江西省南昌市东湖区南昌市第二中学2023-2024学年高一下学期月考（一）数学试题（PDF版，含答案）

一单选题本题共 8小题每小题 5分共 40分在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的
10π
1.sin ( ) =( )
3
1 1
A. 3 B. 3 C. D.
2 2 2 2
2.已知α ∈ (π,2π)tanα = 2则 2sinα cosα =( )
3
A. 5 3 3 3B. 5 C. 5或 5 D. 0
5 5 5 5
1 1
3.已知 a = sin b = tan c = log4 4 162
则 ( )
A. a < b < c B. b < a < c C. c < a < b D. a < c < b
4.折扇在我国已有三千多年的历史扇与善谐音折扇也寓意善良善行.它常以字画的形式体现我国
的传统文化也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征(如图 1)图 2为其结构简化图设扇面 AB间的圆弧长为 l
AB间的弦长为 d圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角)则 l d和θ所满足的恒等关系为 ( )
2sinθ sinθ 2cosθ cosθ
2 = d 2 = d 2 = d 2 = dA. B. C. D.
θ l θ l θ l θ l
5.已知αβ 1都是锐角且 cosα = cosβ = 1 则α + β =( )
10 5
π 3π π 3π π 2π
A. B. C. 或 D. 或
4 4 4 4 3 3
5π α
6.设 < α < 7π且 sin cosα = 3 (α+π则 tan =( )2 2 2 2 5 2 4)
1 1
A. B. 3 C. D. 3
3 3
π
7.已知ω > 0|φ| ≤ 在函数 f(x) = sin(ωx + φ)和 g(x) = cos(ωx + φ)的图象的交点中相邻两个交点的横坐标
2
π π π
之差的绝对值为 且 f(x)2 的图象关于点( ,0)对称则 g( )6 的值为 ( )12
1
A. 1 B. 3 C. D. 0
2 2
8.函数 f(x) = (2x π)cos (
π x) πsin (x )x ∈ ( 2π,3π)的所有零点之和为 ( )
2 2
0 5π 7πA. B. C. D. 7π
2 2
二多选题本题共 3小题共 18分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求
9.计算下列各式结果为 3的是 ( )
A. 2 sin15 + 2 cos15 B. cos215 sin15 cos75
tan30
C. 2 D. 3sin50°(1 + 3tan10°)1 tan 30
10. 已知函数 f(x) = 2cos(2x π)则下列说法正确的是 ( )6
A. f(x)的最小正周期为π
π
B. f(x)的图像的一个对称中心是( ,0)
12
C. f(x) 11π的图像关于直线 x = 对称
12
D. f(x)在区间(π ,2π)上单调递减
3 3
{#{QQABbQAUogiAAJBAABgCEQGiCkAQkAGAAIoOwBAAsAAACBFABAA=}#}
11.主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静它的工作原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声然后降
2π π
噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声已知某噪声的声波曲线 f(x) = 2sin( x+φ)(|φ|< )且经过点(1,2)3 2
则下列说法正确的是 ( )
A. 函数 f(x+1)是奇函数4
B. 函数 f(x)在区间(1,2)上单调递减
C. n ∈ N 使得 f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) > 2
D. x ∈ Rf(x+1) + f(x+2) + f(x+3)的值为定值
三填空题本题共 3小题每小题 5分共 15分

sin 15 sin 75
12. ．
cos 15 cos 75
π
13.已知函数 f(x) = cos( x+φ)(ω > 0,0 < φ < π)且 f( x) = f(x)则 f(1) + f(2)+ +f(2026) = ．2
14.已知函数 f(x) = sin(2x+φ)其中φ为实数且|φ| < π若 f(x) ≤ |f(π)| x ∈ R π对 恒成立且 f( ) > f(π)则 f(x)6 2
的单调递增区间为 ．
四解答题本题共 5小题共 77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
15.(本小题 13分)
已知 sin( ) cos cos( ) sin 3 是第三象限角．
5
(1)求 tan 2 的值

cos( ) 2 cos( )
(2) 2求 的值．
sin( ) sin( )
2
16.(本小题 15分)
已知函数 f(x) = 4sinx cos(x +
π) + 2cos(π + 2x)．6
(1)求 f(x)的最小正周期和单调增区间
11
( ) (x π = , 3π , π2 若 f 0 ) x0 ∈ [ π]5 求 sin
(2x0 )的值．6 4 4
17.(本小题 15分)
已知函数 f(x) = sinx + cosx(x ∈ R)．
π π
(1)求函数 y = f(x) f(x 4)在[0,2]的值域;
1
(2)将函数 f(x)的图象上的每个点的横坐标都变为原来的 (ω > 0)ω 倍纵坐标不变得
到函数 (x)
π
的图象若函数 (x)在( ,π)上没有最值求ω的最大值.
2
18.(本小题 17分)
f(x) = Asin(ωx + φ)(A > 0,ω > 0,|φ| < π函数 )的部分图像如图所示.
2
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)函数 (x) = f(1x) x ∈ [ 11π ,2π) 4 的图像与直线 y = 恰有三个公共点记三个
2 6 3 3
公共点的横坐标分别为x1x2x3且x1 < x2 < x3求 cos(x1 + 2x2 + x3)的值;
(3)函数 g(x) = f(x + π)若对于任意x1,x ∈ [2 0,t]当x1 < x2时都有4
f(x1) f(x2) < g(x1) g(x2)成立求实数 t的最大值．
{#{QQABbQAUogiAAJBAABgCEQGiCkAQkAGAAIoOwBAAsAAACBFABAA=}#}
19.(本小题 17分)
π π
如图学校新校区有两块空闲的扇形绿化草地 AOB(圆心角为 )和 COD(圆心角为 )BD为圆的直径.在劣弧 AB和劣
3 2
弧 CD上分别取点 P和点 F且 PF为圆的直径分别设计出两块社团活动区域其中一块为矩形区域 OEFG另一块
为矩形区域 MNPQ已知圆的直径 PF = 50米点 Q在 OA上 点 G在 OC上 点 M和 N在 OB上 点 E在 OD上．
A
Q P
E O
D B
M N
G
F
C
5PF 8EO
(1)经设计当 达到最小值时取得最佳观赏效果.请给出最佳观赏效果的设计方案
3PN
(2)学校本周将在矩形区域 OEFG进行社团活动展示现需要在矩形区域内铺满地垫并在矩形区域四周放置围栏.铺设
的地垫每平方米 20元围栏每米 10元则场地布置的费用最高不超过多少元
(参考数据 3 = 1.73 2 = 1.41)
{#{QQABbQAUogiAAJBAABgCEQGiCkAQkAGAAIoOwBAAsAAACBFABAA=}#}
A B D A B C D C
AD AC ABD 1 -1
8.解析设 u = x π则令 f(x) = g(u) = 2ucosu sinu = 0 u ∈ ( 5π 5π )得 tanu 2u = 0,其 7个零点之和为 02 2 2
7π
所以原函数所有零点之和为 .
2
15.答案解由题意sin(α β)cosα cos(α β)sinα = sin(α β α) = sin( β) = 3
5
∴ sinβ = 3∴ cosβ = 4 tanβ = sinβ = 3 ……6分
5 5 cosβ 4
(1)tan 2β = 2tan β = 242 ……9分1 tan β 7
cos(π β)+2cos(π+β)
(2) 2 = sinβ 2cosβ = 5．……13分
sin(π β) sin(π+β) sinβ cosβ
2
16.答案解(1)f(x) = 4sin x·cos (x + π) + 2cos(π + 2x) = 2[sin(2x+π)+sin( π)] 2cos2x6 6 6
= 2( 3 sin 2x + 1cos 2x) 1 2cos 2x = 3 sin 2x cos 2x 1 = 2sin (2x π) 1……4分
2 2 6
T = 2π π故周期为 = π令 + 2kπ 2x π π + 2kπ,k ∈ Z π + kπ x π + kπ,k ∈ Z
2 2 6 2 6 3
π π
所以 f(x)的递增区间为[ + kπ, + kπ],k ∈ Z．……7分
6 3
∵ (x π) = [ (x π) π π 11 3(2) f 0 2sin 2 0 ] 1 = 2sin (2x = 0 ) 1 2cos2x = 0 1 ∴ cos 2x = ．……10分6 6 6 2 5 0 5
x [3π又因为 ∈ ,0 π]所以 ……12分4
π 7 2
故 sin (2x 0 ) = ．……15分4 10
17.答案解(1)f(x) =
π
2sin(x + )……2分4
π π π π
故 y = f(x) f(x ) = 2sin(x + )sinx = cos cos(2x + )……5分4 4 4 4
π 2
所以函数在[0,2]的值域为[0 +12 ]……7分
(x) = (ωx) = (ωx π) ωx π f 2sin + ,其中 +
ωπ+π πωπ+ ……9分
4 4 ( 2 4 4)
ωπ π π π π
依题意得 + ≥ + kπ且ωπ + ≤ + kπ2 k ∈ Z4 2 4 2
解得
3 + ≤ ω ≤ 1 +
2 2k 4 k
,k ∈ Z……12分
1
k=0时0 < ω ≤
1 5
k=1时2 ≤
ω ≤
4 4
5
所以ω的最大值为4 .……15分
T 2π 7π π π
18.答案解(1)由图像可知 A = 2 = = = 则ω = 2则 f(x) = 2sin(2x + φ)4
……2分
4ω 12 3 4
令 可得φ =
π
所以 f(x)的解析式为 f(x) =
π
2sin(2x + )……4分
3 3
(2) (x) = 2sin(x + π)令 t = x + π ,t ∈ [ 3π ,π)
3 3 2
{#{QQABbQAUogiAAJBAABgCEQGiCkAQkAGAAIoOwBAAsAAACBFABAA=}#}
由 (x) = 2sin(x + π) = 4可得 cost = 2……6分
3 3 3
cost = cost = cost = 2令 1 2 3 3
由对称性可知t1 + t2 = πt2 + t3 = π两式相加可得t1 + 2t2 + t3 = 0……10 分
4π 1
所以 cos(x + 2x + x ) = cos( ) = 1 2 3 ．……12 分3 2
π π π
(3) g(x) = 2sin(2x + + ) = 2cos(2x + )……14 分
2 3 3
(x) = (x) g(x) (x) = ( x π) cos( x π π令 F f 则 F 2sin 2 + 2 2 + ) = 2 2sin(2x +
π) = ( x π2 2sin 2 + )……15 分3 3 3 4 12
5π
由已知得 F(x)在[0,t]
π π
上单调递增则 2t + ≤ 即 t的最大值为 ．……17
12 2 24
分
19.答案解(1)设∠EOF = ∠BOP = θ由 OF = 25得 OE = 25cos θ．
5PF 8EO 10 8 cos
设 t 则 3t sin 8 cos 10 且 t 0
3PN 3 sin
8
即 23t 28 sin 10 其中 tan
3t
由 3t2 28 sin 2 2 2 29t 8 得 9t 8 10 即 t 2 ...……5分
3 4 3 5PF 8EO
所以当 sin (cos tan )( 0 )时 t 达到最小值时取得最佳观赏效果..……8分
5 5 4 3 3PN
(答对其中一个三角函数值即可
(3)在矩形 OEFG中 EF = 25sin θ
所以矩形 OEFG的面积为 25×25sin θcos θ周长为 50sinθ + 50cosθθ ∈ (0,π)..……10分
3
所以场地布置的费用 S = 25×25sin θcosθ×20 + 50(sin θ + cos θ)×10
= 500[25sin θcos θ+(sinθ+cosθ)]..……12分
令 t = sin θ + cos θ则 2sinθcosθ = t2 1
因为 θ ∈ (0,π) π所以 t = 2sin θ + t ∈ (1, 2]则 S = 250(25t2 + 2t 25)……15分
3 4
当 t = 2 时 Smax = 250(25 + 2 2 ) = 6955元．……17分
{#{QQABbQAUogiAAJBAABgCEQGiCkAQkAGAAIoOwBAAsAAACBFABAA=}#}南昌二中2023-2024学年度下学期高一数学月考（一）
一、.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1sm(-9)=()
A.
v3
B.、3
2
c
2.己知a∈(，2π)，tan=2,则2sinc-cosa=()
A.
B.-V5
:5成-5
3
D.0
3.已知a=sim克b=tan子c=log162,则（
A.aBabC.cD.a4.折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良“善行”.它常以字画的形式
体现我国的传统文化，也是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图），图2为其结构简化图，
设扇面A,B间的圆弧长为l,A,B间的弦长为d,圆弧所对的圆心角为(0为弧度角)，则L,d和8
所满足的恒等关系为()
0
图1
图2
D-9
5.已知a、B都是锐角，且cosa=0cosB=行则a+B=(
A晋
B.婴
C我婴
D.或受
6设受2
A月
B
C.-3
D.-3
7.已知w>0,lm≤艺在函数f()=sin(ωr+p)和g()=cos(ωx+p)的图象的交点中，相邻两
个交点的横坐标之差的绝对值为2，且f)的图象关于点(，0)对称，则g(登)的值为()
A.1
B.
c片
D.0
8.函数f闭=(2x-cos(吃-为-sin(化一)，xE(-2m,3m)的所有零点之和为()
.0
B
c
D.7π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.计算下列各式，结果为v3的是()
A.V2sin15°+V2cos15°
B.c0s215°-sln15°cos75
an30°
C.1-tam230
D.V3sin50(1+V3tan10)
10.已知函数f=2cos(2x-),
则下列说法正确的是()
A.f(x)的最小正周期为π
B.f()的图像的一个对称中心是（五0）不：
C.f)的图像关于直线x=-受对称
D.f()在区间（号，受）上单调递减
11.主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集
周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线
f)=2sin(凭x+p)(l<引，且经过点(1,2，则下列说法正确的是()
A.函数f(x+动是奇函数
B.函数f(x)在区间(1,2)上单调递减
C.3n∈N*,使得f(1)+f(2)+f(3)+.+f(n)>2
D.Vx∈R,f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)的值为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.sin15°+si通75
c0s15°+c0s75°
13.已知函数f(x)=cos径x+p)(ω>0,0f(2026)=
14.己知函数fx)=si血(2x+p),其中p为实数，且p<π，若f()≤f(得)对x∈R恒成立，且
f(囹>f(),则f(,)的单调递增区间为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
3
已知sin(a-)cos-cos(a-)sina=-，,B是第三象限角.
5
(1)求an2B的值；
2)求os3-B)+2cos(π+B)
一的值
sin(-B)-sin(B)
2