第八章 立体几何初步 专题3空间几何体的表面积与体积考点练习（含答案）--高中数学人教A版（2019）必修第二册

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考点练习：空间几何体的表面积与体积
1.已知正三棱锥P-ABC,AB=2,PA=,D为PC中点,则三棱锥D-ABC的体积为(　　)
A. B. C. D.
2.下图是一个圆台的侧面展开图,若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是(　　)
A. B. C. D.
3.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,将地球看作一个球,卫星信号像一条条直线一样发射到达球面,所覆盖的范围即为一个球冠,称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积.球冠即球面被平面所截得的一部分,截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得较短的一段叫做球冠的高.设球面半径为R,球冠的高为h,则球冠的表面积S=2πRh.已知一颗地球静止轨道卫星距地球表面的最近距离与地球半径的比值为5,则它的信号覆盖面积与地球表面积的比值为　(　　)
A. B. C. D.
4.图1中的机械设备叫做“转子发动机”,其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”,图2中的图形是一个曲侧面三棱柱,它的侧棱垂直于底面,底面是“莱洛三角形”(如图3),莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心,正三角形的边长为半径画圆弧得到的,若曲侧面三棱柱的高为4,底面任意两顶点之间的距离为10,则其体积为　(　　)
图1　　 　图2　　　图3
A.200(2π-3) B.400(π-) C.40π D.400(2π-)
如图,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器,所有棱长都为6 cm,
将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为5 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(　　)
A.32π cm3 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱BB1的中点,平面
A1DM将该正方体分成两部分,体积分别为V1,V2(V1A. B. C. D.
7.如图,在半径为1的四分之一球形玩具储物盒中,放入一个玩具小球,合上盒盖,当小球的半径最大时,小球的表面积为(　　)
A.π B.2π C.(3-2)π D.(12-8)π
8.(多选)小淘气找到了一支用过的粉笔,测量后发现该粉笔的形状恰好是正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,棱台的高为h.若h=10,AB=4,A1B1=3(单位:mm),不考虑其他因素,则(　　)
A.粉笔的体积为145 mm3
B.若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的正六棱锥,则该棱锥的体积为80 mm3
C.若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的圆锥,则该圆锥的侧面积为8π mm2
D.若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的球,则该球的半径为3 mm
9.(多选)如图,已知圆锥OP的底面半径r=,侧面积为2π,AP为母线,内切球的球心为O1,外接球的球心为O2,设内切球O1的半径为r1,外接球O2的半径为r2,则下列说法正确的是 (　　)
A.外接球O2的表面积为16π
B.r2=3r1
C.过点P作平面α截圆锥OP,截面面积的最大值为2
D.一只蜗牛从A处出发绕圆锥侧面爬行一周后回到A处的最短路程为4
10.将大小不同的两个铁球O2,O1依次放入一倒置、有盖且装满水的圆锥形(底面在上)容器中.若两球相切,两球均与圆锥形容器的侧面相切,且上面的大球O1与圆锥形容器的上盖也相切,圆锥形容器的轴截面是边长为6的正三角形ABC,如图,则放入两球后溢出的水的体积为　　　.
11.一个四面体的棱长均为2,则该四面体的体积最大值为　　　.
12.如图,一个半球挖掉一个内接直三棱柱ABC-A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上),AB=AC,棱柱侧面BB1C1C是一个边长为4的正方形.
(1)求挖掉的直三棱柱的体积;
(2)求剩余几何体的表面积.
第八章 立体几何初步（参考答案）
专题3 空间几何体的表面积与体积
1.已知正三棱锥P-ABC,AB=2,PA=,D为PC中点,则三棱锥D-ABC的体积为(　　)
A. B. C. D.
答案：A
2.下图是一个圆台的侧面展开图,若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是(　　)
A. B. C. D.
答案：B
3.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,将地球看作一个球,卫星信号像一条条直线一样发射到达球面,所覆盖的范围即为一个球冠,称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积.球冠即球面被平面所截得的一部分,截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得较短的一段叫做球冠的高.设球面半径为R,球冠的高为h,则球冠的表面积S=2πRh.已知一颗地球静止轨道卫星距地球表面的最近距离与地球半径的比值为5,则它的信号覆盖面积与地球表面积的比值为　(　　)
A. B. C. D.
答案：D
4.图1中的机械设备叫做“转子发动机”,其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”,图2中的图形是一个曲侧面三棱柱,它的侧棱垂直于底面,底面是“莱洛三角形”(如图3),莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心,正三角形的边长为半径画圆弧得到的,若曲侧面三棱柱的高为4,底面任意两顶点之间的距离为10,则其体积为　(　　)
图1　　 　图2　　　图3
A.200(2π-3) B.400(π-) C.40π D.400(2π-)
答案：B
5.如图,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器,所有棱长都为6 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为5 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(　　)
A.32π cm3 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3
答案：D
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱BB1的中点,平面
A1DM将该正方体分成两部分,体积分别为V1,V2(V1A. B. C. D.
答案：C
7.如图,在半径为1的四分之一球形玩具储物盒中,放入一个玩具小球,合上盒盖,当小球的半径最大时,小球的表面积为(　　)
A.π B.2π C.(3-2)π D.(12-8)π
答案：D
8.(多选)小淘气找到了一支用过的粉笔,测量后发现该粉笔的形状恰好是正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,棱台的高为h.若h=10,AB=4,A1B1=3(单位:mm),不考虑其他因素,则(　　)
A.粉笔的体积为145 mm3
B.若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的正六棱锥,则该棱锥的体积为80 mm3
C.若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的圆锥,则该圆锥的侧面积为8π mm2
D.若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的球,则该球的半径为3 mm
答案：BC
9.(多选)如图,已知圆锥OP的底面半径r=,侧面积为2π,AP为母线,内切球的球心为O1,外接球的球心为O2,设内切球O1的半径为r1,外接球O2的半径为r2,则下列说法正确的是 (　　)
A.外接球O2的表面积为16π
B.r2=3r1
C.过点P作平面α截圆锥OP,截面面积的最大值为2
D.一只蜗牛从A处出发绕圆锥侧面爬行一周后回到A处的最短路程为4
答案：ACD
10.将大小不同的两个铁球O2,O1依次放入一倒置、有盖且装满水的圆锥形(底面在上)容器中.若两球相切,两球均与圆锥形容器的侧面相切,且上面的大球O1与圆锥形容器的上盖也相切,圆锥形容器的轴截面是边长为6的正三角形ABC,如图,则放入两球后溢出的水的体积为　　　.
答案：π
11.一个四面体的棱长均为2,则该四面体的体积最大值为　　　.
答案：1
12.如图,一个半球挖掉一个内接直三棱柱ABC-A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上),AB=AC,棱柱侧面BB1C1C是一个边长为4的正方形.
(1)求挖掉的直三棱柱的体积;
(2)求剩余几何体的表面积.
解析：(1)记半球球心为O,BC中点为E,连接AO,OE,AE,因为AB=AC,所以AE⊥BC,
又BB1C1C是一个边长为4的正方形,
所以OE=AE=2,
则挖掉的直三棱柱的体积V=S△ABC·BB1=×4×2×4=16.
(2)设半球半径为R,
则R=AO==2,AC==2,==2×4=8,又S△ABC==×4×2=4,=16,所以S半球=2π×+π×=24π,
所以剩余几何体的表面积S=S半球-+2+2S△ABC=24π-16+2×8+2×4=24π+16-8.
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