19.2《平行四边形的性质》(1)导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.联系生活实例，通过观察了解平行四边形的定义及基本构成要素；
2.利用已学过的三角形的知识来探索平行四边形中的边角性质；
3.理解“两平行线之间的距离”的概念及性质；
4.会应用平行四边形的边角性质、平行线之间的距离解决有关空间图形问题，进一步发展对“空间与图形”的学习兴趣．
学习重难点
重点：掌握平行四边形中的边角性质，会运用平行四边形的性质解题；
难点：探究平行四边形的边角性质，理解“平行线之间的距离”.
学法指导
联系身边生活实例，通过观察、操作、比较来认认识平行四边形，掌握其图形特征，把握平行四边形中的边角关系及性质.
学习过程
一、导学探究
知识点1：平行四边形的定义
1.定义：_________________________________________叫做平行四边形.
平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行.这两条缺一不可.
2.表示方法：平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD，记作_____________，读作“平行四边形ABCD”.
知识2：平行四边形的边角性质
3.平行四边形的对边__________，对角__________.
知识点3：平行线之间的距离
4.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_______，叫做这两条平行线之间的距离.
5.两条平行线之间的距离________________.
二、课前体验
如图，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）
A.7个 B.8个
C.9个 D.11个
三、课内探究，交流学习
1.观察·思考
观察下列图案，想一想它们都是什么形状？有何特点？
观察图形，说出各四边形中的边的位置有何特征？
两组对边 一组对边平行，另 两组对边
都不平行 一组对边不平行 分别平行
平行四边形的定义：
______________________________________________________，叫做平行四边形.
认识平行四边形
（1）平行四边形的表示法：____________，读作：___________________；
（2）平行四边形的四个顶点分别为____________________________；平行四边形的四条边分别为_______________________，其中，___与____是对边，_____与____是对边；
（3）平行边形的四个内角分别为_________________________，其中，_____与______是对角，________与_______是对角.
2.探究1：
平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角，除此以外，平行四边形中，边、角还有什么性质呢？
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
求证：（1）AB＝DC，AD＝BC；
（2）∠DAB＝∠DCA，∠B＝∠D，
平行四边形的性质：
性质1：平行四边形的对边相等；
性质2：平行四边形的对角相等.
3.自主学习，合作交流
例1 已知：如图，ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，
（1）如果AE＝2，求CD的长；
（2）如果∠AEB＝40°，求∠C的度数.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB＝AE＝2，
又∵CD＝AB，
∴CD＝2；
（2）由（1）知： ∴∠1＝∠3＝40°，
∴∠A＝180°－∠1－∠3＝100°，
又∵∠C＝∠A，
∴∠C＝100°.
4.探究2：
如图，直线l1∥直线l2，AB，CD是夹在直线l1 ，l2之间的两条平行线，
AB与CD相等吗？为什么？
结论：夹在两条平行线之间的平行线段相等.
若AE⊥l2，CF⊥l2，则AE与CF相等吗？
结论：两条平行线之间的距离处处相等.
什么叫做两条平行线之间的距离？
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离.
你能举一些日常生活中例子说明“两条平行线之间的距离处处相等”吗？
5.自主学习，合作交流
例2 已知：如图，ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠B＝45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离.
解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，
∴线段AE，AF的长分别为点A到直线BC和直线CD的距离，
∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，
线段AF的长为直线AB和直线CD之间的距离，
∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，AB＝4，
∴∠B＝∠BAE，
∴BE＝AE，
又∵AE2+BE2＝AB2，
∴2AE2＝16，
∴AE＝2，
同理：AF＝，
所以直线AD和直线BC之间的距离为2，直线AB和直线CD之间的距离为.
例3 已知：如图，过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△.
求证：△ABC的顶点分别是△三边的中点.
证明：∵AB∥C，BC∥A，
∴＝BC，
同理：＝BC，
∴＝，
同理：＝，＝，
∴△ABC的顶点分别是△三边的中点.
6.随堂练习
1.在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，求∠B，∠C，∠D的度数．
2.在ABCD中，已知AB＝a，BC＝b，求这个平行四边形的周长．
3.在ABCD中，BC＝2AB，点E为边BC的中点．求证：AE⊥ED．
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D＝120°，∠CAD＝32°，则∠ABC、∠CAB的度数为（ ）
A.28°，120° B.120°，28°
C.32°，120° D.120°，32°
2.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法错误的是（ ）
A.AB＝CD
B.A、B两点间的距离就是线段AB的长度
C.CE＝FG
D.l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
3.在ABCD中，M为CD的中点，如果DC＝2AD，则AM、BM夹角的度数是（ ）.
A. 90° B. 95° C. 85° D. 100°
4.已知平行四边形一边AB＝12cm，它的长是周长的，则BC＝_______cm，CD＝______cm.
5.平行四边形的周长为8cm，两邻边之比为3：5，这两邻边分别为__________________.
6.如图，在ABCD中，AE平分∠DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，DC＝8cm，AD＝3cm，求DE、EF、FC的长.
19.2《平行四边形的性质》(2)导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.继续掌握平行四边形的定义及平行四边形的边角性质（性质1、2）；
2.利用已学过的三角形的知识来探索平行四边形中对角线的性质（性质3）；
3.探究平行四边形的对角线把平行四边形分面积相等的几个三角形；
4.会综合应用平行四边形的定义和三条性质，进一步提高计算和证明题目的能力．
学习重难点
重点：掌握平行四边形中的边角性质，会运用平行四边形的性质解题；
难点：探究平行四边形的边角性质，理解“平行线之间的距离”.
学法指导
通过图形把握平行四边形的性质，从三个方面来进行理解与记忆平行四边形边的性质：(1)从边的关系上看：两组对边分别平行且相等，(2)从角的关系看：两组对角分别相等，(3)从对角线的关系看：两条对角线互相平分.
学习过程
一、导学探究
知识点1：平平行四边形对角线的性质
1.性质3：平行四边形的两条对角线________________.
知识2：平行四边形的对角线分其成三角形的面积问题
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成______个面积相等的三角形，平行四边形的两条对角线把平行四边形分成_______个面积相等的三角形.
二、课前体验
如图，ABCD的周长为30cm，它的对角线AC和BD交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，求AB，AD的长.
三、课内探究，交流学习
1.同学们，还记得什么叫做多边形的对角线吗？
想一想：四边形的对角线共有多少条？
如右图，ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？
2.探究1：
你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？
如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
求证：AO＝CO，BO＝DO.
结论：平行四边形对角线的性质：
_____________________________________________________________.
3.自主学习，合作交流
例4 已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，求BD的长.
点拨：本题除了应用平行四边形的性质处，还用到了勾股定理，因为BD＝2BO，所以只要求出BO的长即可，而BO是Rt△ABO中的斜边，故而要用到勾股定理来求线段长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC＝AD＝5，
∵AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC＝＝＝4
AO＝AC＝2，
∴BO＝＝＝，
∴BD＝2BO＝2.
4.探究2：
（1）如图1，AC是ABCD的一条对角线，试问：△ABC与△CDA的面积相等吗？为什么？
（2）如图2，若AC，BD是ABCD对角线，它们相交于点O，试问：图中有几对三角形面积相等？
5.能力小测试：
1.ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝10，BD＝8，AB＝a，那么a的取值范围是（ ）
A.8＜a＜10 B.4＜a＜5 C.2＜a＜18 D.1＜a＜9
2.如图，点O为ABCD两对角线的交点，点E、F分别是OA、OC的中点，则图中全等三角形有（ ）
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
3.如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为_______.
第3题图 第6题图
4.平行四边形的两邻边长是6和8，夹角为30°，则这个平行四边形的面积是______.
5.平行四边形的周长为24cm，一组邻边之差为4cm，则相邻的两边长分别是_____cm、______cm.
6.如图，在ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，
求证：AE＝CF.
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A.相等 B.互相平分 C.互相垂直 D.互相垂直且相等
2.如图，在周长为20cm，的ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）
A.4cm B.6cm
C.8cm D.10cm
3.如图，在ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC＝30°，
AE＝3，则AC＝_______.
4.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别交于点E，F，求证：△AOE≌△COF.
5.如图，已知ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求ABCD的各边长.
6.如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4cm，AF＝6cm，平行四边形ABCD的周长为30cm，求ABCD的面积.
课件20张PPT。19.2 平行四边形的性质(1)－平行四边形的边角性质观察·思考 观察下列图案，想一想它们都是什么形状？
有何特点？平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 观察图形，说出各四边形中的边的位置
有何特征？两组对边
都不平行一组对边平行，另
一组对边不平行两组对边
分别平行如图，四边形ABCD是平行四边形，读作：平行四边形ABCD，其中，AD与BC叫对边，AB与CD叫对边，其中，∠A与∠C叫对角，∠B与∠D叫对角，认识平行四边形 平行四边形的对边平行，相邻的内角互为
补角，除此以外，平行四边形中，边、角还
有什么性质呢？图中，AD∥BC，AB∥DC，∠A+∠B＝180°，∠A+∠D ＝180° ，∠B+∠C＝180°，∠C+∠D ＝180° ，探究：已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，
AD∥BC，求证：（1）AB＝DC，AD＝BC；
（2）∠DAB＝∠DCA，∠B＝∠D，证明：连接AC，(1) ∵AB∥DC，AD∥BC，∴ ∠BAC＝∠DCA，∠BCA＝∠DAC，在△ABC和△CDA中，∴ △ABC≌△CDA（ASA）∴AB＝DC，AD＝BC；(2)由(1)知： △ABC≌△CDA，∴∠B＝∠D，∠DAB＝ ∠BAC+ ∠DAC
＝ ∠DCA+ ∠BCA
＝ ∠DCB.结论：由此得到平行四边形的性质：性质1：平行四边形的对边相等.性质2：平行四边形的对角相等.由此可以看出：如下图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC；∠A＝∠C， ∠B＝∠D，例题讲解(1)如果AE＝2，求CD的长；
(2)如果∠AEB＝40°，求∠C的度数.解：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴AD∥BC，∴∠2＝∠3∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝AE＝2，又∵CD＝AB，∴CD＝2；(2)由(1)知： ∴∠1＝∠3＝40°，∴∠A＝180°－∠1－∠3＝100°，又∵∠C＝∠A，∴∠C＝100°.探究：如图，直线l1∥直线l2，
AB，CD是夹在直线l1 ，
l2之间的两条平行线，AB与CD相等吗？为什么？结论：夹在两条平行线之间的平行线段相等. 如果两条直线平行，那么一条直线上所有
的点到另一条直线的距离都相等.若AE⊥l2，CF⊥l2，则AE与CF相等吗？平行线之间的距离： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一
条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离.图中，线段AE称为直线l1和直线l2之间的距离.由AE＝CF可得出下列结论：两条平行线之间的距离处处相等.你能举一些日常生活中例子说明上述结论吗？典例讲解解：过点A作AE⊥BC，
AF⊥CD，垂足分别为
点E、点F，∴线段AE，AF的长分别为点A到直线BC和直线
CD的距离，∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，
线段AF的长为直线AB和直线CD之间的距离，∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，AB＝4，∴∠B＝∠BAE，∴BE＝AE，又∵AE2+BE2＝AB2，∴2AE2＝16，∴AE＝2 ，同理：AF＝ ， 例3 已知：如图，过△ABC的三个顶点，分别作
对边的平行线，这三条直线两两相交，得△ .
求证：△ABC的顶点分别是△ 三边的中点.证明：∵AB∥ C，BC∥A ，同理：同理：∴△ABC的顶点分别是△ 三边的中点.随堂练习解：如图，∵∠A＝60°，则∠A的对角∠C＝60°，
又∵AB∥CD，∴∠D＝180°－60°＝120°.
同理可知∠B＝120°.解：∵平行四边形对边相等，所以AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，∴四边形的周长为2a+2b.解：取AD中点F，连接EF，∵BC＝2AB，∴AB＝BE＝CD＝CE，又∵ AB∥EF∥CD ，∴∠AED＝∠EAB+∠EDC＝∠AEB＋∠DEC∵ ∠AED+∠AEB+∠DEC＝180°，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥ED.·F则AB∥EF∥CD.(2)平行四边形的性质及应用；小结与反思(1)认识平行四边形及平行四边形的定义；1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？
谈谈你的感悟.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质1：平行四边形的对边相等；性质2：平行四边形的对角相等；布置作业课本第84页：习题19.2再见！第1～2题.课件13张PPT。19.2 平行四边形的性质(2)－平行四边形对角线的性质知识回顾1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.什么叫做平行线之间的距离？有何性质？ 如果两条直线平行，那么一条直线上所有
的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线之间的距离处处相等.3.平行线的边角性质？性质1：平行四边形的对边相等.性质2：平行四边形的对角相等.合作学习，探究新知 多边形中连接不相邻两个顶点的线段
叫做多边形的对角线.答：2条同学们，还记得什么叫做多边形的对角线吗？想一想：四边形的对角线共有多少条？你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？又∵AB＝CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∵AB∥CD，∴△OAB≌△OCD（ASA），∴OB＝OD，OA＝OC，观察右图：性质3 ：平行四边形的对角线互相平分.由此得出平行四边形对角线的性质：∴OB＝OD，OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，应用：自主学习，合作交流点拨：本题除了应用平行四
边形的性质处，还用到了
勾股定理，因为BD＝2BO，
所以只要求出BO的长即
可，而BO是Rt△ABO中的
斜边，故而要用到勾股定理来
求线段长.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ BC＝AD＝5,∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴∴∴BD＝ 2BO＝ 2 .合作探究1.如图1，AC是 ABCD的一条对角线，试问：△ABC与△CDA的面积相等吗？四对：△AOD与△BOC;试问：图中有几对三角形
面积相等？图1相等△AOB与△COD; △ABC与△CDA; △ABD与△CDB.能力小测试：1. ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝10，
BD＝8，AB＝a，那么a的取值范围是（ ）A.8＜a＜10C.2＜a＜18D.1＜a＜9B.4＜a＜5A.3对B.4对C.5对D.6对DD4.平行四边形的两邻边长是6
和8，夹角为30°，则这个
平行四边形的面积是______.21245.平行四边形的周长为24cm，一组邻边之差为4cm，
则相邻的两边长分别是_____cm、______cm.84∴∠ABE＝∠CDF，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△DCE≌△FBE（AAS），∴CD＝BF.(2)平行四边形的面积；小结与反思(1)平行四边形对角线的性质；1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？
谈谈你的感悟.性质3 ：平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的一条对角线把平行四边形分
成两个面积相等的三角形，两条对角线把平行
四边分成四个面积相等的三角形.布置作业课本第79页：练习1～2题.再见！导学案(1)参考答案
导学探究
1.两组对边分别平行的四边形，
2.ABCD
3.相等，相等
4.距离
5.处处相等.
课前体验
解析：根据两组对边分别平行的四边形去找平行四边形的个数，
答案为：C.
随堂练习
1.解：如图，∵∠A＝60°，则∠A的对角∠C＝60°，
又∵AB∥CD，∴∠D＝180°－60°＝120°，
同理可知∠B＝120°.
2.解：∵平行四边形对边相等，
∴AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，
∴四边形的周长为2a+2b.
又∵ AB∥EF∥CD ，
∴∠AED＝∠EAB+∠EDC＝∠AEB＋∠DEC，
∵ ∠AED+∠AEB+∠DEC＝180°，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥ED.
课课练
1.B
2.D
3.A
4.24 ；12
5.1.5cm ，2.5cm
6.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，
∴∠BAE＝∠AED，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DE＝DA＝3cm，
导学案(2)参考答案
导学探究
1.互相平分， 2.两，四 3.相等，相等
4.距离 5.处处相等.
课前体验
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，
∴AB－BC＝5cm ①，
∵ABCD的周长为30cm，
∴AB+BC＝15cm ②，
①+②得：2AB＝20，
∴AB＝10cm，
∴BC＝5cm.
能力小测试
1.D
2.D
3.21
4.24
5.8，4
6.证明：在ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△DCE≌△FBE（AAS），
∴CD＝BF.
课课练
1.B
2.D
3.4
4.证明：∵ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝CO，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（ASA）.
∵ABCD的周长为60cm，
∴AB+CD+AD+CB＝60，
即AB+BC＝30①，
∵△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，
∴AO+AB+OB－(OB+BC+OC)＝8，
即AB－BC＝8②，
由①②得：AB＝CD＝19cm，AD＝BC＝11cm.
6.解：∵＝BC·AE＝CD·AF，AE＝4cm，AF＝6cm，
∴4BC＝6CD，即BC＝CD，
又∵BC+CD＝×30＝15cm，
∴BC＝9cm，CD＝6cm，
∴＝BC·AE＝9×4＝36（cm2）.
