第六章 平面向量及其应用 单元测试二（含解析）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用单元测试二
(时间:45分钟　分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知i,j分别是与x轴正方向、y轴正方向同向的单位向量,O为坐标原点,设=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(x∈R),则点A位于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a与b的关系是 (　 )
A.不共线 B.相等 C.方向相同 D.方向相反
3.已知向量a=(sin α,2),b=(1,-cos α),若a⊥b,则tan α= (　 )
A. B.-2 C.- D.2
4.在如图所示的网格中,每一个小正方形的边长均为1,则(+)·= (　 )
A.0 　　　　 B.1 C.-2 　　　　D.-1
5.已知平面向量a=(2,0),b=(1,),向量a-b与a-kb的夹角为,则k= (　 )
A.2或 B.3或 C.2或0 D.3或
6.在△ABC中,G为△ABC的重心,M,N分别为线段AB,AC上的动点,且M,N,G三点共线,若=λ,=μ,则λ+4μ的最小值为 (　 )
A. B.3 C.2 D.
7.(多选题)设e1,e2是平面内两个不共线的向量,则以下a,b可作为该平面内一个基底的是 (　 )
A.a=e1+e2,b=e1 B.a=2e1+e2,b=e1+e2
C.a=-e1+e2,b=e1-e2 D.a=e1-2e2,b=-e1+4e2
8.(多选题)石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形,正六边形ABCDEF为其中的一个六元环,设AB=1,P为正六边形ABCDEF内一点(包括边界),则下列说法正确的是 (　 )
A.=4+4 B.·=3
C.在上的投影向量为 D.·的取值范围为
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知向量m=(1,2),写出一个与向量m方向相反的向量n的坐标为　　　　.
10.已知两点M(7,8),N(1,-6),点P是线段MN上靠近点M的三等分点,则点P的坐标为　　　　.
11. 定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度为|a*b|=|a|·|b|·sin θ,其中θ为向量a和b的夹角.若a=(2,0),b=(1,),则|a*(a+b)|=　　　　.
12.已知在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=,A为锐角,且sin A=,点P0是边CD上一定点,点P是边CD上一动点,若·≥·恒成立,则||=　　　　.
三、解答题(本大题共3小题,共40分)
13.(10分)如图所示,在 ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.
(1)试用向量a,b来表示,;
(2)若=,求证:D,O,N三点共线.
14.(15分)在平面直角坐标系中,已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且∥.
(1)求x与y满足的关系式;
(2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积.
15.(15分)在平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),点C在x轴及x轴上方,||=1,且∠AOC=θ,其中O为坐标原点.
(1)若θ=,设点D为线段OA(包括端点)上的动点,求|+|的最小值;
(2)若θ∈,向量m=,n=(1-cos θ,sin θ-2cos θ),求m·n的最小值及对应的θ值.
答案
1.D　[解析] 由题意得A(x2+x+1,-x2+x-1),∵x2+x+1>0,-x2+x-1<0,∴点A位于第四象限,故选D.
2.D　[解析] 因为a=(-2,4),b=(1,-2),所以a=-2b,所以a与b方向相反.故选D.
3.D　[解析] 向量a=(sin α,2),b=(1,-cos α),a⊥b,则a·b=sin α-2cos α=0,故tan α===2.故选D.
4.D　[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,则=(1,0),=(2,1),=(-1,2),所以+=(3,1),所以(+)·=3×(-1)+1×2=-1.故选D.
5.A　[解析] 因为a=(2,0),b=(1,),所以a-b=(1,-),a-kb=(2-k,-k),所以|a-b|=2,|a-kb|=2,(a-b)·(a-kb)=2-k+3k=2+2k,又向量a-b与a-kb的夹角为,所以cos===,所以2k2-5k+2=0,所以k=2或k=,故选A.
6.B　[解析] 由题意,在△ABC中,G为△ABC的重心,且=λ,=μ,0<λ≤1,0<μ≤1,设D为BC的中点,连接AD,则==×(+)=(+)=,因为M,N,G三点共线,所以+=1,故λ+4μ=(λ+4μ)=++≥+2=3,当且仅当=,+=1,即λ=1,μ=时等号成立,故λ+4μ的最小值为3,故选B.
7.ABD　[解析] 因为e1,e2是平面内两个不共线的向量,对于A,设a=λb,即e1+e2=λe1,显然不成立,即a不能用b表示,所以a,b不共线,故A符合题意;对于B,设a=λb,即2e1+e2=λ=e1+e2,则无解,即a不能用b表示,所以a,b不共线,故B符合题意;对于C,a=-b,所以a,b共线,故C不符合题意;对于D,设a=λb,即e1-2e2=λ(-e1+4e2)=-λe1+4λe2,则无解,即a不能用b表示,所以a,b不共线,故D符合题意.故选ABD.
8.BCD　[解析] 如图,以点A为坐标原点建立平面直角坐标系,则
A(0,0),B,C,D(2,0),F,可得=,=,=(2,0),=.对于A,因为=(2,0),4+4=(4,0),所以≠4+4,故A错误;对于B,·=×2+×0=3=3,故B正确;对于C,因为<,>=60°,所以||cos<,>=2×=1,所以在上的投影向量为=,故C正确;对于D,分别过C,F作直线AB的垂线,垂足分别为M,N,则BM=AN=,可得||cos θ(θ为与的夹角)的取值范围为,又||=1,所以·的取值范围为,故D正确.故选BCD.
9.(-1,-2)(答案不唯一)　[解析] 向量n只要满足n=(λ,2λ)(λ<0)即可,当λ=-1时,n=(-1,-2).
10.　[解析] 由题意可得=3,设P(x,y),则(-6,-14)=3(x-7,y-8),即解得故P.
11.2　[解析] 因为a=(2,0),b=(1,),所以a+b=(3,),所以|a|=2,|a+b|=2,所以cos==,因为∈[0,π],所以sin=,所以|a*(a+b)|=2×2×=2.
12.1　[解析] 在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=,A为锐角,且sin∠BAD=,所以cos∠BAD==,建立平面直角坐标系,如图所示,因为sin∠BAD==,所以yD=2,因为cos∠BAD==,所以xD=1,则D(1,2).又由题意得A(0,0),B(4,0),C(5,2),设P(m,2),1≤m≤5,则=(-m,-2),=(4-m,-2),所以·=-m(4-m)+4=m2-4m+4=(m-2)2,当m=2时,·取得最小值0,此时P(2,2),故若·≥·恒成立,则P0(2,2),所以||=2-1=1.
13.解:(1)因为AN=AB,所以==a,所以=-=a-b.因为BM=BC,所以===b,所以=+=a+b.
(2)证明:因为=,所以===a+b,则=-=a+b-b=a-b,=-=a-b,所以=,即D,O,N三点共线.
14.解:(1)由题意得=++=(x+4,y-2),=(x,y),因为∥,所以(x+4)y-(y-2)x=0,可得x+2y=0.
(2)由题意得=+=(x+6,y+1),=+=(x-2,y-3),因为⊥,所以·=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,整理得x2+y2+4x-2y-15=0.
由解得或
记四边形ABCD的面积为S.当时,=(8,0),=(0,-4),则S=||||=×8×4=16;当时,=(0,4),=(-8,0),则S=||||=×4×8=16.综上,或四边形ABCD的面积为16.
15.解:(1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题意知C,则=,=(t,0),所以+=,所以|+|2=+,故当t=时,|+|取得最小值,最小值为.
(2)由题意得C(cos θ,sin θ),则m==(cos θ+1,sin θ),因为n=(1-cos θ,sin θ-2cos θ),所以m·n=1-cos2θ+sin2θ-2sin θcos θ=1-cos 2θ-sin 2θ=1-sin.因为θ∈,所以2θ+∈,所以当2θ+=,即θ=时,sin取得最大值1,m·n取得最小值1-.