数学试题答案
1-8ACCCA BBD 9.AB 10.BC 11.ABD
12..-2 13.14.
15. （满分13分）（1） （2）
【小问1详解】
已知点在单位圆上，，，
，，，
点在单位圆上，所以有.................................................................6分
【小问2详解】
，，则有，
所以.................13分
16（满分15分）.答案：（1）（2）29.25
【解析】
（1）对于模型①：由题意，有得.
当时，，不合题意
对于模型②：的增长越来越快，图像越来越“陡峭”，不合题意...
对于模型③：由题意，有得
该函数图像增长符合题设图像要求.
当时，
符合题意
综上所述，最合适的模型是模型③，其解析式为..............9分
（2）由（1），令
解得
所以每天至少锻炼29.25分钟.：.......................................................................................................15分
17. （满分15分）答案：（1），单调递增区间为
（2）
【解析】
（1）由图像可知，
则，则
令，可得，所以的解析式为................5分
令可得
则函数的单调递增区间为.........................................................9分
（2），
由题意，
令，
由可得，
令，
则，其中，
由对称性可知，
两式相加可得，
所以，
又
COS ( )=
18（满分17分）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分类讨论，答案见解析；（Ⅲ）．
【详解】（Ⅰ）∵是偶函数，∴，∴，
∴，∴，
即对一切恒成立，
∴； .....................................................................................................5分
（Ⅱ）要使函数有意义，需，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上可知，当时，的定义域为；
当时，的定义域为； .......................................10分
（Ⅲ）∵只有一个零点，
∴方程有且只有一个实根，
即方程有且只有一个实根，
亦即方程有且只有一个实根，
令（），则方程有且只有一个正根，
①当时，，不合题意；
②当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，
由可得，解得或
若，则不合题意，舍去；
若，则满足条件；
若方程有两根异号，则，∴，
综上所述，实数的取值范围是. ...................................................17分
19. （满分17分）
【答案】（1）（2）（3）最大值为，此时.
试题解析：解：（1）由已知条件，得
又∵
又∵当时，有
∴ 曲线段的解析式为． .................5分
（2）由得
又
∴ 景观路长为千米 ...........................................................................10分
（3）如图，
作轴于点，中，
...................................................15分
当时，平行四边形面积值为...........................................................17分金溪一中2023-2024学年度高一下学期第一次月考
数学试题
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （）
A. B. C. D.
2.化简等于（）
A. B. C. D.
3.将函数的图像向左平移个单位长度得到曲线，然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线，最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线对应的函数是（）
A. B. C. D.
4. 下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则等于（）
A. B. C. D.
6. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
7. 已知函数满足，则（ ）
A. B. 0 C. D. 2
8.设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9. 已知函数，则下列选项正确的是（）
A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数为偶函数
D. 函数在区间上单调递增
10. 如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（）
A. B. C. D.
11.设函数，集合，则下列命题正确的是（）
A. 当时， B. 当时
C. 若，则k的取值范围为
D. 若（其中），则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设函数则__________．
13.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是__________.
14.将函数图象与直线的所有交点从左到右依次记为，，…，若P点坐标为（0，1），则________．
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（满分13分）在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点）于、两点.已知点，将绕原点顺时针旋转到，
（1）求点的坐标；
（2）求的值.
.
16.（满分15分）学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下：
（i）函数的图象接近图示；
（ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
（iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；
（iiii）每天得分最多不超过12分.
现有以下三个函数模型供选择：
①；②；③.
（1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
（2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？（参考值：）
17（满分15分）函数的部分图像如图所示，
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求 COS ( )的值
18.（满分17分）已知函数与，其中是偶函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的定义域；
（Ⅲ）若函数只有一个零点，求实数的取值范围
19.（满分17分） 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．
（1）求曲线段的函数表达式；
（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；
（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，用表示平行四边形休闲区面积，并求=的面积值．
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