6.2.1 向量的加法运算（含答案）--高中数学人教A版（2019）必修第二册

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6．2.1　向量的加法运算
必备知识基础练　
1．设向量＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
2．某人先向东走3 km，位移记为a，接着再向北走3 km，位移记为b，则a＋b表示(　　)
A．向东南走3 km B．向东北走3 km
C．向东南走3 km D．向东北走3 km
3．化简＋＋＝(　　)
A．0 B．0 C． D．
4．(多选)在 ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是(　　)
A．a＋b＝c B．a＋d＝b
C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|
5.＋的化简结果是________．
6．已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝________.
7.
如图所示，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用c，d表示.
关键能力综合练　
1.
如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A．0　　　B． C． D．
2.＋＋＋＋＝(　　)
A． B．0 C． D．
3．已知O是△ABC所在平面内一点，且＋＝，那么(　　)
A．点O在△ABC的内部
B．点O在△ABC的边AB上
C．点O在边AB所在的直线上
D．点O在△ABC的外部
4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E为BC的中点，则|＋|＝(　　)
A． B． C． D．
5．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|则四边形ABCD是(　　)
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
6.
如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则＋＋＝(　　)
A．0 B．0 C． D．
7.
(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是(　　)
A．＋＝
B．＋＋＝
C．＋＋＝
D．＋＋＝0
8．已知正方形ABCD的边长为1，则|＋|＝________.
9.
如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．
10.
如图，已知点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点，求证：＋＋＝0.
核心素养升级练　
1．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
2．2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS(船舶自动识别系统)基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成．已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔(杆)的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如图所示，则|＋＋|的最小值为(　　)
A．40 B．20 C．20 D．80
3．(1)设O是正五边形ABCDE的中心，求＋＋＋＋；
(2)设O是正n边形A1A2…An的中心，求＋＋…＋．
6．2.1　向量的加法运算
必备知识基础练
1．答案：A
解析：向量＝a，＝b，则＝＋＝a＋b.故选A.
2．答案：B
解析：由题意和向量的加法，得a＋b表示先向东走3 km，再向北走3 km，即向东北走3 km.故选B.
3．答案：B
解析：＋＋＝＋＝0，故选B.
4．答案：ABD
解析：由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．故选ABD.
5．答案：
解析：＋＝.
6．答案：e
解析：a＋b＋c＋d＝(＋)＋(＋)＝＋＝＝e.
7．解析：(1)＝＋＋＝d＋e＋a；
(2)＝＋＝－c－b；
(3)＝＋＋＝e＋a＋b；
(4)＝＋＝－d－c.
关键能力综合练
1．答案：D
解析：ABCDEF为正六边形，所以＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＝.故选D.
2．答案：B
解析：＋＋＋＋＝(＋＋)＋(＋)＝0＋0＝0.故选B.
3．答案：D
解析：因为＋＝，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在△ABC的外部．故选D.
4．答案：C
解析：在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E为BC的中点，所以＝，AC＝＝＝，则|＋|＝|＋|＝||＝.故选C.
5．答案：B
解析：由题意，在平行四边形ABCD中，因为|＋|＝|＋|，根据平面向量的加法的运算法则，可得||＝||，即平行四边形ABCD的对角线是相等的，所以该平行四边形ABCD为矩形．故选B.
6．答案：A
解析：连接OB.由正六边形的性质，可知△OAB与△OBC都是等边三角形，∴OA＝AB＝BC＝OC，∴四边形OABC是平行四边形，∴＋＝，∴＋＋＝＋＝0，故选A.
7．答案：ACD
解析：由平行四边形加法法则可得：＋＝，A正确；由三角形加法法则＋＋＝＋＝＋＝，B错误；＋＋＝＋＝，C正确；＋＋＝＋＝0，D正确．故选ACD.
8．答案：
解析：如图所示，因为正方形ABCD的边长为1，由平行四边形法则得|＋|＝||＝.
9．解析：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)由向量三角不等式知|a＋e|≤|a|＋|e|＝3，当且仅当a，e同向时等号成立，
故|a＋e|的最大值为3.
10．证明：
连接DE、EF、FD，如图，
∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴EF∥AD，DE∥AF，
∴四边形ADEF为平行四边形，
由向量加法的平行四边形法则，得＋＝　①，
同理在平行四边形BEFD中，＋＝　②，
在平行四边形CFDE中，＋＝　③，
将①②③相加，得＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
核心素养升级练
1．答案：D
解析：由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|＋|＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D.
2．答案：A
解析：由题知，＋＋＝0，即＋＝，则＋＋＝，则当叶片旋转到最低点时，||最小，且值为60－20＝40.故选A.
3．解析：(1)令m＝＋＋＋＋，若将m顺时针旋转72°，等价于将，，，，都顺时针旋转72°，如图：
向量，，，，在旋转后对应位置为，，，，，
所以，旋转后向量的和为＋＋＋＋＝m，即m顺时针旋转72°后所得向量相等，仍是m，故m＝0.
(2)设a＝＋＋…＋，将a顺时针旋转，等价于将＋＋…＋都顺时针旋转，
同理，旋转后向量的和为＋＋…＋＝a，即a顺时针旋转后所得向量相等，仍是a，故a＝0.
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