项成等差数列.
假设 前 项成等差数列，即 ，
则当 时，若 ，
由性质①知，必存在 ，使得 成立，
因为 ，
所以必有 成立，
又由性质②知， ，
则 与 矛盾，
所以 成立，
所以数列 的前 项也成等差数列，
所以数列 为等差数列.
【解析】【分析】 (1)由已知条件结合特殊值法，举出反例即可得出结论。
(2)根据题意即可得出，从而 存在 使得数列 满足性质① ，取
，结合题意整理即可得出从而满足性质②.由此得出 数列 同时满足性质①② 。
(3) 首先由已知条件即可得出即当时，整理得出从而得到，再由反证法证明数列必然恒正或恒负，再用数学归纳法证明也是等比数列，即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教A版（2019）数学高中二年级下学期期中复习题
一、单选题
1．在等差数列 和 中， ， ， ，则数列 的前100项和为 （ ）
A．0 B．100 C．1000 D．10000
2．在等比数列 中， ，公比 ，则 （ ）
A．5 B．7 C．9 D．12
3．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
4．已知数列 ，则 是这个数列的第（ ）项
A．20 B．21 C．22 D．23
5．数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、多选题
6．下列是递增数列的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列 的前 项和为 ,则下列说法正确的是（ ）
A．若 则 是等差数列
B．若 则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
D．若 是等比数列，且 则
三、填空题
8．已知 为等比数列， ， ，那么数列 的公比为 ，数列 的前5项的和为 ．
9．已知等比数列 ， ， ，则 ．
10．已知数列 为等比数列， ，则 .
11．已知数列 满足 ，数列 满足 ，则 ．
12．已知复数，对于数列，定义为的“优值”．若某数列的“优值”，则数列的通项公式 ；若不等式对于恒成立，则k的取值范围是 ．
四、解答题
13．已知等比数列{an}的公比q＞1，a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（1）求q的值；
（2）设数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n，且b1＝1，求数列{bn}的通项公式．
14．已知等差数列和等比数列满足，设数列的公比为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求.
15．观察下列等式：
……
（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
16．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求等差数列的首项和公差；
（2）求证数列是等差数列，并求出其前项和.
17．在① ；② ；③ 是 与 的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 为等比数列，其前 项和 为常数， ，
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 其中 表示不超过 的最大整数，求 的值.
18．已知 是无穷数列.给出两个性质：①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使得 ；②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ，使得 .
（1）若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
（2）若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（3）若 是递增数列， ，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等差数列.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】由题可知数列 是以 为首项，以等差数列 和 的公差和为公差的等差数列，故 ，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，推出数列 是以 为首项，以等差数列 和 的公差和为公差的等差数列，再利用已知条件结合等差数列前n项和公式，从而求出数列 的前100项和。
2．【答案】D
【解析】【解答】根据已知条件，容易得
故可得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由等比数列代入数值计算出结果即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，把各排座位数看作等差数列，设等差数列通项为，首项为，公差为，前项和为，则=2，，
因为，所以，即得.
故答案为：C
【分析】根据题意转化为等差数列问题，利用等差数列通项公式和前n项和公式基本量运算，即可求解出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】由 ，得
即 ，
解得 ，
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法找出规律，从而求出数列通项公式，从而求出 是这个数列的第23项。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵数列 是递增的整数数列 ，
∴n要取最大，d尽可能为小的整数，
故可假设d=1
∵a1=3，d=1
∴an=n+2
∴
则S11=88<100，S12=102>100，
故n的最大值为11.
故答案为：C
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.
6．【答案】B,C
【解析】【解答】解：对于A中，数列，可得，
所以数列为摆动数列，不符合题意；
对于B中，数列，可得，符合题意；
对于C中，数列，可得，
当时，可得，符合题意；
对于D中，数列，可得，
当时，可得不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据数列单调性性的定义，逐项判定，即可求解.
7．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A选项，若 ，当 时， ， 不满足 ，故A错误；
对于B选项，若 ，则 ，由于 满足 ，所以 是等比数列，故B正确；
对于C选项，若 是等差数列，则 ，故C正确.
对于D选项，当 时， ，故当 时不等式不等式，故 不成立，所以D错误.
故答案为：BC
【分析】 对于选项A，由题设求得数列的前3项即可判断其正误；对于选项B，先利用求得数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断其正误即可；利用等差数列的前n项和公式与性质可判断选项C的正误；对于选项D，可用当 时求得的 与 判断其正误．
8．【答案】；31
【解析】【解答】解：由题意得，则,
则 数列 是以为首项，以为公比的等比数列，
则所求前5项之和为
故答案为：，31
【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式直接求解即可.
9．【答案】64
【解析】【解答】等比数列 ， ， ，设公比为q，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：64
【分析】直接根据等比数列的通项公式即可求出．
10．【答案】81
【解析】【解答】设数列 的公比为q，由题意知，
因为 ，由等比数列通项公式可得，
，解得 ，
由等比数列通项公式可得，
.
故答案为：
【分析】设数列 的公比为q，利用等比数列通项公式求出 ，代入等比数列通项公式即可求解.
11．【答案】
【解析】【解答】由题设 ，当 时， ．
，
又 满足， ， ．
当 为奇数时， ；当 时， ；当 时，
．
故答案为：
【分析】 由题设可知当 时，，两式作比，可求出数列 的通项公式为， 进而求得，由余弦函数的特点可知当 为奇数时， ；当 时， ；当 时， ，再利用等比数列求和公式即得结果。
12．【答案】n+1；
【解析】【解答】由得，所以，进而可得，当时，，两式相减得，当时，也符合.故
，即可
当为偶数时， (当时等号成立)，故
当为奇数时， (当时等号成立)，故，故对于恒成立，则
故答案为：n+1，
【分析】根据题意结合复数的运算性质整理化简，由此得出数列的通项公式结合已知条件即可得出不等式，再对n分情况讨论即可得出k的取值范围，由此即可得出答案。
13．【答案】（1）解：因为a3+2是a2，a4的等差中项，所以 ，
因为a2+a3+a4＝28，所以
因此 ；
（2）解：
因为数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n，
所以
当 时，
因为 时也满足 ，因此
从而
相减得
即
当 时也满足 ，所以
【解析】【分析】 （1）由等差中项的定义和等比数列的通项公式，解方程可得q；
（2）运用等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的恒等式、数列的错位相减法求和，化简整理计算可得所求通项公式．
14．【答案】（1）设的公差为，
由，得，
又，得，
联立解得，或，
因为，
故舍去，
所以，
.
（2）由（1）有，
因为
所以数列是以首项为4，公比为的等比数列
【解析】【分析】（1）利用等差、等比数列通项公式列方程组，求出公差、公比，代入相应通项公式即可.
(2)代入求得数列是以首项为4，公比为的等比数列，利用等比数列求和公式即可.
15．【答案】（1）解： ．
（2）证明：①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边
∴当 时，等式成立；
②假设当 时等式成立，即
则当 时
左边
右边
∴当 时，等式也成立
由①②可知，对一切 ，等式都成立
【解析】【分析】 （1）直接由已知等式归纳得结论；
（2）验证n=1时结论成立；归纳假设n=k时结论成立，利用归纳假设证明n=k+1时结论成立，最后下结论．
16．【答案】（1）解：由题意可得，解得.
（2）证明：由（1）可知，所以，故.
当时，；当时，，
因此数列是等差数列，首项为，公差为.
所以等差数列的前项和.
【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式可得，即可解得；
（2） 由（1）可知，所以，故， 数列是等差数列，首项为，公差为，再利用等差数列的求和公式可求得.
17．【答案】（1）解：若选 ：由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则
解得 所以
若选 ：由已知 ， ，
通项
故 .
不妨设 的公差为 ，则 ，
解得 所以
若选 ：由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则 ，
因为 解得 所以
（2）解：若选 ：由 ，则 ，
，
所以
若选 ：由 ，则 ，
，
所以
若选 ：由
则
，
所以
【解析】【分析】 （1）设 的公差为d，d不为零，{bn}的公比为q，结合等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；
（2）由 的通项公式和[x]的定义，求得cn的特点，计算可得所求和．
18．【答案】（1）解：由 ，性质①是任意 ，存在 ，
令 ，则 要满足 ，
可得 ，可得 ，
其中 为偶数， 为奇数，所以不成立，
如：当 时， ，不存在这样的 .
（2）解：当 时， ，所以 ，
所以存在 使得数列 满足性质①；
对性质②，取 ， ，
则 成立，所以满足性质②.
综上可得，数列 同时满足性质①②.
（3）解：由 是递增数列， ，所以，当 时， ，
因为满足性质①和性质②，所以 ，即 ，
当 时， ，
已知 ，所以 ，
又由 ，所以 ，即数列 前三项成等差数列.
假设 前 项成等差数列，即 ，
则当 时，若 ，
由性质①知，必存在 ，使得 成立，
因为 ，
所以必有 成立，
又由性质②知， ，
则 与 矛盾，
所以 成立，
所以数列 的前 项也成等差数列，
所以数列 为等差数列.
【解析】【分析】 (1)由已知条件结合特殊值法，举出反例即可得出结论。
(2)根据题意即可得出，从而 存在 使得数列 满足性质① ，取
，结合题意整理即可得出从而满足性质②.由此得出 数列 同时满足性质①② 。
(3) 首先由已知条件即可得出即当时，整理得出从而得到，再由反证法证明数列必然恒正或恒负，再用数学归纳法证明也是等比数列，即可.
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