西华县2023-2024学年高二下学期第一次月考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A A B C A D B BC ACD BCD
13. 14. ①. ②.
15.因为，当时， ………3分
当时， ……9分
又∵，即不满足上式，……10分，所以.……13分
（1）由短轴长为，可得，即，将代入可得：，解得，
所以椭圆的方程为：； ………4分
（2）显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，
联立，整理得：，得，，且，因为，所以，所以，
即，即，
所以，整理可得：，解得，
所以直线的方程为：，即
17.（1）在数列中，，则，而，
因此是以4为首项，2为公比的等比数列，，所以. ……4分
（2）由（1）知，，
，
则有，
则
，所以.
18.（1）如图，连接DC1，
因为四边形为菱形，，所以，所以，
因为，所以，所以，
又平面，所以平面，所以，
因为四边形为菱形，且，所以，
因为为棱的中点，所以，又，所以，
因为平面，所以平面. ………7分
（2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
易知，所以，，
所以，，
设，则，因为平面BDF，所以存在唯一的，使得.
所以，解得，
所以，
设平面的法向量为，则，所以，
取，则，故，
设平面的法向量为，则，所以，
取，则，故，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面BDF夹角的余弦值为.
19.（17分）(1)当时，，
的定义域为，若，则；若，则；
所以的增区间为，减区间为 ………………4分
(2)函数的定义域是，
．
当时，令则或(舍)．
当，即时，，在上单调递减，在上的最小值是，
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是．综上，． …………9分
（3）①有两个不同的零点即有两个不同实根，
得，令，，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图象如右：
，所以实数a的取值范围．…………13分
②当时，有两个不同的零点．
两根满足，，
两式相加得：，两式相减得：，
上述两式相除得，不妨设，要证：，
只需证：，即证，
设，令，则，
函数在上单调递增，且．
，即，．…………17分西华县2023-2024学年高二下学期第一次月考
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数中，导函数错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则（且）
C. 若，则 D. 若，则
2. 已知函数（是的导函数），则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 在中，点在边上，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的点法式方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的2本书，则不同的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 已知向量，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
8. 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线在处的切线方程为 B. 的单调递增区间为
C. 的极小值为 D. 方程有两个不同的解
10. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，，则（ ）
A. ， B.
C. ，的最大值为14 D. 当时，有最大值
11. 若直线与圆相切，则（ ）
A. B. 数列为等差数列
C. 圆C可能经过坐标原点 D. 数列的前10项和为23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线与直线平行，则_________.
13. 函数图像上的点到直线距离的最小值是 __________．
14. 等差数列的前项和为，已知，，则______，的最大值为______.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知数列的前项和为，，求通项公式.
16.（15分）已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．
17.（15分） 已知数列满足，，
（1）求通项公式；
（2）令，求数列前项的和.
18.（17分）如图，在几何体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面.
证明平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19．（17分）已知函数，其中．
(1)当时，求的单调区间；
(2)求当时，函数在区间上的最小值；
(3)若函数有两个不同的零点.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
