广东省 3月模拟考真题汇编：数列篇
一、单选题
1 (2024·广东深圳·一模)由 0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为
an ，即 a1= 0,a2= 2,a3= 4, ，若 an= 2024，则n= ( )
A. 34 B. 33 C. 32 D. 30
【答案】B
【详解】由 0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列 {an}，
则一位自然数有 3个，两位自然数有 32-3= 6个，
三位自然数有 33-9= 18个，四位自然数有 34-27= 54个，
又四位自然数为 2000,2002,2004,2020,2022,2024,
2024为四位自然数中的第 6个，所以n= 3+ 6+ 18+ 6= 33.
故选：B
a +2, n= 2k- 1
2 ( n2024·广东深圳·一模)已知数列 a n 满足 a1= a2= 1，an+2= (k∈N )，若S 为数-an, n= n2k
列 an 的前n项和，则S50= ( )
A. 624 B. 625 C. 626 D. 650
【答案】C
an+2, n= 2k- 1
【详解】数列 an 中，a1= a2= 1，a n+2= (k∈N )，-an, n= 2k
当n= 2k- 1,k∈N 时，an+2-an= 2，即数列 an 的奇数项构成等差数列，其首项为 1，公差为 2，
a +a +a + +a = 25× 1+ 25× 24则 1 3 5 49 × 2= 625，2
a
当n= 2k,k∈N 时， n+2 =-1，即数列 an 的偶数项构成等比数列，其首项为 1，公比为-1，an
+ + + + = 1× [1- (-1)
25]
则 a2 a4 a6 a50 = 1，
1- (-1)
所以S50= (a1+a3+a5+ +a49) + (a2+a4+a6+ +a50) = 626.故选：C
3 (2024·广东汕头·一模)在 3与 15之间插入 3个数，使这 5个数成等差数列，则插入的 3个数之和为
( )
A. 21 B. 24 C. 27 D. 30
【答案】C
【详解】令插入的 3个数依次为 a1,a2,a3，即 3,a1,a2,a3,15成等差数列，
因此 2a2= 3+ 15，解得 a2= 9，
1
所以插入的 3个数之和为 a1+a2+a3= 3a2= 27.
故选：C
4 (2024·广东·模拟预测)已知等比数列 an 的各项均为正数，若 a4= 2,a8= 6，则 a6= ( )
A. 4 B. 2 3 C. 3 D. 3 3
【答案】B
【详解】因为等比数列 an 的各项均为正数，所以 a
2
4 a8= a6= 12，所以 a6= 2 3.
故选：B
5 (2024·广东江门·一模)已知 an 是等比数列，a3a5= 8a4，且 a 22，a6是方程 x -34x+m= 0两根，则m
= ( )
A. 8 B. -8 C. 64 D. -64
【答案】C
【详解】因为 an 是等比数列，所以 a3a5= a2 24，a2a6= a4，又 a3a5= 8a4，所以 a4= 8，
又 a 22，a6是方程 x -34x+m= 0两根，
所以m= a2a6= a24= 64.
故选：C
6 (2024·广东佛山·二模)设数列 an 的前n项之积为Tn，满足 an+2Tn= 1(n∈N *)，则 a2024= ( )
A. 1011 B. 1011 C. 4047 D. 4048
1012 1013 4049 4049
【答案】C
【详解】
因为 an+2T= 1(n∈N *n )，
所以 a1+2T1= 1，即 a1+2a1= 1，所以 a = 11 ，3
T
所以 n + 2T *
T n
= 1(n≥ 2,n∈N )，
n-1
1 1
所以 - = 2(n≥ 2,n∈N *)，
Tn Tn-1
1 1 1
所以数列 是首项为 = = 3，公差为 2的等差数列，Tn T1 a1
1
所以 = 3+ 2(n- 1) = 2n+ 1，
Tn
1
= 1 T即T ，所以 a 2024 2× 2024+ 1 4047n 2n+ 1 2024= = = ．T2023 1 4049
2× 2023+ 1
故选：C．
2
7 ( S2024·广东广州·一模)记Sn为等比数列 an 的前n项和，若 a3a5= 2a2a4，则 4 = ( )S2
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【详解】
根据题意，设等比数列 {an}的公比为 q，
a a
若 a a = 2a a ，即 3 5 23 5 2 4 = q = 2，a2a4
a (1- q41 )
S4 = 1- q故 2 = 1+ q
2= 3．故选：C．
S2 a1(1- q )
1- q
二、填空题
S +9
8 (2024·广东广州·一模)已知数列 an 的前n项和S =n2n +n，当 n 取最小值时，n= .an
【答案】3
【详解】因为S =n2n +n，则当n≥ 2时，an=Sn-Sn-1=n2+n- n- 1 2- n- 1 = 2n，
又当n= 1时，a1=S1= 2，满足 an= 2n，故 an= 2n；
S 2
则 n
+9 = n +n+ 9 = 1 n+ 9 + 1 ，an 2n 2 n 2
9
又 y= x+ ,x≥ 1在 1,3 单调递减，在 3,+∞ 单调递增；
x
n= 3 n+ 9 S +9故当 时， 取得最小值，也即 n= 3时， n 取得最小值.
n an
故答案为：3.
三、解答题
9 (2024· S广东深圳·一模)设Sn为数列 an 的前n项和，已知 a2= 4,S4= 20，且 n n 为等差数列．
(1)求证：数列 an 为等差数列；
(2) b a若数列 bn 满足 b1= 6，且 n+1 = n ，设Tn为数列 bn 的前n项和，集合M= T *b a n Tn∈N ，求M (用n n+2
列举法表示)．
【答案】(1)证明见解析
(2)M= 6,8,9,10,11
S
【详解】(1)设等差数列 n
S
的公差为 d，则
4 = S1 + 3d，即S +3d= 5，①
n 4 1 1
S S
因为S2= a1+a2=S1+4，所以由 2 = 1 + d，得S1+2d= 4．②2 1
S
由①、②解得S1= 2,d= 1，所以 n =n+ 1，即Sn=n n+ 1 ，n
3
当n≥ 2时，an=Sn-Sn-1=n n+ 1 - n- 1 n= 2n，
当n= 1时，a1=S1= 2，上式也成立，所以 an= 2n n∈N* ，
所以数列 an 是等差数列．
(2)由 (1) b可知 n+1 = an = 2n = n ，
bn an+2 2n+ 4 n+ 2
n≥ b b b2 n- 1 n- 2 1 12当 时，bn= n n-1 2 b1= + × × × × 6= ，bn-1 bn-2 b1 n 1 n 3 n n+ 1
12 1 1
因为 b1= 6满足上式，所以 bn= = 12+ -n n+ 1 n∈N
* ．
n n 1
Tn= 12 1- 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 = 12× 1- 1+ + = 12-
12
，
2 2 3 n n 1 n 1 n+ 1
12
因为当 + ∈N
*时，n= 1,2,3,5,11，所以M= 6,8,9,10,11 ．
n 1
10 (2024· 1 1广东广州·二模)已知数列 an 中，a1= 1,a1+ a2+ a3+ + 1 an= an+1-1 n∈N * .2 3 n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)令 b = 2nn an，记Tn为 bn 的前n项和，证明：n≥ 3时，T【答案】(1)an=n
(2)证明见解析
【详解】(1)因为 a 11+ a + 12 a3+ + 1 an= a2 3 n n+1-1，
所以 a1+ 1 a2+ 1 a 13+ + an+ 1+ an+1= an+2-1，2 3 n n 1
1 = - = + - + an+1 = n+ 1 a2 a作差可得 + an+1 an+2 an+1，变形为 an+1 n 1 an+2 n 1 a ，即 ，即
3
n 1 n+1 an+2 n+ 2 a3 a4
an+1 = 2 3 n+ 1 a2 2
an+2 3 4 n+
，化简为 = ，
2 an+2 n+ 2
因为 a1= 1,a + 11 a2 2= a2-1 a2= 2，所以 an+2=n+ 2，
a
因为 n+1 = n+ 1 an = n+ + an=n，an+2 n 2 an+2 n 2
所以数列 an 的通项公式为 an=n.
(2)因为 bn= 2nan=n 2n，公众号：慧博高中数学最新试题
所以Tn= 1 2+ 2 22+ n 2n，2Tn= 1 22+2 23+ n 2n+1，
2 1- 2n
作差可得-Tn= 2+ 22+ + n- n+1=
2 n 2 - -n 2
n+1，
1 2
所以Tn= n- 1 2n+1+2，
T-n 2n+1n -4 = n- 1 2n+1+2-n 2n+1-4 =-2n+1+4n+ 2，
设 f x =-2× 2x+4x+ 2,x≥ 3，则 f x =-2× 2xln2+ 4在给定区间上递减，又 f 3 =-16× ln2+ 4< 0
4
故 f x 在 3,+∞ 是减函数，f x max= f 3 =-24+4× 3+ 2=-2< 0，
所以当n≥ 3时，Tn11 (2024·广东佛山·模拟预测)已知数列 an 满足 am+2n= an+2m m,n∈N* ，且 a3= 5．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) a证明： 1 + a2 + + ann < 1．3 32 3
【答案】(1)an= 2n- 1
(2)证明过程见解析
【详解】(1)am-2m= an-2n，故 an-2n 为常数列，
其中 a3= 5，故 a3-6= 5- 6=-1，
故 an-2n=-1，即 an= 2n- 1；
(2) ab nn= n =
2n- 1
n ，设 bn 的前n项和为Tn，3 3
则Tn= 1 + 3 + + 2n- 1 1n ①， T=
1 + 3 + + 2n- 1n + ②，3 32 3 3 32 33 3n 1
2 - 22 2 n+1
两式①-②得， T= 1 + 2 + 2 + + 2 - 2n- 1 = 1 3 3 2n- 1
3 n
+ -
3 32 33 3n 3n+1 3 1- 1 3n+13
= 2 - 2+ 2n，
3 3n+1
n+ 1
故Tn= 1-
3n
< 1.
12 (2022·广东汕头·一模)已知数列 {a an}和 {b nn}，其中 bn= 2 ，n∈N *，数列 {an+bn}的前n项和为Sn．
(1)若 an= 2n，求Sn；
(2)若 {bn}是各项为正的等比数列，Sn= 3n，求数列 {an}和 {bn}的通项公式．
【答案】(1)S =n2n +n+ 4 (4n-1)3
(2)an= 1，bn= 2
【详解】(1)
解：当n≥ 2时，an-an-1= 2n- 2(n- 1) = 2，从而 {an}是等差数列，an= 2n，
b 2ann = a = 2
an-an-1= 4，所以 {bn}是等比数列，b n-1n-1 2
又 b1= 2a1= 22= 4，则 bn= 4× 4n-1= 4n，
= n(2+ 2n) + 4× (1- 4
n)
所以Sn - =n
2+n+ 4 (4n-1)．
2 1 4 3
(2)
解：{bn}是各项为正的等比数列，设其首项为 b1，公比为 q，
由 b ann= 2 ，可得 an= log2bn，则 an+1-an= log2bn+1-log2bn= log2q，(定值)
5
则数列 {an}为等差数列，设其首项为 a1，公差为 d，
由数列 {an+bn}的前n项和Sn= 3n，
a1+b1= 3 a1+d+ b1q= 3 d+ b
2
1q -b1q= 0可得方程组
a1+ +
，整理得 ，
2d b1q
2= 3 d+ b1q3-b 21q = 0
a1+3d+ b q31 = 3
解得：b1q(q- 1)2= 0，∵ b1≠ 0，q≠ 0，∴ q= 1且 d= 0，
a
由 a +2 11 = 3，可得 a1= 1，则 b1= 2，
则数列 {an}的通项公式为 an= 1；数列 {bn}的通项公式为 bn= 2．
【点睛】本题考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式求出数列的通
项公式，是难题．公众号：慧博高中数学最新试题
13 (2024·广东百日冲刺·模拟预测)已知数列 a 2n 的前n项和为Sn，且Sn= 3n +6n．
(1)求 an 的通项公式；
(2) 9设 bn= ，求数列 bn 的前n项和T．a nnan+1
【答案】(1)an= 6n+ 3,n∈N *
(2)Tn= n ,n∈N *
3 2n+ 3
【详解】(1)由题意 a1=S1= 9，
当n≥ 2,n∈N *时，an=Sn-S 2n-1= 3n +6n- 3 n- 1 2-6 n- 1 = 6n+ 3，
且 a1= 6+ 3= 9满足上式，
所以 an= 6n+ 3,n∈N *.
(2) 9 9 1 1 1 1由题意 bn= = = = - ，anan+1 6n+ 3 6n+ 9 2n+ 1 2n+ 3 2 2n+ 1 2n+ 3
所以T= 1 1n - 1 + 1 - 1 + + 1 1 1 1 1 n2 3 5 5 7 2n+ -1 2n+ = -3 2 3 2n+ 3 = .3 2n+ 3
14 (2024·广东·一模)已知数列 an 的前n项和为Sn，n为正整数，且 3 Sn-n = 4 an-2 ．
(1)求证数列 an-1 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
( ) b +22 6n- 1若点P a -1, nn 在函数 y= log4x的图象上，且数列 cn 满足 cn= (-1)n+1 ，求数列 cn 的3 bnbn+1
前n项和Tn．
【答案】(1)证明见解析，an= 4n+1
3n
(2)T= 3n+ 1 ,n为偶数n 3n+ 23n+ 1 ,n为奇数
【详解】(1)当n= 1时，3(a1-1) = 4(a1-2)，解得 a1= 5，
当n≥ 2时，由 3 Sn-n = 4 an-2 可得 3 Sn-1-n+ 1 = 4 an-1-2 ，
6
两式相减可得，an= 4an-1-3，即 an-1= 4 an-1-1 ，
所以数列 an-1 是以 5- 1= 4为首项，4为公比的等比数列，
所以 an-1= 4 4n-1= 4n，即 a nn= 4 +1.
(2) b +2点P an-1, n 在函数 y= log4x的图象上，3
b
所以 n
+2 = log4 an-1 = log44n=n，即 bn= 3n- 2，3
c = (-1)n+1 6n- 1 = (-1)n+1 6n- 1所以 n = (-1)n+1 1 + 1 ，bnbn+1 3n- 2 (3n+ 1) 3n- 2 3n+ 1
当n= 2k,k∈N 时，
T= c +c + +c = 1+ 1 - 1 + 1 + - 1 + 1n 1 2 n = 1- 1 = 3n4 4 7 3n- 2 3n+ 1 3n+ 1 3n+ ，1
当n= 2k- 1,k∈N 时，
Tn= c1+c2+ +cn-1+c = 3n- 3 + c = 3n- 3 + 1 + 1 = 1+ 1 = 3n+ 2n 3n- 2 n 3n- 2 3n- 2 3n+ 1 3n+ 1 3n+ 1
3n
综上，T= 3n+ 1
,n为偶数
n 3n+ 23n+ 1 ,n为奇数
( a +1,n为奇数15 2024·广东佛山·二模)已知数列 a nn 满足 a1= 1，an+1= ，且 bn= a3a ,n 2n+1-a2n-1．n 为偶数
(1)证明 bn 为等比数列，并求数列 bn 的通项公式；
n
(2) b -5设 cn= n 1 1 3- ，且数列 cn 的前n项和为Tn，证明：当n≥ 2时， - - 3 < 3Tn-n< ln n - 1．b n 1n+1 5 2 3 3 -1
【答案】(1)证明见解析，bn= 5 3n-1
(2)证明见解析
【详解】(1)
= = an+1,n为奇数因为 an 1，an+1 ，3an,n为偶数
所以 a2= a1+1= 2，a3= 3a2= 3× 2= 6，b1= a3-a1= 6- 1= 5.
所以 an+1> an，所以 a2n+1-a2n-1> 0，
bn+1 = a2n+3-a2n+1 = 3a2n+2-3a2n
3 a
= 2n+1
+1 - 3 a2n-1+1 3 a -a= 2n+1 2n-1 因为
bn a2n+1-a2n-1 a2n+1-a2n-1 a2n+1-a2n-1 a2n+1-
= 3．
a2n-1
所以 bn 是等比数列，首项 b1= 5，公比 q= 3，所以 bn= 5 3n-1．
(2)
( ) = bn-51 c = 5 3
n-1-5 3n-1= -1由 可得 n b n n ，n+1-5 5 3 -5 3 -1
1 1
先证明左边：即证明 - 3 < 3T-n，2 3n-1 n
7
n-1
n≥ 2 c = 3 -1 3
n-1-1 1
当 时， n n > = -
1
，
3 -1 3n 3 3n
1 1 n
T> 1 - 1
1-
+ 1 - 1 + + 1 - 1 = n - 3 3
= n - 1 1所以 n n 1- ，3 31 3 32 3 3 3 1- 1 3 2 3n 3
3T-n> 1 1所以 n 2 3n- - 31 ，
n
再证明右边：3T-n< ln 3n
3n
- 1，
-1
3n-1c = -1
n
因为 n n =
1 3 -3 = 1n 1- 2 < 1n 1- 2 = 1 - 23 -1 3 3 -1 3 3 -1 3 3n 3 3n+ ，1
2 1 n
T< 1 - 2 + 1 - 2 + + 1 2 n
2 1-3 - = - 3 = n - 1 + 1所以 n ，3 32 3 33 3 3n+1 3 1- 1 3 3 3n+13
n
即 3Tn-n< 1 1n - 1，下面证明 n - 1< ln
3
3 3 3n
- 1，
-1
1 < ln 3
n 1 n
即证 n n ，即证 n <-ln
3 -1 1
3 3 -1 3 3n
=-ln 1- 3n
设 1- 1n = t，t∈
2
,1 1，则 n = 1- t，设 f t = lnt+ 1- t，t∈ 23 3 3 ,13 ，
1 1- t
因为 f t = - 1= > 0，所以函数 f t = lnt+ 1- t在 t∈ 2 ,1 上单调递增，t t 3
则 f t < f 1 = 0，即 1- t<-lnt，t∈ 2 ,13
，
1 1 n
所以 n <-ln 1- n ，所以 3T-n< 1 3n n - 1< ln n - 1．3 3 3 3 -1
1 n
综上， 1- - 3 < 3Tn-n< ln 3n - 1．2 3n 1 3 -1
【点睛】方法点睛：数列不等式的证明方法主要有：
(1)作差比较法：不等式两边作差与 0比较大小.
(2)放缩比较法：对表达式适当放缩，证出不等式.
8广东省 3月模拟考真题汇编：数列篇
一、单选题
1 (2024·广东深圳·一模)由 0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为
an ，即 a1= 0,a2= 2,a3= 4, ，若 an= 2024，则n= ( )
A. 34 B. 33 C. 32 D. 30
a
( · n
+2, n= 2k- 1
2 2024广东深圳·一模)已知数列 an 满足 a1= a2= 1，an+2= (k∈N )，若S 为数-an, n= n2k
列 an 的前n项和，则S50= ( )
A. 624 B. 625 C. 626 D. 650
3 (2024·广东汕头·一模)在 3与 15之间插入 3个数，使这 5个数成等差数列，则插入的 3个数之和为
( )
A. 21 B. 24 C. 27 D. 30
4 (2024·广东·模拟预测)已知等比数列 an 的各项均为正数，若 a4= 2,a8= 6，则 a6= ( )
A. 4 B. 2 3 C. 3 D. 3 3
5 (2024·广东江门·一模)已知 an 是等比数列，a3a5= 8a4，且 a 22，a6是方程 x -34x+m= 0两根，则m
= ( )
A. 8 B. -8 C. 64 D. -64
6 (2024·广东佛山·二模)设数列 an 的前n项之积为T *n，满足 an+2Tn= 1(n∈N )，则 a2024= ( )
A. 1011 B. 1011 C. 4047 D. 4048
1012 1013 4049 4049
7 ( S2024·广东广州·一模)记Sn为等比数列 an 的前n项和，若 a3a5= 2a2a4，则 4 = ( )S2
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
1
二、填空题
8 ( S +92024·广东广州·一模)已知数列 an 的前n项和Sn=n2+n，当 n 取最小值时，n= .an
三、解答题
9 (2024·广东深圳·一模)设Sn为数列 an 的前n项和，已知 a2= 4,S4=
S
20，且 n 为等差数列．n
(1)求证：数列 an 为等差数列；
(2) b a若数列 b 满足 b n+1 n *n 1= 6，且 = ，设Tn为数列 bn 的前n项和，集合M= T Tb a n n∈N ，求M (用n n+2
列举法表示)．
1 1 1
10 (2024·广东广州·二模)已知数列 an 中，a1= 1,a1+ a2+ a3+ + an= an+1-1 n∈N * .2 3 n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)令 bn= 2nan，记Tn为 bn 的前n项和，证明：n≥ 3时，Tn2
11 (2024·广东佛山·模拟预测)已知数列 an 满足 am+2n= an+2m m,n∈N* ，且 a3= 5．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) a a a证明： 1 + 2 + + n < 1．
3 32 3n
12 (2022·广东汕头·一模)已知数列 {an}和 {bn}，其中 bn= 2an，n∈N *，数列 {an+bn}的前n项和为Sn．
(1)若 an= 2n，求Sn；
(2)若 {bn}是各项为正的等比数列，Sn= 3n，求数列 {an}和 {bn}的通项公式．
13 (2024·广东百日冲刺·模拟预测)已知数列 an 的前n项和为S ，且S = 3n2n n +6n．
(1)求 an 的通项公式；
(2)设 bn= 9 ，求数列 b 的前n项和T．a n nnan+1
3
14 (2024·广东·一模)已知数列 an 的前n项和为Sn，n为正整数，且 3 Sn-n = 4 an-2 ．
(1)求证数列 an-1 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
(2) b +2若点P an-1, n 在函数 y= log4x的图象上，且数列 cn 满足 cn= (-1)n+1 6n- 1，求数列 c 的3 b b nn n+1
前n项和Tn．
( a +1,n为奇数15 2024·广东佛山·二模)已知数列 a 满足 a = 1，a = nn 1 n+1 ，且 b = a -a ．3a ,n n 2n+1 2n-1n 为偶数
(1)证明 bn 为等比数列，并求数列 bn 的通项公式；
(2) = bc n-5 c n T 1 1 3
n
设 n - ，且数列 的前 项和为b 5 n n，证明：当n≥ 2时，n+1 2 - - 3 < 3Tn-n< ln - 1．3n 1 3n-1
4
