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数 列
【2023年】
1．（新课标全国Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（新课标全国Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
3．（新课标全国Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
4．（新课标全国Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
5．（全国乙卷数学（文））记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
6．（全国乙卷数学（文））已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
7．（全国乙卷数学（文））已知为等比数列，，，则______.
8．（全国甲卷数学（文））记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
9．（全国甲卷数学（文））记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．
10．（全国甲卷数学（理））已知正项等比数列中，为前n项和，，则（ ）
A．7 B．9 C．15 D．30
11．（全国甲卷数学（理））已知数列中，，设为前n项和，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
12．（2023天津卷）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
13．（2023天津卷）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
14．（2023·北京·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
15．（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
16．（2023·北京·统考高考真题）已知数列的项数均为m，且 的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
【2022年】
1. （2022年全国高考乙卷数学（理）试题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A. B. C. D.
2.（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
3. （2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
4. （2022年全国新高考北京试题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.（2022年全国新高考浙江试题） 已知数列满足，则（ ）
A. B.
C. D.
6.（2022年全国高考乙卷数学（文）试题） 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
7.（2022年全国新高考北京试题） 己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
8.（2022年全国高考甲卷数学（理）试题） 记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
9.（2022年全国新高考北京试题） 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若为连续可表数列，且，求证：．
10.（2022年新全国高考Ⅱ卷数学试题） 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
11.（2022年新全国高考1卷数学试题） 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
12.（2022年全国新高考浙江试题） 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【2021年】
一、选择题
1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、解答题
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【2012年——2020年】
一、选择题
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5 B．8 C．10 D．15
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））设为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
10．（）等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
11．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
12．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））设是等差数列的前项和,若,则（ ）
A． B． C． D．
14．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知等比数列满足,,则（ ）
A． B． C． D．
15．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知等比数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设等差数列的前n项和为，若，则( )
A．3 B．4 C．5 D．6
18．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…
若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则（ ）
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
19．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A． B．- C． D．-
20．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学））数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（ ）
A．3690 B．3660 C．1845 D．1830
21．（2012年全国普通高等学校招生统一考试）已知为等比数列,,,则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
22．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））数列满足，前16项和为540，则 ______________.
23．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记为等差数列的前n项和．若，则__________．
24．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
25．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
26．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））记为等差数列的前项和，若，则___________.
27．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
28．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））记为数列的前项和，若，则_____________．
29．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））等差数列的前项和为，，，则____________．
30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
31．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为___________．
32．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））数列中为的前n项和，若，则_______.
33．（2015年全国普通高等学校招生统一考试）设是数列的前项和，且，，则__________．
34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））数列满足，则________．
35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1））若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.
36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
37．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______
38．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）数列满足，则的前项和为____
三、解答题
39．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
40．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．
41．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
42．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
43．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
44．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
45．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
46．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
47．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
48．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
49．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
50．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设数列满足.
（1）求的通项公式
（2）求数列 的前项和．
51．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国1））已知是公差为3的等差数列，数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和．
52．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
53．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1000项和.
54．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）已知各项都为正数的数列满足，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的通项公式.
55．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知数列的前n项和，其中．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求．
56．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
57．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知是递增的等差数列，，是方程的根.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
58．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知数列的前项和为，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
59．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
60．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知等差数列的前项和满足，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
61．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且，，成等比数列.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求+a4+a7+…+a3n-2.
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数 列
【2023年】
1．（新课标全国Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
2．（新课标全国Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
3．（新课标全国Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
4．（新课标全国Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
5．（全国乙卷数学（文））记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
6．（全国乙卷数学（文））已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
7．（全国乙卷数学（文））已知为等比数列，，，则______.
【答案】
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
8．（全国甲卷数学（文））记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
9．（全国甲卷数学（文））记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．
【答案】
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
10．（全国甲卷数学（理））已知正项等比数列中，为前n项和，，则（ ）
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
11．（全国甲卷数学（理））已知数列中，，设为前n项和，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
12．（2023天津卷）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】C
【详解】由题意可得：当时，，即， ①
当时，，即， ②
联立①②可得，则.
故选：C.
13．（2023天津卷）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
【详解】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
据此猜测，
否则，若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，
其前项和为：.
14．（2023·北京·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.
法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.
【详解】法1：因为，故，
对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立，
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，
故为减数列，注意
故，结合，
所以，故，故，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，故恒成立仅对部分成立，
故A不成立.
对于B，若可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，故为增数列，
若，则恒成立，故B正确.
对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为减数列，
又，结合可得：，所以，
若，若存在常数，使得恒成立，
则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为增数列，
又，结合可得：，所以，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为，
令，则，
令，得或；
令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
令，则，即，解得或或，
注意到，，
所以结合的单调性可知在和上，在和上，
对于A，因为，则，
当时，，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，即，
因为在上，所以，则为递减数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故，
所以在上单调递增，故，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为，
当时，，，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
又当时，，即，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
此时，取，满足题意，故B正确；
对于C，因为，则，
注意到当时，，，
猜想当时，，
当与时，与满足，
假设当时，，
当时，所以，
综上：，
易知，则，故，
所以，
因为在上，所以，则为递减数列，
假设存在常数，使得恒成立，
记，取，其中，
则，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C错误；
对于D，因为，
当时，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
所以，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.
15．（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
16．（2023·北京·统考高考真题）已知数列的项数均为m，且 的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
【分析】（1）先求，根据题意分析求解；
（2）根据题意题意分析可得，利用反证可得，在结合等差数列运算求解；
（3）讨论的大小，根据题意结合反证法分析证明.
【详解】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，且，则对任意恒成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则 ，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）因为均为正整数，则均为递增数列，
（ⅰ）若，则可取，满足 使得；
（ⅱ）若，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得；
（ⅲ）若，
定义，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
即满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得.
综上所述：存在使得．
【点睛】方法点睛：对于一些直接说明比较困难的问题，可以尝试利用反证法分析证明.
【2022年】
1. （2022年全国高考乙卷数学（理）试题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】解：因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
故选：D.
2.（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
3. （2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
4. （2022年全国新高考北京试题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
5.（2022年全国新高考浙江试题） 已知数列满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
6.（2022年全国高考乙卷数学（文）试题） 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【解析】
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
7.（2022年全国新高考北京试题） 己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.
8.（2022年全国高考甲卷数学（理）试题） 记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【小问1详解】
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
【小问2详解】
解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
9.（2022年全国新高考北京试题） 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若为连续可表数列，且，求证：．
【答案】（1）是连续可表数列；不是连续可表数列．
（2）证明见解析． （3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；
（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可．
【小问1详解】
，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
【小问2详解】
若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时,数列，满足，，，，，，，， ．
【小问3详解】
，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则（有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上
．
【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题．
10.（2022年新全国高考Ⅱ卷数学试题） 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【小问1详解】
设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
【小问2详解】
由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
11.（2022年新全国高考1卷数学试题） 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【小问1详解】
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
【小问2详解】
∴
12.（2022年全国新高考浙江试题） 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
【小问2详解】
因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
【2021年】
一、选择题
1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
二、解答题
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得，
所以，
所以，
所以.
3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
【分析】选①②作条件证明③：
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，所以.
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题设可得
又，，
故，即，即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
.
【2012年——2020年】
一、选择题
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【分析】根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【分析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
6．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知，，解得，∴，故选A．
7．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【分析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））设为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】：设该等差数列的公差为，
根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
9．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【解析】
设公差为，，，联立解得，故选C.
10．（）等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为，由、、成等比数列可得，
即，整理可得，又公差不为0，则，
故前项的和为.
故选：A
11．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
【答案】C
【详解】
试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：
,01010011;010101011,共14个
12．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】：由得，解得.
13．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））设是等差数列的前项和,若,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，，选A.
14．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知等比数列满足,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】：由题意可得,所以 ,故 ,选C.
15．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知等比数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.
16．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
Sn＝＝＝＝3－2an.
17．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设等差数列的前n项和为，若，则( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】是等差数列
又，
∴公差，
，故选C．
18．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…
若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则（ ）
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
【答案】B
【详解】且，，，
，，
又，，，，
由题意，，，
，，
，，，
由此可知顶点在以、为焦点的椭圆上，
又由题意，，，
，，
，，
单调递增（可证当时
故选：．
19．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A． B．-
C． D．-
【答案】C
【详解】
由S3 = a2 +10a1得，a2 +a3= a2 +10a1，即a3= 9a1，即= 9a1，解得= 9，又因为a5 = 9，所以= 9，解得，故选C.
20．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学））数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（ ）
A．3690 B．3660 C．1845 D．1830
【答案】D
【详解】
由于数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，
a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．
从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
{an}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，
故选D．
21．（2012年全国普通高等学校招生统一考试）已知为等比数列,,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】或.
由等比数列性质可知
或
故选D.
二、填空题
22．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））数列满足，前16项和为540，则 ______________.
【答案】
【分析】，
当为奇数时，；当为偶数时，.
设数列的前项和为，
，
.
故答案为：.
23．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】
【分析】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
24．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】.
【分析】：设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
25．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】.
【分析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
26．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））记为等差数列的前项和，若，则___________.
【答案】100
【分析】得
27．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【答案】4.
【分析】因，所以，即，
所以．
28．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））记为数列的前项和，若，则_____________．
【答案】
【分析】根据，可得，
两式相减得，即，
当时，，解得，
所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以，故答案是.
29．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））等差数列的前项和为，，，则____________．
【答案】
【详解】设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，
数列的前n项和，
裂项可得，
所以．
30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
【答案】-8
【解析】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：，由可得：，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得.
31．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为___________．
【答案】
【详解】：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
32．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））数列中为的前n项和，若，则_______.
【答案】6
【解析】：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得．
33．（2015年全国普通高等学校招生统一考试）设是数列的前项和，且，，则__________．
【答案】
【解析】
原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .
34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））数列满足，则________．
【答案】．
【详解】：由已知得，，，所以，，，
，，，．
35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1））若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.
【答案】；
【详解】：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝ an 1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1．
36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
【答案】－49
【详解】由条件得nSn＝，对f(x)＝求导可得f(x)在上递减，在上递增，分别计算n＝6和n＝7可得，当n＝7时nSn＝最小为－49.
37．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______
【答案】
【详解】
显然公比，设首项为，则由，得，即，即，即，所以，解得.
38．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）数列满足，则的前项和为____
【答案】1830
【解析】：，令则，即数列是以16为公差的等差数列，的前60项和为即为数列{bn}的前15项和
三、解答题
39．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
40．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以，
41．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
42．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
根据题意有，
解答，所以，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由条件，得，即，
因为，所以，并且有，所以有，
由得，整理得，
因为，所以有，即，
解得，
所以的取值范围是：
43．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，．
(2)因为，所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，．
44．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2），．
【分析】(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
45．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【答案】（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）.
【分析】（1）由条件可得．
将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．
从而，，；
（2）是首项为，公比为的等比数列．
由条件可得，即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列；
（3）由（2）可得，所以．
46．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【详解】：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
47．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或 .
（2）.
【详解】：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
48．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
【答案】（1）；（2）见解析.
【详解】：（1）设的公比为.由题设可得 ，解得，.
故的通项公式为.
（2）由（1）可得.
由于，
故，，成等差数列.
49．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）5或.
【分析】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.
（1）∵，结合得，
∴.
（2）∵，解得或3，
当时，，此时；
当时，，此时.
50．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设数列满足.
（1）求的通项公式
（2）求数列 的前项和．
【答案】(1) ；(2).
【分析】（1）数列满足
时,
∴
∴
当时,,上式也成立
∴
（2）
∴数列的前n项和
51．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国1））已知是公差为3的等差数列，数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和．
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【详解】：（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和 得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则
52．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.
【解析】：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意有.
解得.
所以的通项公式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
当n=1,2,3时，；
当n=4,5时，；
当n=6,7,8时，；
当n=9,10时，.
所以数列的前10项和为.
53．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1000项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1893.
【详解】：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
54．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）已知各项都为正数的数列满足，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的通项公式.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【详解】：（Ⅰ）由题意，得.
（Ⅱ）由得.
因为的各项都为正数，所以.
故是首项为，公比为的等比数列，因此.
55．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知数列的前n项和，其中．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【详解】：（Ⅰ）由题意得，故，，.
由，得，即.由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.
解得.
56．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，
即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，
∵a12+2a1＝4a1+3，
∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，
则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：
（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn（），
∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.
57．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知是递增的等差数列，，是方程的根.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）;（2）.
【分析】方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
（2）设的前n项和为Sn，
由（1）知＝，
则Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Sn＝＋－
＝＋－，
所以Sn＝2－.
58．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知数列的前项和为，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】：（I）由题设，，．两式相减得，．
由于，所以．
（II）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．
故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，．
所以，．
因此存在，使得为等差数列．
59．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【详解】：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是=，
所以.
60．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知等差数列的前项和满足，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】(1)；（2）.
【分析】：（1）由等差数列的性质可得，
即，解得a1＝1，d＝﹣1，
则{an}的通项公式an＝1﹣（n﹣1）＝2﹣n；
（2）（）（），
则数列{}的前n项和Sn（）
（﹣1）．
61．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且，，成等比数列.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求+a4+a7+…+a3n-2.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】(1)设{an}的公差为d.由题意，
a112＝a1a13，
即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，
故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝ (a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
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