6.3.1 平面向量基本定理（含答案）--高中数学人教A版（2019）必修第二册

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6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1平面向量基本定理
1.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(x+y)e2=e1+3e2,求x+2y的值.
2.(多选)已知向量a、b不共线,则下列各组向量中,能作为平面向量的一组基底的有(　　)
A.{a+b,2a+b} B.{2a-b,-2a+b}
C.{3a,a+2b} D.{a-b,3a-2b}
3.已知e1,e2不共线,设向量a=e1sin θ,b=e2·cos θ,若{a,b}是平面内所有向量的一个基底,求θ的取值范围.
4.如图所示,已知=a,=b,=c,=3,则下列等式中成立的是(　　)
A.a=b-c B.a=b+c C.a=4b+3c D.a=4b-3c
5.如图,在△ABC中,=,=,若=λ+μ,则=(　　)
A.-3 B.3 C.2 D.-2
6.在平行四边形ABCD中,M、N分别在BC、CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则△AMN的形状是　(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
7.(多选)如图,点O是正八边形ABCDEFGH的中心,且||=1,则(　　)
A.与能构成一组基底 B.·=0
C.+= D.·=-
8.(多选)直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,且满足=2,点M、N在过点P的直线上,若=m,=n(m>0,n>0),则下列结论正确的是(　　)
A.+为常数 B.m+2n的最小值为3
C.m+n的最小值为 D.m、n的值可以为,2
9.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若=x+y,则x+y=　　.
10.如图,在△ABC中,∠BAC=,=2,P为CD上一点,且满足=m+,若||·||=8,则||的最小值为　　　　.
11.如图,在△OCB中,点A是BC的中点,点D是靠近点B将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a,b表示向量,;
(2)若=λ,求λ的值.
12.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值.
13.已知△ABC中,点M是线段BC上靠近B的三等分点,=,则=(　　)
A.-+ B.-+
C.-+ D.-+
14.如图,平面内有三个向量,,,与的夹角为120°,与的夹角为150°,且||=||=1,||=3,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=　(　　)
A. B.-9 C.- D.9
15.如图,在正方形ABCD中,N是线段CD上的一动点(不含端点),BN交AC于点E,若=λ,=μ,则μ(λ+1)=(　　)
A. B.1 C. D.2
16.如图,在△ABC中,D是线段BC上的一点,且=4,过点D的直线分别交直线AB,AC于点M,N,若=λ,=μ(λ>0,μ>0),则λ-的最小值是　(　　)
A.2-21 B.2+4 C.2-4 D.2+2
17.(多选)设P是△OAB内部(不含边界)的一点,以下可能成立的是(　　)
A.=+ B.=+
C.=+ D.=+
18.在等边△ABC中,D为边BC上的点且满足=2,DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,若=λ+μ,则λ+μ的值是　.
19.在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=,E为BC的中点,若线段DE上存在一点M满足=+m(m∈R),则·的值是　　　　.
20.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,△ACD是边长为2的等边三角形,点E是BC边上的动点(不含端点).
(1)若=x+y,求实数x,y的值;
(2)求(+)·的最小值.
21.在△ABC中,P为AB的中点,O在边AC上,BO交CP于R,且||=2||,设=a,=b.
(1)试用a,b表示;
(2)若H在BC上,且RH⊥BC,设|a|=2,|b|=1,θ=,若θ∈,求的取值范围.
参考答案
1.解析：由题意得解得故x+2y=4.
2.答案：ACD
3.解析：因为{a,b}是平面内所有向量的一个基底,所以a,b不共线.又e1,e2不共线,则sin θ≠0且cos θ≠0,解得θ≠kπ(k∈Z).故θ的取值范围是.
4.答案：D
5.答案：B
6.答案：C
7.答案：BC
8.答案：ABD
9.答案：+1
10.答案：
11.解析：(1)∵点A是BC的中点,
∴=(+),∴=2-=2a-b,
又点D是靠近点B将OB分成2∶1的一个内分点,
∴==b,
∴=-=(2a-b)-b=2a-b.
(2)解法一(利用方程的思想):∵C,E,D三点共线,
∴存在实数μ,使得=μ,
又=-=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,∴(2-λ)a-b=μ,
又a,b不共线,则解得λ=.
解法二(利用三点共线系数和为1):∵=λ,∴=+,
又∵=,∴=+,
又∵C、D、E三点共线,∴+=1,解得λ=.
12.解析：解法一:=x+y,两边平方得1=x2+y2+2xy×,所以x2+y2-xy=1,所以3xy=(x+y)2-1≤3,所以x+y≤2,当且仅当x=y=1时取等号.所以x+y的最大值为2.
解法二:取的中点C1.已知向量等式两边同乘,得x-y=·,已知向量等式两边同乘,得-x+y=·,所以x+y=2(+)·=2·=2cos<,>,所以当C为中点时,x+y取最大值,为2.
解法三:(当C在AB或与AB平行的直线上时,系数和为定值)取的中点C1,当C与C1重合时,x+y有最大值.记AB与OC1交于点D,由平面几何知识易知OC1=2OD.所以x+y的最大值为2.
13.答案：D
14.答案：B
15.答案：B
16.答案：C
17.答案：AD
18.答案：-
19.答案：-
20.解析：(1)因为AD∥BC,△ACD是边长为2的等边三角形,AB⊥AC,
所以∠B=30°,故AD=AC=BC=2,
故=,
则=+=+2,
又=x+y,所以x=1,y=2.
(2)令=λ且0<λ<1,则=(1-λ),
又=+=+λ,=+=+λ,
所以(+)·=[+(2λ-1)]·(+λ)
=·+(2λ-1)·+λ·+λ(2λ-1),
则(+)·=2+4(2λ-1)-4λ+16λ(2λ-1)=32λ2-12λ-2=32-,
所以当λ=时,(+)·取得最小值,为-.
21.解析：(1)∵P、R、C共线,∴存在实数λ,使=λ,
∴-=λ(-),整理得=(1-λ)+λ=a+λb.
∵B、R、O共线,∴存在实数μ,使=μ,∴-=μ(-),整理得=(1-μ)+μ=(1-μ)a+b.
根据平面向量基本定理得解得λ=,μ=.
∴=a+b.
(2)由(1)知=,则===b-a,
∵、共线,∴设=k=ka-kb,k>0.
∵RH⊥BC,∴·=(+)·=·(b-a)=0.
∴-5k++a·b=0,即-5k++2cos θ=0,可得cos θ=.
由θ∈,得-≤cos θ≤,即-≤≤,解得≤k≤,
∴的取值范围为.
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