6.2.3 向量的数乘运算（含答案）--高中数学人教A版（2019）必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台
6.2　平面向量的运算
6.2.3向量的数乘运算
1.(多选)对于非零向量,下列说法正确的是(　　)
A.2的长度是的长度的2倍,且2与方向相同
B.-的长度是a的长度的,且-与a方向相反
C.若λ=0,则λa等于零
D.若λ=,则λa是与a同向的单位向量
2.化简:
(1)5(2a-2b)+4(2b-3a);
(2)6(a-3b+c)-4(-a+b-c);
(3);
(4)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b).
3.已知e1,e2是不共线的向量.
(1)若=3e1+4e2,=6e1+8e2,证明:A,B,C三点共线;
(2)若ke1+e2与e1+ke2共线,求k的值,并指出它们的方向.
4.(多选)下列结论中正确的是(　　)
A.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
B.若a∥b,则存在不全为零的实数λ1和λ2,使λ1a+λ2b=0
C.若a与b不共线,则不存在实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0
D.若a与b不共线,则λ1a+λ2b=0是λ1=λ2=0的充分必要条件
5.已知平面内一点P及△ABC,若++=,则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A.点P在线段AB上
B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上
D.点P在△ABC外部
6.设向量a,b不共线,向量λa+b与a+2λb方向相反,则实数λ的值为(　　)
A.± B. C.- D.
7.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若2+3=2+3,则四边形ABCD一定是(　　)
A.矩形 B.梯形
C.平行四边形 D.菱形
8.已知a,b是不共线的向量,且=a+5b,=-2a+8b,=4a+2b,则下列选项正确的是(　　)
A.A,B,C共线 B.A,B,D共线
C.A,C,D共线 D.B,C,D共线
9.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的),类比“赵爽弦图”,可构造如图所示的图形,它是由3个全等的三角形再加上中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设DF=2AF,则(　　)
A.=+ B.=+
C.=+ D.=+
10.已知在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,=3,点O在线段CD上,若=t+(1-t),则实数t的取值范围是　　　　.
11.△ABC中,D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点.求证:AD、BE、CF交于一点.
12.已知点P是△ABC所在平面内的一点,若=+,则的值为　　.
13.设D为△ABC所在平面内一点,若=3,则下列关系中正确的是(　　)
A.=-+ B.=-
C.=+ D.=-
14.已知=+t,若A、B、C三点共线,则=(　　)
A. B. C. D.2
15.设O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定经过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
16.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-4+3=0,则等于(　　)
A. B. C. D.
17.在△ABC中,点P满足2=,过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,若=x,=y(x>0,y>0),则2x+y的最小值为(　　)
A.3 B.3 C.1 D.
18.八卦是中国文化中的哲学概念,图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,则给出下列结论:
①-+=0;②+=-;③+-=.
其中正确的结论是(　　)
图1 图2
A.①②　 　B.①③　 　C.②③　 　D.①②③
19.正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美图形.在如图所示的正五角星中,A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点,且=,若=x+y,则x+y=　　　　.
20.如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点(点M,N分别与点B,C不重合),设=x,=y,则+的最小值为　　　　.
参考答案
6.2.3向量的数乘运算
1.答案：ABD
2.解析：(1)5(2a-2b)+4(2b-3a)=10a-10b+8b-12a=-2a-2b.
(2)6(a-3b+c)-4(-a+b-c)=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c.
(3)=(3a-2b)+a-(6a-9b)=3a+b.
(4)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)=(x-y-x+y)a+(x-y+x-y)b=2(x-y)b.
3.解析：(1)证明:因为=2,所以∥,
又因为,有公共点B,所以A,B,C三点共线.
因为e1,e2是不共线的向量,所以ke1+e2与e1+ke2都不是零向量,
故存在实数λ,使得ke1+e2=λ(e1+ke2),即(k-λ)e1+(1-kλ)e2=0,
从而k-λ=1-kλ=0,解得或
当k=1时,λ=1>0,所以ke1+e2与e1+ke2同向;
当k=-1时,λ=-1<0,所以ke1+e2与e1+ke2反向.
4.答案：BD
5.答案：C
6.答案：C
7.答案：B
8.答案：B
9.答案：C
10.答案：
11.证明：不妨设BE、CF交于一点G,连接AG,
因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点,
所以=,=,=(+).
设=λ+μ,
一方面,=λ+μ=λ+2μ,G,B,E三点共线,所以λ+2μ=1,
另一方面,=λ+μ=2λ+μ,G,C,F三点共线,所以2λ+μ=1,
解得λ=μ=.
所以=(+),从而=,所以A、G、D三点共线,所以AD、BE、CF交于一点.
12.答案：
13.答案：A
14.答案：A
15.答案：C
16.答案：B
17.答案：A
18.答案：C
19.答案：-1
20.答案：4
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)